北师大版九年级数学第一学期期末试题及答案五

北师大版九年级数学第一学期期末试题及答案
一、选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分）在下列小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号在答题卡上涂黑，涂错或不涂均为零分.
1．（3分）如图所示的几何体是由一个正方体和一个圆锥搭建而成，其左视图是（）
A．B．C．D．
2．（3分）已知，则的值为（）
A．B．C．D．
3．（3分）一元二次方程的根的情况为（）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
4．（3分）若线段a，b，c，d是成比例线段，且a＝1cm，b＝4cm，c＝2cm，则d＝（）A．8cm B．0.5cm C．2cm D．3cm
5．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，点O是位似中心，若OE＝3OB，S△ABC＝4，则S△DEF＝（）A．9B．12C．16D．36
6．（3分）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有60个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在0.15和0.45，则布袋中白色球的个数可能是（）A．24B．18C．16D．6
7．（3分）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以点O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方形ABCD的两边AB，BC于点M，N，记△AOM的面积为S1，△CON的面积为S2，若正方形的边长AB＝10，S1＝16，则S2的大小为（）
A．6B．7C．8D．9
8．（3分）个税改革新政出台后，锦江税务迅速组织干部多形式多途径进行个税专项培训，对个税新政进行讲解和辅导．2019年全年某企业员工享受个税红利共计约200万，2021年全年该企业员工享受个税红利共计约450万，且该企业员工享受个税红利总额的年增长率相同．设该企业员工享受个税红利总额的年增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（）
A．200x2＝450
B．450（1﹣x）2＝200
C．200（1+x）2＝450
D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝450
9．（3分）如图，菱形OABC的边OA在平面直角坐标系中的x轴上，∠AOC＝60°，OA＝4，则点C的坐标为（）A．B．C．D．（2，2）
10．（3分）如图，在10×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，我们称每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形．点E是格点四边形ABCD的AB边上一动点，连接ED，EC，若格点△DAE 与△EBC相似，则DE+EC的长为（）
A．B．
C．3或5或D．或
二、填空题（共4个小题，每小题4分，满分16分）
11．（4分）方程x2﹣3x＝0的解是．
12．（4分）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2，AC＜BC，则AC长是．
13．（4分）若点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）在反比例函数y＝图象上，则y1、y2大小关系是．14．（4分）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°．按以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心，以大于
长为半径作弧，两弧交于点E，F；②作直线EF；③以点B为圆心，以BA为半径画弧交直线EF于点G；④连接BG交AC于点P．则∠APB＝．
三、解答题（共6个小题，满分54分）
15．（12分）（1）计算：．
（2）解方程：2x（x﹣1）＝1﹣x．
16．（6分）“垃圾分类”进校园，锦江教育出实招．锦江区编写小学生《垃圾分类校本实施指导手册》，给同学们介绍垃圾分类科学知识，要求大家将垃圾按A，B，C，D四类分别装袋投放．其中A类指有害垃圾，B类指厨余垃圾，C类指可回收垃圾，D类指其他垃圾．小明和小亮各有一袋垃圾，需投放到小区如图所示的垃圾桶．
（1）“小明投放的垃圾恰好是有害垃圾”这一事件是.（请将正确答案的序号填写在横线上）
①必然事件
②不可能事件
③随机事件
（2）请用列表或画树状图的方法，求小明与小亮投放的垃圾是同类垃圾的概率．
