高三试卷数学-江西省宜春市丰城中学2024届高三上学期10月月考数学试卷及参考答案

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，丰城中学2023-2024学年高三上学期10月段考数学试卷
考试时间：120分钟
试卷总分：150分
有
且只有一项是符合题目要求的.）
1．已知命题p ：x ∀∈R ，2x
x <，则p ⌝
为(
)
A ．x ∀∈R ，2
x
x ≥B ．x ∃∈R ，2x
x <C ．x ∃∈R ，2
x
x ≥D ．x ∃∈R ，2
x
x >2．非空集合{}
03A x N x =∈<<，B {}
2
10,y N y my m R =∈-+<∈，A B A B = ，则实数m 的
取值范围为()
A ．510,23⎛⎤
⎥⎝⎦B ．170,
4⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．102,
3⎛⎤
⎥⎝⎦
D ．517,24⎛⎤
⎥⎝⎦
3．若曲线ln y ax b x =+在点()1,2A 处的切线在y 轴上的截距为1，则b =()
A ．0
B ．1-
C ．1
D ．2
4．已知函数()(
)()2
2
241x x f x x
e
x x e --=--++在区间[]1,5-的值域为[],m M ，则m M +=(
)
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
5．函数()10sin 22x x
x
f x -=
+的大致图象为(
)
A ．
B ．
C ．
D ．
6．设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若222b c a ca =+-，且sin 2sin A C =，则ABC 的形状为(
)
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰三角形
7．设函数()()()1
sin 02
f x x ωϕω=+-
>，若对于任意实数ϕ，函数()f x 在区间[]0,2π上至少有3个零点，至多有4个零点，则ω的取值范围是()
A ．41,
3⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
B ．45,33⎡⎫⎪
⎢⎣⎭C ．5,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．72,3⎡⎫
⎪
⎢⎣⎭
8．下列不等式正确的是（其中e ≈为自然对数的底数， 3.14π≈，ln 20.69≈）()
A ．332e ππ-<
B ．42ln 23e <
C ．cos1
cos 21
e
<+D ．2sin1π<
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得5分，有错选的得0分部分选对的得2分）
9．将函数()sin f x x =图像上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标缩短为原来的1
3
，再将所得的图
像向右平移12
π
个单位长度，得到函数()g x 的图像，则()
A ．()3sin 312g x x π⎛
⎫=- ⎪
⎝
⎭B ．()g x 的图像关于直线4x π=对称C ．()g x 的图像关于点5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称D ．()g x 在0,4π⎡⎤
⎢⎣⎦
上单调递增10．已知a ，b 为正实数，且216ab a b ++=，则()A ．ab 的最大值为8B ．2a b +的最小值为8
C ．a b +
的最小值为3D ．1112a b +
++
的最小值为2
11.关于函数()cos sin f x x x =+，下述结论正确的是()
A.()f x
的最小值为 B.()f x 在[]π,2π上单调递增C.函数()1y f x =-在[]π,π-上有3个零点
D.曲线()y f x =关于直线πx =对称
12．定义在R 上的函数()f x 与()g x 的导函数分别为()'f x 和()'g x ，若()()122g x f x +--=，()()''1f x g x =-，且()2g x +为奇函数，则下列说法中一定正确的是(
)
A ．()20
g =B ．函数()'f x 关于2x =对称C ．函数()f x 是周期函数D ．
()20231
k g k ==∑三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.已知函数()()1
2
22e ,4,
log 12,4,
x x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩则()()4f f =__________．14.
212
log sin15log cos345︒-︒=__________．．
15.
若tan 20sin 20m ︒+︒=m 的值为__________．16.若1
ln 2e
0x x k
k x
++-
-≥对任意0x >恒成立，则实数k 的取值范围是__________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.(本小题满分10分)
已知集合{
}
2
280A x x x =--≤，{
}
22
210,0B x x x m m =-+-≤>.（1）若2m =，求()
R A B ð；
（2）x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求m 的取值范围.
18.（本小题满分12分）
在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2
2
2
2
cos cos b c a ac C c A +-=+.（1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆的面积253
4
ABC S ∆=
，且5a =，求sin sin B C +.19.(本小题满分12分)已知()()43sin sin 55
αβαβ+=
-=，（Ⅰ）求
tan tan α
β
的值；（Ⅱ）若04
π
βα<<≤
，求cos β的值.
