第十七章 勾股定理学案
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18.1 勾股定理(一) (一)课前预习 1.直角△ABC 的主要性质是:∠C=90°(用几何语言表示) (1)两锐角之间的关系: (2)若∠B=30°,则∠B 的对边和斜边:
命题1:如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ,斜边为c ,那么 。
(二)、勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多,你能否利用右图:赵
爽弦图证明呢?
1.已知:在△ABC 中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C
的对边为a 、b 、c 。
求证: 222a b c +=
勾股定理的内容是: 。
(三)学以致用 在Rt△ABC 中,已知两边求第三边-------简称“知二求一” 1.在Rt△ABC 中,90C ∠=︒ , ⑴如果a =6,b =8,求c 的值; ⑵如果a =5,b =12,求c 的值; ⑶如果a =9,c =41,求b 的值; 练习 1.若一个直角三角形的两直角边分别为9和12,则第三边的长为( ) A.13 B. 13 C. 5 D.15 2.若一个直角三角形的斜边长为26,一条直角边长为24,则另一直角边长为( ) A.8 B.10 C.50 D.36 3.在Rt △ABC 中,∠C=90°,若a ︰b =3︰4,c=10,求a ,b 的值。
注意:⑴只有在直角三角形中,才能用勾股定理;
⑵在用勾股定理求第三边时,要分清直角三角形的斜边和直角边; (四)当堂检测:
1.如图,三个正方形中的两个的面积S 1=25,S 2=144,则另一个的面积S 3为________.
2.在Rt△ABC,∠C=90°;
⑴ 已知a =b =5,求c ;
⑵已知c =17,b =8,求a ;
⑶ 已知a ∶b =1∶2,c=5,求a ; ⑷已知b=15,∠A=30°,求a ,c 。
3.一直角三角形的一直角边长为6,斜边长比另一直角边长大2,求斜边的长?
4.一个直角三角形的两边长分别为3cm 和4cm ,求第三边的长?
5.已知,如图在正ΔABC 中,AB=BC=CA=2cm .求ΔABC 的面积.
B
D
b
a
D C C A
- 2 -
E
F
D
C
B
A
18.1 勾股定理(二)
(一)回顾复习:
1.勾股定理:如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ,斜边为c ,那么 。
2.在Rt△ABC 中,∠C=90°,
①若a =5,b =12,则c =___________; ②若a =15,c =25,则b =___________; ③若c =61,b =60,则a =__________; ④若a ∶b =9∶40,c =41 ,则b=________ (二)探究新知
探究一: “执竿进屋”
笨人执竿要进屋,无奈门框拦住竹,横多四尺竖多二,没法急得放声哭。
有个邻居聪明者,教他斜竿对两角,笨伯依言试一试,不多不少刚抵足。
借问竿长多少数,谁人算出我佩服
1. “印度荷花问题”:湖静浪平六月天,荷花半尺出水面;忽来一阵狂风急,湖面之上不复见;入秋渔翁始发现,残花离根二尺遥.试问水深有几许?
探究二:梯子下滑的高度
如图,一个梯子AB 长2.5米,顶端A 靠在墙上,这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米,梯子滑动后停在DE 的位置上,如图2,测得BD 长为0.5米,求梯子顶端A 下落了多少米.
2.小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后,发现下端刚好接触地面,求旗杆的高度
探究三:画长度为13的线段(在数轴上用点表示数13)
3.在数轴上把17表示出来,并说出你的方法。
(三)学以致用
1.如图所示,有一条小路穿过长方形的草地ABCD,若AB=60m,BC=84m,AE=100m,则这条小路的面积是多少?
2.一种盛饮料的圆柱形杯,测得内部底面半径为2.5㎝,高为12㎝,吸管放进杯里,杯口外面至4.6㎝,问吸管要做多少㎝?
3.如图,铁路上A ,B 两点相距25km ,C ,D 为两村庄,DA⊥AB 于A ,CB⊥AB 于B ,已知DA=15km ,CB=10km ,现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ,使得C ,D 两村到E 站的距离相等,则E 站应建在离A 站多少km 处?
-2 -1 0 1 2 3 4
-1 0 1 2 3 4 5
18.1 勾股定理(三)
(一)回顾复习:
1.如图1,已知电线杆高为12米,两侧各用15米的铁丝固定,
两个固定点之间的距离是。
2.如图2,山坡上两株树木之间的坡面距离是 4 米,则这两株树之间的垂直距离是米,水平距离是米。
3.一架25分米长的梯子,斜立在一竖直的墙上,这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米,那么梯足将滑动
(二)探究新知
例1已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥BC于D,∠A=60°,CD=3,求线段AB的长。
例2:已知:如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2。
求:四边形ABCD的面积。
小结:不规则图形的面积,可转化为特殊图形求解,本题通过将图形转化为直角三角形的方法,把四边形面积转化为三角形面积之差。
例3.如图,小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸,已知该纸片宽AB为8cm,•长BC•为10cm.当小红折叠时,顶点D落在BC边上的点F处(折痕为AE).想一想,此时AE有多长?