17．（8分）在▱ABCD中，E是DC的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F．
（1）求证：BC＝CF；
（2）点G是CF上一点，连接AG交CD于点H，且∠DAF＝∠GAF．若CG＝2，GF＝5，求AH的长．18．（8分）2021年春节期间，成都的夜景出圈了！一场场灯光秀不仅让本地人饱了眼福，也让外地游客流连忘返．在
成都交子金融城双子塔，一场流光溢彩、璀璨夺目的视觉盛宴更是刷爆了朋友圈（如图1）．小颖同学在欣赏美景时，想要通过测量及计算了解双子塔CD的大致高度（如图2所示，塔CD在水中的倒影为C'D，点B，D，F 在同一条直线上）．在大楼AB的楼顶A处测得塔顶C的仰角为45°，测得塔顶C的倒影C'的俯角为60°，大楼高AB＝75m，试计算双子塔CD的高．（提示：物体在水中的倒影和物体关于水平线对称，≈1.41，≈
1.73，结果保留整数）
19．（10分）如图，正比例函数y1＝2x与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的横坐标为2．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）点P是x轴上一点，连接P A，PB，若S△P AB＝20，求点P的坐标；
（3）请根据图象直接写出不等式的解集．
20．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C旋转得到△DEC，连接AD．（1）如图1，点E恰好落在线段AB上．
①求证：△BCE∽△ACD；
②猜想∠CAE和∠ADE的关系，并说明理由；
（2）如图2，在旋转过程中，射线BE交线段AC于点F，若AC＝2BC＝8，EF＝，求CF的长．
一、填空题（共5个小题，每小题4分，满分20分）
21．（4分）已知m是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则2021﹣m2+3m的值为．
22．（4分）如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，连接CE，过点E作EF⊥AD，垂足为点F．若AF＝3，EC＝5，则正方形ABCD的面积为．
23．（4分）新定义：任意两数m，n，按规定y＝﹣m+n得到一个新数y，称所得新数y为数m，n的“愉悦数”．则
当m＝2x+1，n＝x﹣1，且m，n的“愉悦数”y为正整数时，正整数x的值是．
24．（4分）如图，在四边形ABCD中，AD＝4，DC＝2，AC⊥BC且AC＝BC，点E是AB的中点，连接DE，当DE取最大值时，AC的长为．
25．（4分）如图，直线y＝﹣x+5与坐标轴交于A，B两点，交反比例y＝（x＞0）的图象于C，D两点，且CD
＝3AC，点E是直线AB上一点，连接OE，以OE为边在OE右侧作直角三角形OEF，∠OEF＝90°，∠OFE ＝∠ABO，若边OF交反比例函数图象于点G，OG＝GF，则k值为，点E的坐标是．
二、解答题（共3个小题，满分30分）
26．（8分）某校文化节期间，九年级（1）班欢欢同学以20元/个的单价购进一批新型文具在现场销售，经现场销售统计发现：在一段时间内，销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x的表达式并写出自变量的取值范围；
（2）要使销售总利润达到800元，则销售单价应定为多少元/个？
27．（10分）【探究】（1）如图1，四边形ABCD是矩形，以对角线AC为直角边作等腰直角三角形EAC，且∠EAC ＝90°．请证明：EC2＝2AB2+2BC2；
【应用】（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，点P是AD上一点，且0＜AP＜4，连接PC，以PC 为直角边作等腰直角三角形EPC，∠EPC＝90°，设AP＝x，EC＝y，请求出y与x的函数关系式；
【拓展】（3）在（2）的条件下，连接BE，若点P在线段AD上运动，在点P的运动过程中，当△EBC是等腰三角形时，求AP的长．
28．（12分）如图，直线y＝﹣x+3与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A，B两点．
（1）求点A，B的坐标；
（2）如图1，点E是线段AC上一点，连接OE，OA，若∠AOE＝45°，求的值；
（3）如图2，将直线AB沿x轴向右平移m个单位长度后，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点P，Q，连接AP，BQ，若四边形ABQP的面积恰好等于m2，求m的值．
参考答案与试题解析
一、选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分）在下列小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号在答题卡上涂黑，涂错或不涂均为零分.
