南宁市2019-2020学年数学高二下期末达标测试试题含解析

南宁市2019-2020学年数学高二下期末达标测试试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()1
2ln 1
x
f x x x =-+的定义域（ ）
A ．()0,∞+
B ．()1,-+∞
C ．()0,1
D ．()
()0,11,+∞
【答案】A 【解析】 【分析】
解不等式010
x
x x ⎧>⎪
+⎨⎪≥⎩即得函数的定义域.
【详解】
由题得010,01
00
x
x x x x x x ⎧><->⎧⎪
∴∴>+⎨⎨≥⎩⎪≥⎩或 所以函数的定义域为()0,∞+. 故选A 【点睛】
本题主要考查函数的定义域的求法，考查对数函数和幂函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
2．函数2(21)x y x -=-≤<的值域是 A ．1
(,4]2
B ．1[,2)2
C ．1[,9]3
D ．1[,4)2
【答案】A 【解析】
分析：由于函数122x
x
y -⎛⎫
== ⎪⎝⎭
在R 上是减函数，且21x -≤<，利用单调性求得函数的值域 详解：
函数12
2x
x
y -⎛⎫
== ⎪⎝⎭
在R 上是减函数，且21x -≤<， ∴当1x =时，函数取得最小值为
12
当2x =-时，函数取得最大值为4
故函数的值域为142⎛⎤ ⎥⎝⎦
，
故选A
点睛：本题主要考查的是指数函数的单调性，求函数的值域，较为基础。

3．集合{|22},{|13}A x x B x x =-<<=-≤<，那么A B =（ ）
A ．{|23}x x -<<
B ．{|-12}x x ≤<
C ．{|21}x x -<≤
D ．{|-23}x x <<
【答案】D 【解析】 【分析】
把两个集合的解集表示在数轴上，可得集合A 与B 的并集． 【详解】
把集合A 和集合B 中的解集表示在数轴上，如图所示，
则A ∪B={x|-2＜x ＜3}故选A ．
【点睛】
本题考查学生理解并集的定义掌握并集的运算法则，灵活运用数形结合的数学思想解决数学问题，属基础题．
4．设函数()e x f x x a +-（a R e ∈，为自然对数的底数），若曲线31010
y x x =上存在点00()x y ，使得00()f y y =，则a 的取值范围是 A ．1e
[
1]e
-, B ．1e
[
e 1]e
-+， C ．[1e 1]+， D ．[1,e]
【答案】D 【解析】 【分析】
法一：考查四个选项，发现有两个特殊值区分开了四个选项，0出现在了A ，B 两个选项的范围中，1e +出现在了B ，C 两个选项的范围中，故通过验证参数为0与1e +时是否符合题意判断出正确选项。

法二：根据题意可将问题转化为()f t t =在[0,1]上有解，分离参数得到2
()t a g t e t t ==-+，[0,1]t ∈，
利用导数研究()g t 的值域，即可得到参数a 的范围。

【详解】
法一：由题意可得，00031010
y x x =
0sin()x ϕ=+[1,1]∈-，
而由()f x 0[0,1]y ∈，
当0a =时，()f x
∴0[0,1]y ∈时，0()1f y =．
∴ 不存在0[0,1]y ∈使00()f y y =成立，故A ，B 错；
当1a e =+时，()f x
当0[0,1]y ∈时，只有01y =时()f x 才有意义，而(1)01f =≠，故C 错．故选D ．
法二：显然，函数()f x 是增函数，()0f x ≥，由题意可得，000cos 10
10
y x x =+
0sin()x ϕ=+[1,1]∈-，而由()f x =0[0,1]y ∈，
于是，问题转化为()f t t =在[0,1]上有解．
由t =2t t e t a =+-，分离变量，得2
()t
a g t e t t ==-+，[0,1]t ∈
因为()210t
g t e t '=-+>，[0,1]t ∈，
所以，函数()g t 在[0,1]上是增函数，于是有1(0)()(1)g g t g e ==≤≤， 即[1,]a e ∈，应选D ． 【点睛】
本题是一个函数综合题，方法一的切入点是观察四个选项中与不同，结合排除法以及函数性质判断出正确选项，方法二是把问题转化为函数的最值问题，利用导数进行研究，属于中档题。