20.（本小题满分12分）
展销会上，在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场．已知该产品年固定研发成本为150万元，每生产一台需另投入380元．设该企业一年内生产该产品x 万台且全部售完，
每万台的销售收入R 万元，且25002,020********
370,20x x R x x x -<⎧⎪
=⎨+->⎪⎩
≤（1）写出年利润S （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式；（利润＝销售收入－成本）
（2）当年产量为多少万时，该企业获得的利润最大，并求出最大利润．
21.（本小题满分12分）已知函数(
)22cos 2
f x x x x =
+
.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若()()()44g f f x f x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=++
-⋅+ ⎪ ⎝
⎭⎝⎭
，存在1x ，2x R ∈，对任意x R ∈，有()()12()g x g x g x ≤≤恒成立，求12x x -的最小值；
22.（本小题满分12分）
已知函数()()2
ln R 2
a f x x x x x a =+
-∈，且f （x ）在()0,∞+内有两个极值点12,x x （12x x <）．（1）求实数a 的取值范围；（2）求证：12
20
a x x +<+．
丰城中学2023-2024学年高三上学期10月段考
数学参考答案及解析
13.
2e 14.2-15.416.
(]
,1-∞17.【小问1详解】
解不等式2280x x --≤，得24x -≤≤，即{}
24A x x =-≤≤，
当2m =时，解不等式2230x x --≤，得13x -≤≤，即{}
13B x x =-≤≤，于是{
R 1B x x =<-ð或}3x >，
所以(){
R 21A B x x ⋂=-≤<-ð或}34x <≤.………………………………………5分
【小问2详解】
原不等式化为：()()()1100x m x m m --+-≤>，解得11m x m -≤≤+，于是{}
11,0B x m x m m =-≤≤+>，
由x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，则集合B 是A 的真子集，得12140m m m -≥-⎧⎪
+≤⎨⎪>⎩
且等号不同时成立，
解得03m <<.………………………………………10分
18.（1）3
A π
=
.解析:（Ⅰ）因为2222
cos cos b c a ac C c A +-=+，
所以由2
2cos cos cos bc A ac C c A =+，即2cos cos cos b A a C c A =+，
由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+，即()2sin cos sin B A A C =+，
∵()()sin sin sin A C B B π+=-=，
∴2sin cos sin B A B =，即()sin 2cos 10B A -=，∵0B π<<，∴sin 0B ≠，∴1cos 2
A =，∵0A π<<，∴3
A π=.………………………………………6分
（Ⅱ）∵13253
sin 244ABC S bc A bc ∆=
==
，∴25bc =，∵22222251
cos 22252b c a b c A bc +-+-===⨯，2250b c +=，
∴()2
50225100b c +=+⨯=，即10b c +=，
∴
(
)3sin sin sin 2sin sin 105
A A A
B C b c b c a a a +=⋅+⋅=+=⋅=.……………………………12分
题号12
3
4
5
6
7
89
10
11
12
答案
C
A
B
C
D
B
C
C
BCD
ABC
CD
ACD
19.【答案】（Ⅰ）
tan 7tan α
β=（Ⅱ）7210
解：（I ）()4sin sin cos cos sin 5
αβαβαβ+=+=
①
()3
sin sin cos cos sin 5
αβαβαβ-=-=②
由①+②得7sin cos 10αβ=③由①-②得1
cos sin 10
αβ=④
由③÷④得
tan 7tan α
β
=……………………………6分
（II ）∵04πβα<<≤
，()()43sin ,sin 55αβαβ+=-=0,024ππαβαβ∴<+<<-<，()
3
cos 5
αβ+==，
(
)4
cos 5
αβ-==()()()()()()
cos 2cos cos cos sin sin βαβαβαβαβαβαβ⎡⎤=+--⎣⎦
=+-++-344324555525
=⨯+⨯
=272cos 22cos 1,cos 10
βββ=-∴=
== ……………………………12分20．
（1）22120150,0206250
101990,20x x x S x x x ⎧-+-<⎪
=⎨--+>⎪
⎩
≤（2）当年产量为25万台时，该公司获得的利润最大为1490万元．
【分析】
（1）根据利润＝销售收入－成本结合已知条件求解即可，
（2）分020x <≤和20x >求出S 的最大值，比较即可得答案.【详解】
（1）当020x <≤时，380150
