第14讲 圆锥曲线最值问题(原卷及答案)-高考数学复习《导数与解析几何》必掌握问题

第14讲 最值问题

典型例题

目标函数法求最值问题

【例1】已知椭圆22

:

14x y W m m

+=的长轴长为4,左、右顶点分别为,A B ,经过点()1,0P 的动直线与椭圆W 相交于不同的两点,C D (不与点,A B 重合). (1)求粗圆W 的方程及离心率; (2)求四边形ACBD 面积的最大值;

(3)若直线CB 与直线AD 相交于点M ,判断点M 是否位于一条定直线上.若是,写出该直线的方程.(结论不要求证明)

不等式法求最值问题

【例2】如图8.2所示,设椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,

上顶点为A ,过点A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ,且12220F F F Q +=,若过2,,A Q F 三点的圆恰好与直线:330l x -=相切.过定点()0,2M 的直线1l 与椭圆C 交于,G H 两点(点G 在点,M H 之间). (1)求椭圆C 的方程;

(2)设直线1l 的斜率0k >,在x 轴上是否存在点(),0P m ,使得以,PG PH 为邻边的平行四边形是菱形?如果存在,求出m 的取值范围;如果不存在,请说明理由. (3)若实数λ满足MG MH λ=,求λ的取值范围.

强化训练

1.已知粗圆

22

22

:1(0)

x y

M a b

a b

+=>>

的离心率为

3

,且粗圆上一点与椭圆的两

个焦点构成的三角形周长为6+.

(1)求椭圆M的方程;

(2)设直线l与椭圆M交于,A B两点,且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C,求ABC面积的最大值.

2.如图8.1所示,椭圆

22

22

1(0)

x y

a b

a b

+=>>的左焦点为F,过点F的直线交椭圆

于,A B两点.当直线AB经过椭圆的一个顶点时,其倾斜角恰为60.

(1)求该椭圆的离心率;

(2)设线段AB的中点为,G AB的中垂线与x轴和y轴分别交于,D E两点.记

GFD的面积为

1,S OED(O为原点)的面积为

2

S,求1

2

S

S

的取值范围.

3.已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>,椭圆C 与y 轴交于,A B 两

点,且2AB =. (1)求椭圆C 的方程;

(2)设点P 是椭圆C 上的一个动点,且点P 在y 轴的右侧.直线,PA PB 与直线

4x =分别交于,M N 两点.若以MN 为直径的圆与x 轴交于两点,E F ,求点P 横

坐标的取值范围及EF 的最大值.

4.已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的离心率为2,以椭圆C 的任意三个顶点为

顶点的三角形的面积是(1)求椭圆C 的方程;

（2）设A 是椭圆C 的右顶点,点B 在x 轴上.若椭圆C 上存在点P ,使得

90APB ∠=,求点B 横坐标的取值范围.

5. 已知点()0,2A 和抛物线24y x =+上两点,B C 使得AB BC ⊥,求点C 纵坐标的取值范围.

第14讲 最值问题

典型例题

目标函数法求最值问题

【例1】已知椭圆22

:14x y W m m

+=的长轴长为4,左、右顶点分别为,A B ,经过点

()1,0P 的动直线与椭圆W 相交于不同的两点,C D (不与点,A B 重合).

(1)求粗圆W 的方程及离心率; (2)求四边形ACBD 面积的最大值;

(3)若直线CB 与直线AD 相交于点M ,判断点M 是否位于一条定直线上.若是,写出该直线的方程.(结论不要求证明)

【分析】

本题的第(2)问是求四边形ACBD 面积的最大值,作为一般的四边形面积,首先要拆分为两个三角形的面积之和;关于最值的探求,在解析几何中常常用到目标函数法,即把目标表示为引入的一个新的变量的函数,求最值的方法,通常是转化为二次函数或者是利用平均值不等式,或者是一个基本初等函数的单调性来处理,在这个过程中一定要关注定义域.下面给出的解法四 是导数法,但在解析几何最值问题中用导数法较少．

【解析】解(1)由题意得2

44a m ==,解得1m =.因此椭圆W 方程为2

214

x y +=.

故2a =

,1,b c ==所以椭圆W

的离心率为2

c e a ==.

(2)不妨设四边形ACBD 的面积为S .

(解法)(拆分方式为ABC ABD S S S =+,目标函数转化为二次函数求最值)当直线

CD 的斜率k 不存在时,由题意得CD 的方程为1x =.代人椭圆W 的方程,

得1,2C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

,1,2D ⎛⎫-

⎪ ⎪⎝⎭.又因为24,AB a AB CD ==⊥,所以四边形ACBD 的面积为

1

2

S AB CD =

⨯= 当直线

CD

的斜率

k

存在时,设CD 的方程为

()()()()112210,,,,y k x k C x y D x y =-≠.则联立方程()2

2

1,1,4

y k x x y ⎧=-⎪

⎨+=⎪⎩消去y ,得

()

2

222418440.k

x k x k +-+-=

由题意可知Δ0>恒成立,则