山东省泰安市2021-2022学年高三上学期期中考试数学【试卷+答案】

{ } B. x| -2 < x ≤ 0或1 ≤ x < 3
C. {x| 1 ≤ x < 3}
{ } D. x| -2 < x < 0或1 < x < 3
2. 已知 a > 0且a ≠ 1，则“a > 2”是“loga2 < 1”的
A. 充分必要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
A.
sin (
5 2
x
-
π 20
)
B.
sin (10x
-
π 20
)
C.
sin (
5 2
x
+
3π 4
)
D.
sin (
5 2
x
+
3π 8
)
高三数学试题 第 1 页 （共 4 页）
5.
若 a,b
∈
R
,
ab
>
0，则
a4
+
ab 4b4
+
1
的最大值为
A.
1 4
B.
1 2
C. 2
D. 4
6.
函数 y
=
(1
+
cos x )( x
某地打算修建一条公路，但设计路线正好经过一个野生动物迁徙路线，为了保护野生
动物，决定修建高架桥，为野生动物的迁徙提供安全通道 . 若高架桥的两端及两端的桥墩
已建好，两端的桥墩相距 1200 米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩 . 经预
测，一个桥墩的工程费用为 500 万元，距离为 x 米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为
13.
若
2a=7b=14，a,b
∈
R,
则
1 a
+
1 b
=
.
14. 在相距 1000 米的 A，B 两点处测量目标点 C，若∠CAB=60°，∠CBA=75°,则 B，C 两点之间
的距离为
米.
15. 已知数列{an}满足 a1 = 1, 且an + 1 - an = n + 1, 则 an=
，
数
列{
1 an
≥
2ab a+b
B. 若a > b,则2a - b > 1 2
D.
若a
>
b
>
0,则
lg lg
a b
>
1
10. 设数列{ an} 的前n项和为Sn ,a1 = 1,且2Sn = 3an + m,则
A. m=-1
B. { an} 是等差数列
C. an = 3n - 1
D.
Sn
=
3n 2
1
11. 已知函数 f ( x ) = x + 2 tan x,其导函数为f ′( x ),设g ( x ) = f ′( x )cos x,则
)时, f
(x)<
f
(
1 2
)
=
-
5 2
，
∴
a
≥
-
5 2
.
………………………………………………………………… 10 分
高三数学试题参考答案 第 1 页 （共 6 页）
18.（12 分）
解：f ( x ) = cosωx ( 3 sinωx + 1 cosωx ) - cos2 ωx + 1
2
2
4
= 3 sinωxcosωx - 1 cos2 ωx + 1
时,解不等式；
（2）若不等式对任意 x
∈ (0,
1 2
)恒成立,求实数 a 的取值范围 .
18. (12 分)
已 知 函 数 f ( x ) = cos ωx sin ( ωx + π ) - cos2 ωx + 1，满 足 f ( m ) = f (n ) = 1 ( m,n ∈ R,m > n )
6
4
4
的
m-n
的最小值是
π 3
.
（1）求 f ( x )的单调递增区间；
（2）求 f
( x )在 [ 0,
5π 12
]上的最大值和最小值 .
高三数学试题 第 3 页 （共 4 页）
19. (12 分) 在 △ABC 中 ，内 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c，已 知 sin B + sin C = 2 sin A, 3bsinC =
3. 已知函数 f ( x ) = ìí î
ex ,x ≤ 0 ln x,x > 0
,
则f
(
f
(1
)
)
=
A. e
B. 1
C. 0
D. -1
4.
若将函数 f (x ) =
sin (5x
-
π 4
)的图象向左平移
π 5
个单位长度，再将得到的图象上所有
点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变），最后得到函数 g ( x )的图象，则 g ( x ) =
高三年级考试
试卷类型:A
数学试题
2021.11
注意事项:
1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡
上。写在本试卷上无效。
,
25π 12
] 上单调递增，则下列
说法正确的是
A. ω的最大值为3
B. 方程f ( x ) = log2π x在 (0,2π ]上至多有 5 个根 C. 存在ω和φ使f ( x ) = sin ( ωx + φ )为偶函数
D. 存在ω和φ使f ( x ) = sin ( ωx + φ )为奇函数
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
2
2
4
=
3 4
sin2ωx
-
1 4
cos2ωx
=
1 2
sin (2ωx
-
π 6
).
………………………………………………………… 2 分
令f
(x)
=
1 4
，整理得
sin
( 2ωx
-
π 6
)=
1 2
，
∴ 2ωx
-
π 6
=
2kπ
+
π 6
或2ωx
-
π 6
=
2kπ
+
5π 6
,k
∈
Z
∴
x
=
2kπ + 2ω
π 3
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1. 已知集合 A={x| x2 - x - 6 < 0}，B={x| 0 < x < 1}，则 A∩（∁RB）=
A. {x| -2 < x ≤ 0}
A. f ( x )的图象关于原点对称
B. f ( x )在R上单调递增
C. 2π是g ( x )的一个周期
D.
g ( x )在(0,
π 2
) 上的最小值为2
2
高三数学试题 第 2 页 （共 4 页）
12.
