高中数学易错点与应试技巧总结：数列1

高中数学易错点与应试技巧总结：数列1

高中数学易错点与应试技巧总结：数列1

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结（数列）

一．数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，，n｝）的

特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。如

n1*(nN)，则在数列的最大项为__（答：）；{a}nn215625an（2）数列{an}的通项为an，其中a,b均为正数，则an与an1的大小关系为___

bn1（1）已知an（答：anan1）；

（3）已知数列{an}中，ann2n，且{an}是递增数列，求实数的取值范围（3）；（4）一给定函数yf(x)的图象在下列图中，并且对任意a1(0,1)，由关系式an1f(an)得到的数列{an}满足an1an(nN*)，则该函数的图象是

（）（答：A）

二．等差数列的有关概念：

1．等差数列的判断方法：定义法an1and(d为常数）或an1ananan1(n2)。如

设{an}是等差数列，求证：以bn=

a1a2annN*为通项公式的数列{bn}为等差数列。

n2．等差数列的通项：ana1(n1)d或anam(nm)d。如

(1)等差数列{an}中，a1030，a2050，则通项an（答：2n10）；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（3．等差数列的前n和：Sn8d3）3n(a1an)n(n1)d。如，Snna1221315*（1）数列{an}中，anan1(n2,nN)，an，前n项和Sn，则a1222＝＿，n＝＿（答：a13，n10）；

（2）已知数列{an}的前n项和Sn12nn，求数列{|an|}的前n项和Tn

-1-

2*12nn(n6,nN)（答：Tn2）.*n12n72(n6,nN)4．等差中项：若a,A,b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且Aab。2提醒：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为，

a2d,ad,a,ad,a2d（公差为d）；偶数个数成等差，可设为，a3d,ad,ad,a3d,（公差为2d）

三．等差数列的性质：

1．当公差d0时，等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n和Snna1n(n1)dddn2(a1)n是关于n的二次函数且常数项为0.2222．若公差d0，则为递增等差数列，若公差d0，则为递减等差数列若公差d0，则为常数列。

npq3．当m时,则有amanapaq，特别地，当mn2p时，则有aman2ap.

如（1）等差数列{an}中，Sn18,anan1an23,S31，则n＝____（答：27）；（2）在等差数列an中，a100,a110，且a11|a10|，Sn是其前n项和，则A、S1,S2S10都小于0，S11,S12都大于0B、S1,S2S19都小于0，S20,S21都大于0C、S1,S2S5都小于0，S6,S7都大于0

D、S1,S2S20都小于0，S21,S22都大于0（答：B）

4．若{an}、{bn}是等差数列，则{kan}、{kanpbn}(k、p是非零常数)、

{apnq}(p,qN*)、Sn,S2nSn,S3nS2n，也成等差数列，而{aan}成等比数列；若{an}是等比数列，且an0，则{lgan}是等差数列.如

等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为。（225）5．在等差数列{an}中，当项数为偶数2n时，S偶－S奇nd；项数为奇数2n1时，；S奇:SS奇S偶a中，S2n1(2n1)a中（这里a中即an）（1）在等差数列中，S11＝22，则a6＝______（答：2）；

偶k()1:k。如

（2）项数为奇数的等差数列{an}中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.

6．若等差数列{an}、{bn}的前n和分别为An、Bn，且

Anf(n)，则Bn

an(2n1)anA2n1f(2n1).如设{an}与{bn}是两个等差数列，它们的前n项bn(2n1)bnB2n1和分别为Sn和Tn，若

a6n2Sn3n1，那么n___________（答：）8n7bnTn4n37．“首正”的递减等差

数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数

an0an0确列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组或an10an10定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n项是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性nN。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如

（1）等差数列{an}中，a125，S9S17，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。

（答：前13项和最大，最大值为169）；

（2）若{an}是等差数列，首项a10,a20xxa20xx0，

*a20xxa20xx0，则使前n项和Sn0成立的最大正整数n是（答：4006）

8．如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究anbm.四．等比数列的有关概念：1．等比数列的判断方法：定义法

an1aa，其中q0,an0或n1nq(q为常数）ananan1(n2)。如

（1）一个等比数列{an}共有2n1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则an1为____

（答：

5）；6（2）数列{an}中，Sn=4an1+1(n2)且a1=1，若bnan12an，求证：数列｛bn｝是等比数列。

2．等比数列的通项：ana1qn1或anamqnm。如设等比数列{an}中，a1an66， a2an1128，前n项和Sn＝126，求n和公比q.（答：n6，q1或2）2a1(1qn)a1anq3．等比数列的前n和：当q1时，Snna1；当q1时，Sn。如

1q1q（1）等比数列中，q＝2，S99=77，求a3a6a99（答：44）；（2）

(Cn1k010nkn；)的值为__________（答：2046）

特别提醒：等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对