1．（3分）如图所示的几何体是由一个正方体和一个圆锥搭建而成，其左视图是（）A．B．C．D．
【分析】根据简单组合体的三视图的定义画出从左面看所得到的图形即可．
【解答】解：这个组合体从左面看所得到的图形如下：
故选：C．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的形状是正确判断的前提．2．（3分）已知，则的值为（）
A．B．C．D．
【分析】根据＝设y＝2a，x＝3a，再把x＝3a，y＝2a代入求出即可．
【解答】解：设y＝2a，x＝3a，
所以
＝
＝
＝，
故选：B．
【点评】本题考查了比例的性质和求分式的值，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
3．（3分）一元二次方程的根的情况为（）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
【分析】计算出根的判别式的值，根据正负即可确定出方程根的情况．
【解答】解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×5
＝12﹣20
＝﹣8＜0，
∴一元二次方程没有实数根．
故选：D．
【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解本题的关键．
4．（3分）若线段a，b，c，d是成比例线段，且a＝1cm，b＝4cm，c＝2cm，则d＝（）A．8cm B．0.5cm C．2cm D．3cm
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义ad＝cb，将a，b及c的值代入即可求得d．
【解答】解：∵a，b，c，d是成比例线段，
∴ad＝cb，
∵a＝1cm，b＝4cm，c＝2cm，
∴d＝8（cm），
故选：A．
【点评】本题考查了比例线段，关键是理解比例线段的概念，列出比例式，用到的知识点是比例的基本性质．5．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，点O是位似中心，若OE＝3OB，S△ABC＝4，则S△DEF＝（）
A．9B．12C．16D．36
【分析】根据位似变换的性质得到BC∥EF，得到△OBC∽△OEF，求出，根据相似三角形的面积比等于相
似比的平方计算即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴BC∥EF，
∴△OBC∽△OEF，
∴＝＝，
∴＝（）2＝，
∵S△ABC＝4，
∴S△DEF＝36，
故选：D．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
6．（3分）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有60个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在0.15和0.45，则布袋中白色球的个数可能是（）A．24B．18C．16D．6
【分析】利用频率估计概率得到摸到红色球、黑色球的概率分别为0.15和0.45，则摸到白球的概率为0.4，然后根据概率公式求解．
【解答】解：∵多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在0.15和0.45，
∴摸到红色球、黑色球的概率分别为0.15和0.45，
∴摸到白球的概率为1﹣0.15﹣0.45＝0.4，
∴口袋中白色球的个数可能为0.4×60＝24．
故选：A．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
7．（3分）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以点O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方
形ABCD的两边AB，BC于点M，N，记△AOM的面积为S1，△CON的面积为S2，若正方形的边长AB＝10，S1＝16，则S2的大小为（）
A．6B．7C．8D．9
【分析】根据正方形的性质得出OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝45°，∠BOC＝∠EOF＝90°，推出∠EOB＝∠COF，证出△OBM≌△OCN可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD和四边形OEGF都是正方形，
∴OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝45°，∠BOC＝∠EOF＝90°，
∴∠EOB＝∠COF．
在△OBM与△OCN中，
，
∴△OBM≌△OCN（ASA），
∴S1+S2＝S△OAB＝×10×10＝25，
∴S2＝25﹣16＝9，
故选：D．
【点评】本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能证出△OBM≌△OCN是解此题的关键．
