人教版 八年级数学上册 竞赛专题：直角三角形(含答案)

人教版 八年级数学上册 竞赛专题：直角三角形(含答案)
【例l 】（1）直角△ABC 三边的长分别是x ，1x 和5，则△ABC 的周长＝_____________.△ABC 的面积＝_____________.
（2）如图，已知Rt △ABC 的两直角边AC ＝5，BC ＝12，D 是BC 上一点，当AD 是∠A 的平分线时，则CD ＝_____________.
（太原市竞赛试题）
解题思路：对于（1），应分类讨论；对于（2），能在Rt △ACD 中求出CD 吗？从角平分线性质入手.
【例2】如图所示的方格纸中，点A ，B ，C ，都在方格线的交点，则∠ACB ＝（ ） A.120° B.135° C.150° D.165°
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：方格纸有许多隐含条件，这是解本例的基础.
【例3】如图，P 为△ABC 边BC 上的一点，且PC ＝2PB ，已知∠ABC ＝45°，∠APC ＝60°，求∠ACB 的度数.
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
解题思路：不能简单地由角的关系推出∠ACB 的度数，综合运用条件PC ＝2PB 及∠APC ＝60°，构造出含30°的直角三角形是解本例的关键.
【例4】如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，分别以AB ，AC 为边在△ABC 的外侧
D
C
B
C
作等边△ABE 和等边△ACD ，DE 与AB 交于F ，求证：EF ＝FD.
（上海市竞赛试题）
解题思路：已知FD 为Rt △FAD 的斜边，因此需作辅助线，构造以EF 为斜边的直角三角形，通过全等三角形证明.
【例5】如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝30°，∠ADC ＝60°，AD ＝CD ，求证：
222BD AB BC +=
（北京市竞赛试题）
解题思路：由待证结论易联想到勾股定理，因此，三条线段可构成直角三角形，应设法将这三条线段集中在同一三角形中.
【例6】斯特瓦尔特定理：
如图，设D 为△ABC 的边BC 上任意一点，a ，b ，c 为△ABC 三边长，则
222
b BD
c DC AD BD DC a
+=-⋅.请证明结论成立.
解题思路：本题充分体现了勾股定理运用中的数形结合思想.
能力训练
A 级
1.如图，D 为△ABC 的边BC 上一点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，则BC ＝_____________.
B
A
C
C
B
B
2.如图，在Rt △ABC 中∠C ＝90°，BE 平分∠ABC 交AC 于E ，DE 是斜边AB 的垂直平分线，且DE ＝1cm ，则AC ＝_____________cm.
3.如图，四边形ABCD 中，已知AB ∶BC ∶CD ∶DA ＝2∶2∶3∶1，且∠B ＝90°，则∠DAB ＝_____________.
（上海市竞赛试题）
4.如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝13，边BC 上的中线AD ＝6，则BC 的长为_____________.
（湖北省预赛试题）
5.如果一个三角形的一条边是另一条边的2倍，并且有一个角是30 º，那么这个三角形的形状是（ ）
A.直角三角形
B. 钝角三角形
C. 锐角三角形
D.不能确定
（山东省竞赛试题）
6.如图，小正方形边长为1，连结小正方形的三个顶点可得△ABC ，则AC 边上的高为（ ）
第1题
D 第2题
第3
题
A
B
C
第4
题
D
B
B.
C.
D.
（福州市中考试题）
7.如图，一个长为25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑（ ） A. 15分米 B. 9分米 C. 8分米 D. 5分米
8.如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝4，AD ＝5，那么
BC CD
等于（ ） A.1 B. 2
C.
D.
5
4
9. 如图，△ABC 中，AB ＝BC ＝CA ，AE ＝CD ，AD ，BE 相交于P ，BQ ⊥AD 于Q ，求证：BP ＝2PQ.
（北京市竞赛试题）
第6题
C
第7
题
第8题
A
C
10. 如图，△ABC 中，AB ＝AC.
（1）若P 是BC 边上中点，连结AP ，求证：22BP CP AB AP ⋅=-
（2）P 是BC 边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）若P 是BC 边延长线上一点，线段AB ，AP ，BP ，CP 之间有什么样的关系？请证明你的结论.
11.如图，直线OB 是一次函数2y x =图象，点A 的坐标为（0，2），在直线OB 上找点C ，使得△ACO 为等腰三角形，求点C 的坐标.
12.已知：如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在C '处，BC '交AD 于E ，AD ＝8，AB ＝4，求△BED 的面积.
（山西省中考试题）
B 级
1.若△ABC 的三边a,b,c 满足条件：222338102426a b c a b c +++=++，则这个三角形最长边上的高为_____________.
2.如图，在等腰Rt △ABC 中，∠A ＝90°，P 是△ABC 内的一点，PA ＝1，PB ＝3，PC
，则∠CPA ＝_____________.
B
D
3. 在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为_____________.