5．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点分别1F ，2F ，焦距为4，若以原点为圆心，12F F 为直径
的圆恰好与椭圆有两个公共点，则此椭圆的方程为（ ）
A ．22
184
x y +=
B ．22
13216
x y +=
C ．22
148x y +=
D ．221164
x y +=
【答案】A 【解析】 【分析】
已知2c ，又以原点为圆心，12F F 为直径的圆恰好与椭圆有两个公共点，这两个公共点只能是椭圆短轴的
顶点，从而有b c =，于是可得a ，从而得椭圆方程。

【详解】
∵以原点为圆心，12F F 为直径的圆恰好与椭圆有两个公共点，∴这两个公共点只能是椭圆短轴的顶点，∴b c =，又24c =即2c =，∴22222222a b c =+=+=，
∴椭圆方程为22
184
x y +=。

故选：A 。

【点睛】
本题考查椭圆的标准方程，解题关键时确定,,a b c 的值，本题中注意椭圆的对称轴，从而确定,b c 关系。

6．如图是计算111
13531
+
++⋯+的值的程序框图，则图中①②处应填写的语句分别是（ ）
A ．2=+n n ,16?i >
B ．2=+n n ,16?i ≥
C ．1=+n n ,16i >?
D ．1=+n n ,16?i ≥
【答案】A 【解析】 该程序是求数列121n ⎧⎫
⎨
⎬-⎩⎭
的前16项和，①处变量n 每次增加2，②处是循环控制条件，循环体共执行了
16次，故16i >时，退出循环，选A.
7．设奇函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++(0,)2
π
ωϕ><的最小正周期为π，则（ ）
A ．()f x 在(0,)2
π
上单调递减 B ．()f x 在3(
,)44ππ
上单调递减 C ．()f x 在(0,)2
π
上单调递增
D ．()f x 在3(,)44
ππ
上单调递增 【答案】B 【解析】
分析：利用辅助角公式将函数进行化简，根号函数的周期和奇偶性即可得到结论． 详解：
4
f x sin x cos x x （）（）（）（）π
ωϕωϕωϕ=+++=++ ，
∵函数的周期是π，22T π
πωω∴=
∴=＝，， ∵()f x ）是奇函数，4
k k Z π
ϕπ∴+=∈，，
即42k k Z π
πϕπϕ=-∈，，＜， ∴当0k =时，4
π
ϕ=-，
即2f x x =
（），
则()f x 在3,44ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
单调递减， 故选：B ．
点睛：本题主要考查三角函数的解析式的求解以及三角函数的图象和性质，利用辅助角公式是解决本题的关键．
8．已知集合{1,2,3,4,5}A =，{5,8,9}B =，现从这两个集合中各取出一个元素组成一个新的双元素组合，则可以组成这样的新集合的个数为（ ） A ．8 B ．12
C ．14
D ．15
【答案】C 【解析】 【分析】
利用分类计数加法原理和分步计数乘法原理计算即可，注意5这个特殊元素的处理. 【详解】
已知集合{}1,2,3,4,5A =，{}5,8,9B =，现从这两个集合中各取出一个元素组成一个新的双元素组合，分为2类：含5，不含5；则可以组成这样的新集合的个数为34214⨯+=个. 故选C.
9．已知X 是离散型随机变量，137
(1),(),()444
P X P X a E X ==
===，则(21)D X -=（ ）
A ．
14
B ．
34
C ．
15
D ．
35
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意，由随机变量的分布列的性质可得13
(1)()1,44
P X P X a =+==+=则X 只有两个变量1,a ，进而可得()137
1444
E X a =⨯+=，解得2a =，又由方差公式可得()D X 的值，又由方差的性质计算可得答案. 【详解】
根据题意，13
(1),()44P X P X a ==
==， 则13
(1)()1,44
P X P X a =+==+=
则X 只有两个变量1,a ，则()137
1444
E X a =⨯+=，得2a =，
即()324P X ==，则()22
1737312444416
D X ⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
则33
(21)4164
D X -=⨯=. 故选：B 【点睛】
本题考查了离散型随机变量分布列的性质、数学期望以及方差与方差性质，属于基础题.
10．定积分
的值为
A ．