8．（3分）个税改革新政出台后，锦江税务迅速组织干部多形式多途径进行个税专项培训，对个税新政进行讲解和辅导．2019年全年某企业员工享受个税红利共计约200万，2021年全年该企业员工享受个税红利共计约450万，且该企业员工享受个税红利总额的年增长率相同．设该企业员工享受个税红利总额的年增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（）
A．200x2＝450
B．450（1﹣x）2＝200
C．200（1+x）2＝450
D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝450
【分析】利用2021年全年该企业员工享受个税红利的人数＝2019年全年该企业员工享受个税红利的人数×（1+年增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：200（1+x）2＝450．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．（3分）如图，菱形OABC的边OA在平面直角坐标系中的x轴上，∠AOC＝60°，OA＝4，则点C的坐标为（）
A．B．C．D．（2，2）
【分析】过C作CD⊥OA于D，由菱形的性质得OC＝OA＝4，再由含30°角的直角三角形的性质得OD＝OC
＝2，然后由勾股定理得CD＝2，即可得出点C的坐标．
【解答】解：过C作CD⊥OA于D，如图：
则∠ODC＝90°，
∵四边形OABC是菱形，
∴OC＝OA＝4，
∵∠AOC＝60°，
∴∠OCD＝90°﹣∠AOC＝30°，
∴OD＝OC＝2，
∴CD＝＝＝2，
∴点C的坐标为（2，2），
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
10．（3分）如图，在10×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，我们称每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形．点E是格点四边形ABCD的AB边上一动点，连接ED，EC，若格点△DAE 与△EBC相似，则DE+EC的长为（）
A．B．
C．3或5或D．或
【分析】可设AE＝x，则EB＝8﹣x，根据勾股定理可得DE，EC．再分两种情况：①如果△DAE∽△EBC，②如
果△DAE∽△CBE，进行讨论即可求解．
【解答】解：设AE＝x，则EB＝8﹣x，
根据勾股定理可得，DE＝＝＝，
EC＝＝＝．
若格点△DAE与△EBC相似，分两种情况：
①如果△DAE∽△EBC，那么＝＝，
即＝＝，
解得x1＝2，x2＝6．
当x＝2时，DE＝＝，EC＝＝2，
∴DE+EC＝+2＝3；
当x＝6时，DE＝＝3，EC＝＝2，
∴DE+EC＝3+2＝5；
②如果△DAE∽△CBE，那么＝＝，
即＝＝，
解得x＝．
当x＝时，DE＝＝，EC＝＝，
∴DE+EC＝+＝．
综上所述，DE+EC的长为3或5或．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是根据网格准确看图．
二、填空题（共4个小题，每小题4分，满分16分）
11．（4分）方程x2﹣3x＝0的解是x1＝0，x2＝3．
【分析】x2﹣3x有公因式x可以提取，故用因式分解法解较简便．
【解答】解：原式为x2﹣3x＝0，x（x﹣3）＝0，x＝0或x﹣3＝0，x1＝0，x2＝3．
∴方程x2﹣3x＝0的解是x1＝0，x2＝3．
【点评】本题考查简单的一元二次方程的解法，在解一元二次方程时应当注意要根据实际情况选择最合适快捷的解法．
12．（4分）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2，AC＜BC，则AC长是3﹣．【分析】由黄金分割点的定义求出BC的长，即可得出答案．
【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2，AC＜BC，
∴BC＝AB＝﹣1，
∴AC＝AB﹣BC＝2﹣（﹣1）＝3﹣，
故答案为：3﹣．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割点的定义，求出BC的长是解题的关键．
13．（4分）若点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）在反比例函数y＝图象上，则y1、y2大小关系是y1＞y2．【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数的图象所在的象限，再由A、B两点横坐标的特点即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y＝中，k＝1＞0，
∴此函数图象的两个分支分别分别位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵﹣2＜﹣1，
∴y1＞y2．
故答案为：y1＞y2．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．14．（4分）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°．按以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心，以大于
