§5 正弦、余弦的诱导公式典例剖析(任意角的三角函数习题课)

［例1］已知cos α＝ｍ（｜m ｜≤1），求sin α、tan α的值.

选题意图：考查已知一个角的一个三角函数值，求这个角的其他三角函数值的方法和分类讨论的思想.

解：当m ＝0时，α角的终边落在y 轴上

若α的终边在y 轴的非负半轴上，则sin α＝1，tan α不存在

若α的终边在y 轴的非正半轴上，则sin α＝－1，tan α不存在

当m ＝±1时，α角的终边落在x 轴上，则sin α＝0，tan α＝0

当｜m ｜＜1且m ≠0时

若α在第一或第二象限时

m m

m 2221cos sin tan 1cos 1sin -==-=-=

αα

ααα

若α在第三或第四象限时

m m

m

2221cos sin tan 1cos 1sin --==--=--=αα

ααα

说明：确定角α的范围，以便确定三角函数值的符号，要对角的范围进行讨 论，不要遗漏终边在坐标轴上的情况.

［例2］已知tan α＝2，求下列各式的值.

(1)sin 2α－sin αcos α＋2 (2)ααα

αcos 3sin 5cos sin 3+-

选题意图：考查商数关系和平方关系的应用.

解：(1)sin 2α－sin αcos α＋2

5

121

42

2431tan 2tan tan 3cos sin cos 2cos sin sin 3222222=++-⨯=++-=

++-=

αααααααα 65

3

)14()310()

14(8)1)(tan 3tan 5()1(tan tan )cos )(sin

cos 3sin 5()cos (sin cos sin cos 3sin 5cos sin )

2(22

3222

233=+⨯++-=+++-=

+++-=+-αααααααααααααααα

说明：先通过tan α＝2，求出sin α、cos α，再代入求值，需要讨论，运算也较为复杂. ［例3］已知51cos sin -

=-θθ，求下列各式的值. (1)sin 4θ＋cos 4θ

(2)tan θ

选题意图：考查平方关系的应用.

解：(1)由51cos sin -

=-θθ， 得1－2sin θcos θ＝

251 ∴2sin θcos θ＝

2524 sin 4θ＋cos 4θ＝（sin 2θ＋cos 2θ）2－2sin 2θcos 2θ

＝1－

21（2sin θcos θ）2 625337

)2524

(21

12=⨯-=

（2）由(1)知sin θcos θ＝

2512

＞0，

∴θ为第一或第三象限角 而(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝1＋

25492524= 若θ在第一象限，则sin θ＋cos θ＝

57与sin θ－cos θ＝－51联立求得

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==54

cos 53sin θθ 43t a n =∴θ 若θ在第三象限，则sin θ＋cos θ＝－

57与sin θ－cos θ ＝－51

联立求得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=53cos 54sin θθ 34t a n =∴θ 说明：通过平方关系可以用sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ表示sin θ·cos θ以便达到换元的目的.

［例4］已知x+y =4－2cos 22θ，x －ｙ＝4sin2θ，求证221

21=+y x ．

选题意图：考查三角函数条件等式的证明方法和平方关系的应用.

证明：由x ＋y ＝4－2cos 22θ，得

θ2cos 242=--y

x ①

由x －y ＝4sin2θ得

θ2sin 4=-y

x ②

①＋②2得

.116)(242=-+--y x y x 即x 2＋y 2－2xy －8x －8y ＋16＝0 4xy ＝x 2＋y 2＋16－8x －8y ＋2xy 即4xy ＝（4－x －y ）2 ∴2xy ＝4－x －y

即x ＋2

xy ＋y ＝4 ∴4)(2

=+

y x 因此22121=+y x

说明：可通过⎩

⎨⎧=--=+θθ2sin 42cos 242y x y x 求出x 、y ，再代入进行证明.