已知函数 f
(x)
=
sin ( ωx
+
φ )(ω
∈
N
)在 [
-
π 12
,
π 12
]和[
7π 4
或x
=
2kπ + 2ω
π
,k
∈
Z
………………………………………… 4 分
令k
=
0，得 x
=
π 6ω
或
x
=
π 2ω
∴
π 2ω
-
π 6ω
=
π 3
∴ω=1
∴f
(x ) =
1 2
sin (2x
-
π 6
)…………………………………………………………
6分
（1）由
-
π 2
+
2kπ
≤
2x
-
π 6
≤
π 2
+
2kπ , k ∈
19.（12 分）
{ 解：∵
sinB + sinC = 2sinA 3bsinC = 4csinA
{∴
b + c = 2a 3b = 4a
………………………………………………………… 2 分
解得
ìïï b
í îïï
c
= =
4 3 2 3
a a
∴ cos B =
a2
+ c2 2ac
b2
=
a2
+
4 9
-x
-
1 x
……………………………… 6 分
令f
(x ) =
-x
-
1 x
，x
∈
(
0,
+
∞ )，则
f ′( x ) = -1 +
1 x2
=
1 - x2 x2
………………………………………………………
8分
当x
∈ (0,
1 2
)时, f ′( x ) >
0, f
( x )单调递增,
∴当x ∈ (0,
1 2
Z，得
-
π 3
+
2kπ
≤
2x
≤
2 3
π
+
2kπ ,k
∈
Z
解得
-
π 6
+
kπ
≤
x
≤
π 3
+
kπ
,
k
∈
Z
∴f
(
x
)的单调递增区间为
[
-
π 6
+
kπ
,
π 3
+
kπ ]
, k ∈ Z.
……………………
9分
（2）由（1）知，函数 f
(x
)在[
0
,
π 3
] 上单调递增，在 [
π 3
,
5 12
π
]上单调递减 .
∴
}
的前
n
项
和
Sn=
.
16. 已知函数 f ( x ) = x ln x + 1 mx2有两个极值点, 则实数m的取值范围为
.
2
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10 分）
已知关于 x 的不等式 x2 + ax + 1 ≥ 0.
（1）当a
=
5 2
当x ∈ [ 0 ,
5 12
π ]时，f
( x ) max
=
f
(
π 3
)=
1 2
又f
(0
)
=
-
1 4
,f
(
5 12π)=3 4∴当x
∈
[
0
,
5 12
π
] 时,
f
(x
) min
=
-
1 4
∴
f
(x )在[ 0 ,
5 12
π
]
上的最大值为
1 2
, 最小值为
-
1 4
.
……………………
12 分
高三数学试题参考答案 第 2 页 （共 6 页）
分）
16. ( -1,0 )
17.（10 分）
解：（1）当 a
=
5 2
时，不等式可化为
(x
+
2 )(x
+
1 2
)
≥
0
…………………………… 2 分
解得
x
≤
-
2或x
≥
-
1 2
∴当a
=
5 2
时，不等式的解集为 {
x│x
≤
- 2或x
≥
-
1 2
}
…………………… 4 分
（2）当
x
∈
(
0,
1 2
)时，原不等式可化为 a ≥
方法一：
∵
S + S △ABE
△DBE
S △ABD
=
1 2
BA·BE· sin
π 3
+
1 2
BD·BE· sin
π 3
1 BA·BD· sin 2 π
………………………
10 分
2
3
=
BA·BE + BD·BE BA·BD
BE BE = BD + BA = 1
∴
1 BA
+
1 BD
=
1 BE
………………………………………………………………
10x[ln（x+12）-3]万元 . 假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素，记
余下工程的费用为 y 万元 .
（1）试写出 y 关于 x 的函数关系式；
（2）需新建多少个桥墩才能使 y 最小？并求出其最小值 .
参考数据：ln 2 ≈ 0.69, ln 3 ≈ 1.10
22. (12 分) 已知函数 f ( x ) = ( x - 1 )ln ( x + 1 )，曲线 y = f ( x )在点（1, 0）处的切线方程为 y = kx + b
数学试题参考答案及评分标准
2021.11
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B B C A D D C
二、选择题：
题号 9
10
11
12
答 案 ABC ACD AC ABD
三、填空题： 13. 1 14. 500 6 四、解答题：
15.
n(n + 2
1
（) 3
分）；n
2n +
1（2
12 分
方法二：
在 △ABE中,
BE sin A
=
BA sin ∠AEB
,
∴
BE BA
=
sinA sin∠AEB
在△DBE中,
BE sin D
=
BD sin ∠DEB
∴
BE BD
=
sin D sin∠DEB
=
sin D sin∠AEB
…………………………………………………
10 分
在 △ABD中，∠A
+
∠D
=
π 3
,
高三数学试题参考答案 第 3 页 （共 6 页）
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9. 已知 a,b,c ∈ R,则 下列命题为真命题的是