B ．3
C ．
D ．
【答案】C 【解析】 【分析】
直接利用微积分基本定理求解即可． 【详解】
由微积分基本定理可得，
，故选C ．
【点睛】
本题主要考查微积分基本定理的应用，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题． 11．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为（ ） A ．ln 2 B ．1
C ．1ln2-
D ．1ln2+
【答案】D 【解析】
由ln y x x =得'ln 1y x =+，设切点为()00,x y ，则0ln 1k x =+，000
002
ln y kx y x x =-⎧⎨=⎩，0002ln kx x x ∴-=，
00
2
ln k x x ∴=+
，对比0ln 1k x =+，02x ∴=，ln 21k ∴=+，故选D. 12．某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A 层班级，生物在B 层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有
A ．8种
B ．10种
C ．12种
D ．14种
【答案】B 【解析】 【分析】
根据表格进行逻辑推理即可得到结果. 【详解】
张毅不同的选课方法如下：
（1）生物B 层1班，政治1班，物理A 层2班； （2）生物B 层1班，政治1班，物理A 层4班； （3）生物B 层1班，政治2班，物理A 层1班； （4）生物B 层1班，政治2班，物理A 层4班； （5）生物B 层1班，政治3班，物理A 层1班； （6）生物B 层1班，政治3班，物理A 层2班；
（7）生物B 层2班，政治1班，物理A 层3班； （8）生物B 层2班，政治1班，物理A 层4班； （9）生物B 层2班，政治3班，物理A 层1班； （10）生物B 层2班，政治3班，物理A 层3班； 共10种，故选B. 【点睛】
本题以实际生活为背景，考查了逻辑推理能力与分类讨论思想，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题
13．若实数x ，y 满足约束条件22022020x y x y y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪+≥⎩
，则z x y =-的最大值是_____．
【答案】8 【解析】 【分析】
画出可行域，将基准直线0x y -=向下平移到可行域边界位置，由此求得目标函数的最大值. 【详解】
画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点()6,2A -处取得最大值，且最大值为()628z =--=
.
【点睛】
本小题主要考查利用线性规划求目标函数的最大值的方法，属于基础题. 14．先后掷骰子（骰子的六个面上分别标有、、、、、个点）两次，落在水平桌面后，记正
面朝上的点数分别为,
,设事件
为“
为偶数”，事件
为“
,
中有偶数且
”，则概
率等于_________.
【答案】 【解析】
试题分析：根据题意，若事件A 为“x+y 为偶数”发生，则x 、y 两个数均为奇数或均为偶数． 共有2×3×3=18个基本事件， ∴事件A 的概率为1P =
2331
662
⨯⨯=⨯．
而A 、B 同时发生，基本事件有“2+4”、“2+6”、“4+2”、“4+6”、“6+2”、“6+4”， 一共有6个基本事件，
因此事件A 、B 同时发生的概率为2P =
61
666
=⨯ 因此，在事件A 发生的情况下，B 发生的概率为P （B|A ）=
考点：条件概率与独立事件
15．从一批含有13只正品,2只次品的产品中,不放回地抽取3次,每次抽一只,设抽取次品数为ξ,则
()51E ξ+= _____
【答案】3 【解析】
抽取次品数ξ满足超几何分布：()3213315k k C C p k C ξ-==，故()032133
1522
035
C C p C ξ===，()1221331512135C C p C ξ===，()21
2133
151235C C p C ξ===，其期望()221212
0123535355
E ξ=⨯+⨯+⨯=，故()()51513E E ξξ+=⨯+=.
16．NBA 总决赛采用7场4胜制，2018年总决赛两支球队分别为勇士和骑士，假设每场比赛勇士获胜的概率为0.6，骑士获胜的概率为0.4，且每场比赛的结果相互独立，则恰好5场比赛决出总冠军的概率为_______． 【答案】0.1 【解析】 【分析】