长为半径作弧，两弧交于点E，F；②作直线EF；③以点B为圆心，以BA为半径画弧交直线EF于点G；④连接BG交AC于点P．则∠APB＝75°．
【分析】连接AG，如图，由作法得EF垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质可证明△ABG为等边三角形，则∠ABG＝60°，然后根据三角形内角和可计算出∠APB的度数．
【解答】解：连接AG，如图，
由作法得EF垂直平分AB，
∴GA＝GB，
∵BG＝BA，
∴AB＝BG＝AG，
∴△ABG为等边三角形，
∴∠ABG＝60°，
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠BAP＝45°，
∴∠APB＝180°﹣∠ABP﹣∠BAP＝180°﹣60°﹣45°＝75°．
故答案为：75°．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质．
三、解答题（共6个小题，满分54分）
15．（12分）（1）计算：．
（2）解方程：2x（x﹣1）＝1﹣x．
【分析】（1）先化简二次根式，绝对值，计算负整数指数幂、零指数幂，再计算加减可得答案；
（2）先把方程变形得到2x（x﹣1）+（x﹣1）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）原式＝2﹣2+5﹣2﹣1
＝2；
（2）2x（x﹣1）+（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（2x+1）＝0，
x﹣1＝0或2x+1＝0，
所以x1＝1，x2＝﹣．
【点评】本题主要考查实数的混合运算、解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
16．（6分）“垃圾分类”进校园，锦江教育出实招．锦江区编写小学生《垃圾分类校本实施指导手册》，给同学们介绍垃圾分类科学知识，要求大家将垃圾按A，B，C，D四类分别装袋投放．其中A类指有害垃圾，B类指厨余垃圾，C类指可回收垃圾，D类指其他垃圾．小明和小亮各有一袋垃圾，需投放到小区如图所示的垃圾桶．（1）“小明投放的垃圾恰好是有害垃圾”这一事件是③.（请将正确答案的序号填写在横线上）
①必然事件
②不可能事件
③随机事件
（2）请用列表或画树状图的方法，求小明与小亮投放的垃圾是同类垃圾的概率．
【分析】（1）根据随机事件和必然事件及不可能事件的概念求解即可；
（2）首先利用树状图法得出所有可能，进而利用概率公式求出答案．
【解答】解：（1）（1）“小明投放的垃圾恰好是有害垃圾”这一事件是③，
故答案为：③．
（2）画树状图如图所示：
由图可知，共有16种等可能结果，其中小明投放的垃圾与小亮投放的垃圾是同一类的结果有4种，
∴小明投放的垃圾与小亮投放的垃圾是同一类的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法，解题的关键是明确题意，正确画出树状图．
17．（8分）在▱ABCD中，E是DC的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F．
（1）求证：BC＝CF；
（2）点G是CF上一点，连接AG交CD于点H，且∠DAF＝∠GAF．若CG＝2，GF＝5，求AH的长．
【分析】（1）结合平行四边形的性质，利用AAS证明△AED≌△FEC可证明结论；
（2）根据平行线的性质及∠DAF＝∠GAF可求得AG＝GF＝5，再利用CG＝2可得AD＝CF＝7，通过证明△AHD ∽△GHC列比例式可求得，进而求解AH的长．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF，
∵E是DC的中点，
∴CE＝DE，
在△AED和△FEC中，
，
∴△AED≌△FEC（AAS），
∴AD＝FC，
∴BC＝CF；
（2）∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠F，
∵∠GAF＝∠DAF，
∴∠GAF＝∠F，
∴AG＝GF＝5，
∵CG＝2，
∴AD＝CF＝7，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DCF，∠AHD＝∠GHC，
∴△AHD∽△GHC，
∴，
∴，
∴AH＝．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，证明△AED ≌△FEC是解题的关键．
18．（8分）2021年春节期间，成都的夜景出圈了！一场场灯光秀不仅让本地人饱了眼福，也让外地游客流连忘返．在成都交子金融城双子塔，一场流光溢彩、璀璨夺目的视觉盛宴更是刷爆了朋友圈（如图1）．小颖同学在欣赏美景时，想要通过测量及计算了解双子塔CD的大致高度（如图2所示，塔CD在水中的倒影为C'D，点B，D，F 在同一条直线上）．在大楼AB的楼顶A处测得塔顶C的仰角为45°，测得塔顶C的倒影C'的俯角为60°，大楼高AB＝75m，试计算双子塔CD的高．（提示：物体在水中的倒影和物体关于水平线对称，≈1.41，≈
1.73，结果保留整数）
【分析】根据直角三角形的边角关系，轴对称的性质，得出AM＝MC，MC′＝AM，DC＝DC′，列方程求
出AM，进而求出CD．
【解答】解：作AM⊥CD于M，设AM＝x米，