例4 如图一个圆柱,底圆周长6cm,高4cm,一只蚂蚁沿外壁爬行,要从A点爬到B点,则最少要爬行多少cm?
练习1.△ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,求△ABC的周长.
2.在△ABC中,AB=AC=5cm,BC=6cm,求△ABC的面积.
图1
30
A B
C
图2
C
B
A D
E
F
A
B
- 3 -
- 4 -
3.有一个长方体盒子,它的长是5,宽是3,高是4.在A 点处有一只蚂蚁,它想吃到B 点处的食物.,那么它爬行的最短路程是多少
(三)学以致用
1、如图3,正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的三角形ABC 中,边长为无理数的边数是( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3 2、如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、 高分别为20dm 、3dm 、2dm ,A 和B 是这个台阶 两个相对的端点,A 点有一只蚂蚁,想到B 点去吃 可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是 ;
3、如图,一块直角三角形的纸片,两直角边AC=6㎝,BC=8㎝。
现将直角边AC 沿直线AD 折叠,使它落在斜边AB 上,点C 落在 E 处,求CD 的长.
4、如图,折叠长方形ABCD 的一边AD ,点D 落在BC 边的点F 处,已知:AB =8cm ,BC =10cm ,求EC 的长。
5、如图,△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形,∠ACB =∠ECD =90°,D 为AB 边上一点. 求证:AD 2 +DB 2 =DE 2.
6、如图,长方体的长为15 cm ,宽为 10 cm ,高为20 cm ,点B 离点C 5 cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点B ,需要爬行的最短距离是多少?
4
3
5 B A 4 3
5
B
A A B
C
图3 3220B
A 图4 D C
A
B
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18.2勾股定理逆定理(一) (一)课前预习 问题一:怎样判定一个三角形是直角三角形?
【猜想】命题2:如果三角形的三边长a 、b 、c ,满足222c b a =+,那么这个三角形是 三角形 【复习】命题1(勾股定理):如果三角形的两直
角边边长a 、b ,斜边c ,那么
问题二:命题1与命题2的题设与结论有何关系? 命题1和命题2的题设与结论 ,把像
这样的两个命题叫做 命题,如果把其中
一个叫做 ,那么另一个叫做 (二)探究新知:验证命题2
勾股定理逆定理:如果三角形的三边长a 、b 、c
满足 ,那么这个三角
形是 三角形.
一般的:如果一个定理的逆命题经过证明是正确
的,它也是一个定理,称这两个定理为互为 。
【注意】:
⑴满足a 2 +b 2=c 2
的三个正整数,称为勾股
数.勾股数扩大相同倍数后,仍为勾股数.常用的
勾股数有3、4、5、;6、8、10;5、12、13等.
⑵应用勾股定理的逆定理时,先计算较小两边
的平方和再把它和最大边的平方比较.
⑶判定一个直角三角形,除了可根据定义去
证明它有一个直角外,还可以采用勾股定理的逆
定理,即去证明三角形两条较短边的平方和等于
较长边的平方,这是代数方法在几何中的应用.
(三)学以致用
例1 判断由线段a 、b 、c 组成的三角形是不是
直角三角形:
(1)a=15, b=8, c=17; (2)a=13, b=14,c=15
练习1.判断由线段a 、 b 、 c 组成的三角形是
不是直角三角形:
⑴a =7,b =24,c =25; (2)a =5,b =13,c =12
(3)a =4,b =5,c =6; (4)a :b :c =3:4:5
例2:判断由线段a 、b 、c 组成的三角形是不是直
角三角形:a =m 2-n 2,b = m 2+n 2,c =2mn (m >n ,m 、n
是正整数)
(四)当堂检测: 1、分别以下列四组数为一个三角形的边长:
(1)3,4,5;(2)5,12,13;(3)8,15,17;(4)4,5,6.其中能构成直角三角形的有( )
A.4组
B.3组
C.2组
D.1组
2、下列命题①如果a 、b 、c 为一组勾股数,那么
4a 、4b 、4c 仍是勾股数;②如果直角三角形的两
边是5、12,那么斜边必是13;③如果一个三角形
的三边是12、25、21,那么此三角形必是直角三
角形;④一个等腰直角三角形的三边是a 、b 、c ,(a>b=c ),那么a 2∶b 2∶c 2=2∶1∶1。
其中正确的
是( )
A 、①②
B 、①③
C 、①④
D 、②④
3、在△ABC 中,AB=13,BC=10,BC 边上的中线AD=12,
求AC
4、△ABC 的三边之比是1∶1∶2 ,则△ABC 是
三角形。
5、在△ABC 中,a =15, b =17, c =8,求此三角形的
面积?