恰好5场比赛决出总冠军的情况有两种：一种情况是前4局勇士队3胜一负，第5局勇士胜，另一种情况是前4局骑士队3胜一负，第5局骑士胜，由此能求出恰好5场比赛决出总冠军的概率． 【详解】
恰好5场比赛决出总冠军的情况有两种：
一种情况是前4局勇士队3胜一负，第5局勇士胜， 另一种情况是前4局骑士队3胜一负，第5局骑士胜，
∴恰好5场比赛决出总冠军的概率为：
331
344060.40.60.6040.40.2688p C C =⨯⋅⨯⨯+⨯⨯⋅⨯=．
故答案为0.1． 【点睛】
本题考查概率的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．随着我国互联网信息技术的发展，网络购物已经成为许多人消费的一种重要方式，某市为了了解本市市民的网络购物情况，特委托一家网络公司进行了网络问卷调查，并从参与调查的10000名网民中随机抽取了200人进行抽样分析，得到了下表所示数据：
（1）依据上述数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为该市市民进行网络购物的情况与性别有关？
（2）现从所抽取的女性网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，从这5人中随机选出3人赠送网络优惠券，求选出的3人中至少有两人是经常进行网络购物的概率；
（3）将频率视为概率，从该市所有的参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼物，记经常进行网络购物的人数为X ，求X 的期望和方差.
附：()()()()()2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++
【答案】（1）不能（2）10（3）5.5,40
【解析】
试题分析：（1）由列联表中的数据计算2K 的观测值，对照临界值得出结论；（2）利用分层抽样原理求出所抽取的5名女网民中经常进行网购和偶尔或不进行网购的人数，计算所求的概率值；（3）由列联表中数据计算经常进行网购的频率，将频率视为概率知随机变量X 服从n 次独立重复实验的概率模型，计算数学期望与方差的大小．
试题解析：（1）由列联表数据计算()2
220050405060=
2.020 2.07211090100100
K ⨯-⨯≈<⨯⨯⨯.
所以，不能再犯错误的概率不超过0.15的前提下认为该市市民网购情况与性别有关. （2）由题意，抽取的5名女性网民中，经常进行网购的有60
5=3100
⨯
人，偶尔或从不进行网购的有40
5=2100
⨯人，故从这5人中选出3人至少有2人经常进行网购的概率是2133233355710C C C C C +=.
（3）由列联表可知，经常进行网购的频率为
11011
=20020
. 由题意，从该市市民中任意抽取1人恰好是经常进行网购的概率是1120
. 由于该市市民数量很大，故可以认为1110,20X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭
. 所以，()1110=5.520E X =⨯
，()1199910202040
D X =⨯⨯=. 18．已知命题p ：“曲线22
2:1129
x y
C m m +=++表示焦点在y 轴上的椭圆”，命题q ：不等式
220x x m ++>对于任意x ∈R 恒成立.
（1）若命题p q ∨为真命题，求实数m 的取值范围；
（2）若命题()p q ⌝∨为真，()p q ⌝∧为假，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()()(]
2,21,4,2m m ∈-+∞∈⋃-∞-（）. 【解析】 【分析】
（1）由命题p 得2291m m ，
+>+命题 0m q ∆<得，分别解得的范围，由命题p q ∨为真，得p 为真命题或q 为真命题，列m 的不等式求解即可；
（2）由命题()p q ⌝∨为真，()p q ⌝∧为假判断,p q 均为真命题或,p q 均为假命题，分情况列出m 的不等式组求解即可. 【详解】
22:29128024p m m m m m +>+⇒--<⇒-<<
:04401q m m ∆<⇒-⇒，
（1）由于p q ∨为真命题，故p 为真命题或q 为真命题，从而有24m -<<或1m >，即()2,m ∈-+∞. （2）由于p q ⌝∨为真命题，p q ⌝∧为假命题，所以,p q 均为真命题或,p q 均为假命题，从而有
241m m -<<⎧⎨
>⎩或24
1m m m 或≤-≥⎧⎨≤⎩
，解得142m m <<≤-或 即：()(]
1,4,2m ∈⋃-∞-. 【点睛】
本题考查命题真假，注意命题p 焦点在y 轴上审题要注意，对于命题p,q 的真假判断要准确.