由题意得∠CAM＝45°，则CM＝AM＝x米，CD＝（x+75）米，MC′＝（x+150）米，
又∵∠C′AM＝60°，
∴C′M＝x米，
∴x＝x+150，
解得x＝75+75，
∴CD＝x+75
＝75+75+75
＝75+150
≈280（米），
答：双子塔CD的高约为280米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
19．（10分）如图，正比例函数y1＝2x与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的横坐标为2．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）点P是x轴上一点，连接P A，PB，若S△P AB＝20，求点P的坐标；
（3）请根据图象直接写出不等式的解集．
【分析】（1）把点A的横坐标代入正比例函数解析式可得点A的纵坐标，把点A的坐标代入反比例函数解析式即可求得k的值，根据正比例函数和反比例函数的中心对称性即可求得B的坐标；
（2）设P（m，0），根据题意得到S△P AB＝×|m|×（4+4）＝20，解方程求得m的值，即可求得P的坐标；
（3）根据图形，找出正比例函数y1＝2x图象在反比例函数的图象下方的x的取值范围即可．
【解答】解：（1）当x＝2时，由y＝2x得y＝4，
∵A（2，4），
∴4＝，即k＝8，
∴y2＝，
∵正比例函数y1＝2x与反比例函数的图象交于A，B两点，
∴A、B关于原点对称，
∴B（﹣2，﹣4）；
（2）点P是x轴上一点，设P（m，0），
∴S△P AB＝S△P AO+S△PBO＝×|m|×（4+4）＝20，
解得m＝±5，
∴P（5，0）或（﹣5，0）；
（3）由图形可知，不等式的解集是x≥2或﹣2≤x＜0．
【点评】本题考查反比例函数、一次函数的交点坐标，将点的坐标代入函数关系式求出待定系数是确定函数关系式的基本方法，理解两个函数图象的交点坐标与不等式的解集之间的关系是正确判断的关键．
20．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C旋转得到△DEC，连接AD．（1）如图1，点E恰好落在线段AB上．
①求证：△BCE∽△ACD；
②猜想∠CAE和∠ADE的关系，并说明理由；
（2）如图2，在旋转过程中，射线BE交线段AC于点F，若AC＝2BC＝8，EF＝，求CF的长．
【分析】（1）①由旋转的性质知，，∠ECB＝∠DCA，从而证明结论；
②由①知，∠B＝∠DAC＝∠ADC，由∠CAB+∠B＝90°，则∠CAE+∠ADC＝∠CAE+∠CDE+∠ADE＝90°，
从而得出答案；
（2）分两种情形，当线段BE交AC于F或当射线BE交AC于F时，设BE＝x，作CH⊥AD于H，则AH＝，
利用△AHC∽△BCF，可求出x的值，从而解决问题．
【解答】（1）①证明：∵将△ABC绕点C旋转得到△DEC，
∴EC＝BC，DC＝AC，∠ECB＝∠DCA，
∴，∠ECB＝∠DCA，
∴△BCE∽△ACD；
②解：2∠CAE+∠ADE＝90°，理由如下：
∵将△ABC绕点C旋转得到△DEC，
∴∠CAE＝∠CDE，
∵△BCE∽△ACD，CE＝CB，CD＝CA，
∴∠B＝∠DAC＝∠ADC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∴∠CAE+∠ADC＝∠CAE+∠CDE+∠ADE＝90°，
∴2∠CAE+∠ADE＝90°；
（2）设BE＝x，作CH⊥AD于H，则∠CHA＝∠BCF＝90°，
∵AC＝2BC，△BCE∽△ACD，
∴AD＝2x，
∵∠CHA＝∠BCF＝90°，
∴△AHC∽△BCF，
∴，
∵CD＝CA，CH⊥AD，
∴AH＝，
当线段BE交AC于F时，
∴，
解得：x＝或﹣5（舍去），
∴FC＝＝＝＝3；
②当射线BE交AC于F时，
，
解得：x＝﹣（舍）或5，
∴FC＝＝＝＝，综上所述，CF的长为3或．
【点评】本题是相似形综合题，主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，作辅助线构造相似三角形是解题的关键，对学生的识图能力要求较高，属于中考压轴题．
一、填空题（共5个小题，每小题4分，满分20分）
21．（4分）已知m是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则2021﹣m2+3m的值为2022．【分析】利用一元二次方程解的定义得到m2﹣3m＝﹣1，然后把2021﹣m2+3m变形为2021﹣（m2﹣3m），再利用整体代入的方法计算．
【解答】解：把x＝m代入方程x2﹣3x+1＝0得m2﹣3m+1＝0，
所以m2﹣3m＝﹣1，
所以2021﹣m2+3m＝2021﹣（m2﹣3m）＝2021+1＝2022．
故答案为：2022．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．22．（4分）如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，连接CE，过点E作EF⊥AD，垂足为点F．若AF＝3，EC＝5，则正方形ABCD的面积为49．
【分析】连接AE可得AE＝CE，勾股定理求出EF，DF＝EF，求出AD可得答案．
【解答】解：连接AE，