4.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AF 平分∠CAB 交CD 于E ，交CB 于F ，且EG ∥AB 交CB 于G ，则CF 与GB 的大小关系是（ ） A. CF ＞GB B. CF ＝GB C. CF ＜GB D. 无法确定
5. 在△ABC 中，∠B 是钝角，AB ＝6，CB ＝8，则AD 的范围是（ ） A. 8＜AC ＜10 B. 8＜AC ＜14 C. 2＜AC ＜14 D. 10＜AC ＜14
（江苏省竞赛试题）
6.满足两条直角边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D.4个
（浙江省竞赛试题）
7.如图，△ABC 是等腰直角三角形，AB ＝AC ，D 是斜边BC 的中点，E ，F 分别是AB ，AC
边上的点，且DE ⊥DF ，若BE ＝12，CF ＝5，求△DEF 的面积.
（四川省联赛试题）
8.如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，D 为斜边BC 中点，DE ⊥DF ，求证：222EF BE CF =+
第2题
A
第4题
D A
B
D
B
C
D
B
（江苏省竞赛试题）
9.周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明有几个.
（全国联赛试题）
10.如图，在△ABC 中，∠B AC ＝45°，AD ⊥BC 于D ，BD ＝3，CD ＝2，求△ABC 面积.
（天津市竞赛试题）
11.如图，在△ABC 中，∠B AC ＝90°，AB ＝AC ，E ，F 分别是BC 上两点，若∠EAF ＝
45°，试推断BE ，CF ，EF 之间数量关系，并说明理由.
12.已知在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∠MCN ＝45°. （1）如图1，当M ，N 在AB 上时，求证：222MN AM BN =+
（2）如图2，将∠MCN 绕点C 旋转，当M 在BA 的延长线上时，上述结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
（天津市中考试题）
B
C
A C
图1
N
A
B M
图2
N B
M
参考答案
例1 （1）12或30；6或30； 提示：()2
2125x x ++=，得3x =；由()2
2251x x +=+，得12x =，
（2）103
提示：作DE ⊥AB 于E ，设CD =x ，则BE =13-5=8，DE =x ，BD =12-x ，由()2
22812x x +=-，
得103
x =
． 例2 B 提示：过B 作BD ⊥AC 延长线于D 点，设CD =x ，BD =y ，可求得：x =y ，则∠BCD =45°，
故∠BCA =135°．
例3 ∠ACB =75° 提示：过C 作CQ ⊥AP 于Q ，连接BQ ，则AQ =BQ =CQ ．
例4 提示：过E 作EG ⊥AB 于G ，先证明Rt △EAG ≌Rt △ABC ，再证明△EFG ≌△DF A ．
例5 连接AC
∵AD =DC ，∠ADC =60°，
∴△ADC 是等边三角形，DC =CA =AD ，
以BC 为边向四边形外作等边三角形BCE ，即BC =BE =CE ， 则∠BCE =∠EBC =∠CEB =60°，
∴∠ABE =∠ABC +∠EBC =90°，
连接AE ，则22222AE AB BE AB BC =+=+，
易证△BDC ≌△EAC ，得BD =AE ，故222
BD AB BC =+． 例6 过A 作AE ⊥BC 于E ，
设DE =x ，BD =u ，DC =v ，AD =t ，则
()()2
2
22222AE b v x c u x t x =--=-+=-，
故2222t b v ux =-+，2222t c u ux =--，
消去x 得2
2
2b u c v t uv u v +=
-+，即2
2
2b BD c CD
AD BD DC a
+=-⋅． A 级
1．14 2．3 3．135°
4
． 提示：延长AD 至E ，使DE =AD ，连接BE ，则△ACD ≌△EBD ，∴BE =AC =13，AE =12，又AB =5，则∠BAD =90°，
5．D 6．C 7．C 8．B 9．提示：△ADC ≌△BEA ，∠BPQ =60°． 10．（1）（2）略 （3）提示：AB ，AP ，BP ，CP ，之间的关系是22AP AB BP CP -=⋅ 11．提示：满足提议的点有4个，
作别分别为：8161,,,,,1552⎛⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
； 12．10．
B 级
1．60
13
2．135° 提示：将△P AC 绕A 点顺时针旋转90°， 3．32或42 提示：分类讨论。

4．B 5．D
6．C 提示：设直角三角形两直角边长为a ，b （a ≤b ）
，则12
a b k ab +⋅（a ，b ，
k 均为正整数），化简得：(ka -4)(ka -b )=8，∴4148ka kb -=⎧⎨-=⎩或4244
ka kb -=⎧⎨-=⎩，解得（k ，a ，b ）=（1，
5，12）或（2，3，4）或（1，6，8）．
B
7．
169
4
提示：连接AD ，由△ADE ≌△CDF ，得ED =DF ，AE =CF =5，AF =BE =12
，13EF ==．
8．提示：延长ED 至G ，使DG =ED ，连接CG ，FG ，则BE =CG ，EF =FG ． 9．解：设此直角三角形的斜边为c ，两直角边分别为a ，b ，面积为S ，则： 2
22612
a b c a b a b c a b c S ab ≤<<+⎧⎪
++=⎪⎪⎨+=⎪
⎪=⎪⎩①②③为整数④
由①②得：2<c <3 ⑤
由②得：()2
226a b c +=-，把③④代入上式得：3c =9-S ， 即6<3c <9，而S 为整数，从而3c =7或8，
若3c =7，则S =2，代入②、④得：
11
=
3a b +，ab =4，。