S xR x =--()5002380150x x x =---22120150x x =-+-，当20x >时，380150
S xR x =--221406250370380150x x x x ⎛
⎫=+--- ⎪⎝
⎭6250101990x x =--+，综上，22120150,0206250
101990,20x x x S x x x ⎧-+-<⎪
=⎨--+>⎪⎩
≤，……………………………6分（2）当020x <≤时，()2
2
21201502301650S x x x =-+-=--+，
函数的对称轴是30x =，则函数在(]0,20上递增，所以当20x =时，函数取得最大值1450；
当20x >时，6251019901019901490S x x ⎛
⎫=-++-⨯= ⎪⎝
⎭≤，当且仅当625
x x
=
，即25x =时取等号，此时S 的最大值为1490，因为14501490
<所以当年产量为25万台时，该公司获得的利润最大为1490万元．……………………………12分20．（1）()3,88k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
（2）
38π【详解】
（1）()22cos 2f x x x x =
+
()222
21cos 2222
x x =-++22sin 2cos 2sin 2224x x x π⎛⎫=
-=- ⎪⎝
⎭令()222242k x k k Z πππππ-
+-+∈≤≤，得()388
k x k k Z ππ
ππ-++∈≤≤∴函数()f x 的单调递增区间为()3,88k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
……………………………6分（2）()()()44g x f x f x f x f x ππ⎛⎫⎛
⎫=++-⋅+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭sin 2cos 2sin 2cos 24444x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=-+---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
令sin 2cos 244x x t ππ⎛⎫⎛
⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭（2t x ⎡=∈⎣），
则21sin 2cos 2442t x x ππ-⎛
⎫⎛⎫--=
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭()()()2
211111
222
g x h t t t t ==-++=--+可得，当1t =即2
sin 22
x =时，()max 1g x =；
当t =sin 21x =-时，()min 1
2
g x =-
∵存在1x ，2x R ∈，对任意x R ∈，
有()()()12g x g x g x ≤≤恒成立，
∴()1g x 为()g x 的最小值，()2g x 为()g x 的最大值，∴1sin 21x =-，22
sin 22
x =，∴12
min
33322244
x x πππ
-=-=
，
∴12
min
38
x x π-=
.……………………………12分
22.【答案】（1）1
0e
a -<<（2）见解析
【解析】
【分析】(1)转化为ln x
a x
-=有两个根，讨论单调性结合函数图象可求解；(2)等价于证明12ln ln 2,x x +>构造函数即可证明.【小问1详解】
由题可知,()ln f x x ax '=+,令()0f x '=,即ln 0x ax +=,即ln x
a x
-=有两个根12,x x ,令ln ()x
g x x
=
,则21ln ()x g x x -'=,
由()0g x '>得,1ln 0x ->,解得0e x <<;由()0g x '<得,1ln 0x -<,解得e x >,所以()g x 在(0,e)单调递增,(e,+)∞单调递减,(1)0,f =e x >时()0f x >,
所以要使ln x a x -=有两个根,则1
0(e)e
a f <-<=,
解得10(e)e a f <-<=,所以1
0e
a -<<.……………………………12分
【小问2详解】
由(1)可知112
2ln ,ln x a x x a x ⎧
-=⎪⎪
⎨
⎪-=⎪⎩
且121x e x <<<，所以1122ln ,ln ax x ax x -=⎧⎨-=⎩要证12
20
a x x +<+，只用证()1220a x x ++<，等价于证明12()2a x x -+>，
而2121()ln ln a x x x x --=-，即2121
ln ln x x a x x --=-，故等价于证明212121ln ln 2
x x x x x x ->-+，即证2211212()ln x x x x x x ->+.令21x t x =，则1t >，于是等价于证明2(1)ln 1t t t ->+成立，
设2(1)()ln 1
t g t t t -=-+，1t >222
14(1)()0(1)(1)t g t t t t t '
-=-=>++，所以()g t 在(1,)+∞上单调递增，
故()(1)0g t g >=，即2(1)
ln 1
t t t ->+成立，
所以12ln ln 2x x +>，结论得证.……………………………12分。