∵正方形ABCD，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∵BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE，
∴AE＝EC＝5，
∵EF⊥AD，若AF＝3，
∴EF＝＝4，
∴DF＝4，AD＝4+3＝7，
∴正方形ABCD的面积为49，
故答案为：49．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
23．（4分）新定义：任意两数m，n，按规定y＝﹣m+n得到一个新数y，称所得新数y为数m，n的“愉悦数”．则
当m＝2x+1，n＝x﹣1，且m，n的“愉悦数”y为正整数时，正整数x的值是2．
【分析】根据新定义内容结合分式加减混合运算的运算法则化简y，然后根据y和x均为正整数求值．
【解答】解：当m＝2x+1，n＝x﹣1，且y为数m，n的“愉悦数”时，
y＝﹣（2x+1）+（x﹣1）
＝﹣+
＝
＝
＝
＝+
＝﹣x+1﹣，
∵x和y均为正整数，
∴1＜x＜4，
当x＝2时，y＝3，
当x＝3时，y＝﹣（不合题意，舍去），
故答案为：2．
【点评】本题考查分式加减混合运算，因式分解的应用，理解新定义内容，掌握分式加减混合运算的运算法则以及完全平方公式是解题关键．
24．（4分）如图，在四边形ABCD中，AD＝4，DC＝2，AC⊥BC且AC＝BC，点E是AB的中点，连接DE，当DE取最大值时，AC的长为2．
【分析】以AD为斜边在AD的右边作等腰直角△ADT，连接ET，CE．利用相似三角形的性质证明DC＝TE，求出TE＝，由DE≤DT+ET＝3，推出DE的最大值为3，此时D，T，E共线，利用勾股定理求出AE，可得结论．
【解答】解：以AD为斜边在AD的右边作等腰直角△ADT，连接ET，CE．
∵AC＝CB，AC⊥CB，
∴∠ACB＝90°，∠CAB＝45°，
∵AE＝EB，
∴EC⊥AB，
∴△AEC是等腰直角三角形，
∴AC＝AE，
∵AD＝AT，
∴＝＝，
∵∠DAT＝∠CAE＝45°，
∴∠DAC＝∠TAE，
∴△DAC∽△TAE，
∴＝＝
∵AD＝4，CD＝2，
∴AT＝DT＝2，TE＝，
∴DE≤DT+ET＝3，
∴DE的最大值为3，此时D，T，E共线，
∴AE＝＝＝，
∴AC＝AE＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
25．（4分）如图，直线y＝﹣x+5与坐标轴交于A，B两点，交反比例y＝（x＞0）的图象于C，D两点，且CD ＝3AC，点E是直线AB上一点，连接OE，以OE为边在OE右侧作直角三角形OEF，∠OEF＝90°，∠OFE ＝∠ABO，若边OF交反比例函数图象于点G，OG＝GF，则k值为8，点E的坐标是（，）．
【分析】根据题意，首先根据直线表达式以及坐标轴上点的特征求出A（0，5），B（10，0）；设点C的坐标为（a，b），过点C作CM⊥y轴于点M，过点D作DN⊥y轴于点N，则△AMC∽△AND，由相似三角形的性质，结合CD＝3AC求出出点D的坐标为（4a，4b﹣15），根据反比例函数上点的坐标之积相等，即可求出k值；连接BF，结合已知可得O、B、F、E四点共圆，所以点G是圆心，OF是直径，∠OBF＝90°；接下来求出点G 的坐标，进而即可得到点F的坐标，设出点E的坐标，再利用勾股定理进行求解即可．
【解答】解：直线y＝﹣x+5与坐标轴交于A，B两点，
∴A（0，5），B（10，0），
设点C的坐标为（a，b），过点C作CM⊥y轴于点M，过点D作DN⊥y轴于点N，
∴b＝﹣a+5，CM＝a，AM＝5﹣b，△AMC∽△AND，
∴＝，
又∵CD＝3AC，AD＝AC+CD，
∴＝，
∴AN＝4（5﹣b），
∴ON＝OA﹣AN＝5﹣4（5﹣b）＝4b﹣15，
∴点D的坐标为（4a，4b﹣15），
∵点C、D在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝ab＝4a（4b﹣15），
解得，b＝4，
将b＝4代入b＝﹣a+5，得a＝2，
∴k＝4×2＝8．
如图，连接BF．
∵∠OFE＝∠ABO，
∴O、B、F、E四点共圆，
∵∠OEF＝90°，OG＝GF，
∴点G是圆心，OF是直径，
∴∠OBF＝90°．
∵B（10，0），
∴点G的横坐标为5，
当x＝5时，y＝＝，
∴点G的坐标为（5，）．
∵OG＝GF，
∴点F的坐标为（10，）．
设点E的坐标为（x，﹣x+5），
由勾股定理可得OE2+EF2＝OF2，
∴x2+（﹣x+5）2+（10﹣x）2+（﹣x+5﹣）2＝102+（）2，
解得x＝或x＝10（舍去），
∴点E的坐标为（，）．
故答案为：8；（，）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，四点共圆，直径所对的圆周用是直用，勾股疋理，二用V日队的升足nI，解决本题的关键是作辅助线，证明O、B、F、E四点共圆．
二、解答题（共3个小题，满分30分）
26．（8分）某校文化节期间，九年级（1）班欢欢同学以20元/个的单价购进一批新型文具在现场销售，经现场销售统计发现：在一段时间内，销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x的表达式并写出自变量的取值范围；
（2）要使销售总利润达到800元，则销售单价应定为多少元/个？。