18.2勾股定理逆定理(二)
(一)回顾复习
1.已知:在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,分别为下列长度,判断该三角形是否是直角三角形?并指出那一个角是直角?
⑴a=9,b=41,c=40; ,
⑵a=15,b=16,c=6; ,
⑶a=4,
b=3
2,c=2; ,
⑷a=5k,b=12k,c=13k(k>0) ,
2. 已知0
)
10
(
8
62=
-
+
-
+
-z
y
x ,则由此
z
y
x,
,为三边的三角形是三角形.
(二)探究新知
例2、已知:在△ABC中,AB=13cm,BC=10cm,
BC边上的中线AD=12cm.
求证:AB=AC.
练习1一个零件的形状如下图所示,按照规定这
个零件中∠A 和∠DBC都是直角,量的这个各边尺
寸如下图所示,这零件符合要求吗?并说明理由。
变式练习:如图,小明的爸爸在鱼池边开了一块四
边形土地种了一些蔬菜,爸爸让小明计算一下土地
的面积,以便计算一下产量。
小明找了一卷米尺,
测得AD=4米,AB=3米,CD=13米,BC=12米,又
量得∠A=90°
例2如图:在正方形ABCD中,E是BC的中点,F
是CD上一点,且CF︰DF=1︰3. 猜想AE,EF的关
系,并证明你的结论。
(三)学以致用
1.一根30米长的细绳折成3段,围成一个三角形,
其中一条边的长度比较短边长7米,比较长边短1
米,请你试判断这个三角形的形状。
2.在△ABC中,a=14, b=15, c=13,求此三角形的
面积?
思考题:已知:在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对
边分别是a、b、c,满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,
试判断△ABC的形状。
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18.2勾股定理逆定理(三)
(一)回顾复习
1.勾股定理:直角三角形的两直角边为a ,b , 斜边为 c ,则有
2.勾
股定理逆定理: 三角形的三边a,b,c满
足,则这个三角形是 ; 较大
边c 所对的角是直角.
3.如果一个三角形的三边为a,b,c满足a2+c2=b2,
那么这个三角形是____三角形,其中b边是
___边,b边所对的角是___角.
4.△ABC的三边长为 9 ,40 ,41 ,则△ABC的面积
为____;
(二)探究新知
例1 如图,甲乙两船从港口A同时出发,甲船以
16海里/时速度向北偏东40°航行,乙船向南偏东
50°航行,3小时后,甲船到达C岛,乙船到达B
岛.若C、B两岛相距60海里,问乙船的航速是多
少?
练习 .如图,点A是一个半径为 300 m的圆形森林
公园的中心,在森林公园附近有 B 、C 两个村庄,
现要在 B、C 两村庄之间修一条长为 800 m 的笔
直公路将两村连通,经测得∠B=60°,∠C=30°,
问此公路是否会穿过该森林公园?请通过计算说
明.
例2.如图所示,A城气象台测得台风中心在A城
正西方向320km的B处,以每小时40km的速度向
北偏东60°的BF方向移动,距离台风中心200km
的范围内是受台风影响的区域.⑴A城是否受到这
次台风的影响?为什么?⑵若A城受到这次台风
影响,那么A城遭受这次台风影响有多长时间?
(三)学以致用
练习1 如图,一个牧童在小河的南4km的A处牧
马,而他正位于他的小屋B的西8km北7km处,他
想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家.他要完
成这件事情所走的最短路程是多少?
2、台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心,
在周围数十千米的范围内形成气旋风暴,有极强的
破坏力。
如图所示,据气象部门报道:距沿海城市
A的正南方向220千米B处有一个台风中心,其中
心最大风力12级,每远离台风中心20千米,风力
会减弱一级。
该台风正以15km/h的速度沿北偏东
30°方向往C处移动,且台风中心风力不变,若城
市所受风力达到或超过四级,则称受到台风影响。
(1)该城市是否会受到此次台风的影响?请说明
理由。
(2)若受到影响,那么台风影响该城市的
持续时间为多长?(3)该城市受到台风影响的最
大风力为几级?
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