19．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y （i =1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值
.
x
y
w
8
2
1
()
i
i x x =-∑
8
2
1
()
i
i w w =-∑
8
1
()()i
i
i x x y y =--∑
8
1
()()i
i
i w w y
y =--∑
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中i i w x =ˆw =1
8
8
1
i i w =∑
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx 与x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z 与x 、y 的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题： （ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ⅱ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据11(,)u v ,22(,)u v ，……，(,)n n u v ,其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分
【答案】（Ⅰ）y c x =+（Ⅱ）ˆ100.668y x =+（Ⅲ）（ⅰ）66.32；（ⅱ）46.24
【解析】 【分析】 【详解】
（Ⅰ）由散点图可以判断，y c x =+y 关于年宣传费用x 的回归方程类型.
（Ⅱ）令w x =y 关于w 的线性回归方程，由于8
1
8
2
1
()()
()
ˆi
i
i i
i w w y y d
w w ==--=-∑∑=
108.8
=6816
， ∴ˆˆc y dw
=-=563-68×6.8=100.6. ∴y 关于w 的线性回归方程为ˆ100.668y
w =+， ∴y 关于x 的回归方程为ˆ100.668y x =+（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当x =49时，年销售量y 的预报值
100.9ˆ664y
=+， ˆ576.60.24966.32z
=⨯-=. （ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z 的预报值
ˆ0.2(100.668)20.12z
x x x x =+-=-+， ∴x 13.6
=6.82
，即46.24x =时，ˆz 取得最大值. 故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.
20．已知函数2
012()(1)n n n n f x x a a x a x a x λ=+=+++
+，其中,R n N λ∈∈.
（1）若2λ=-，2019n =，求1352019a a a a +++⋯+的值； （2）若1λ=-，化简：
2*1
(),n
k k n n k k k C
x f x n N -=∈∑.
【答案】 (1) 20191352019
132a a a a ++++=- (2) 221
()(1),n
k k n n k k k C x f x n n x nx n N *
-==-+∈∑ 【解析】
（1）分别令1x =，1x =-，利用二项展开式展开()1f 和()1f -，将两式相减可得出
1352019a a a a +++⋯+的值；
（2）将1λ=-代入，求得，当1n =时，()2
1
n
k
k
n
n k k k C x f x x -==∑
，当2n =时，()22
1
22n
k k n n k k k C x f x x x -==+∑
，
当3n ≥时，利用组合数公式可得()2
2
1
211k
k k n n n k C n n C nC ----=-+，化简可得结果.
【详解】
（1）2λ=-，2019n =时，
()()
2019
220192019012201912f x x a a x a x a x =-=+++⋯+
令1x =得()
2019
01232018201912a a a a a a -=++++， 令1x =-得()2019
0123
2018201912---a a a a a a +=++
可得2019
1352019
132
a a a a ++++
=-； （2）若1λ=-，()()1n
n f x x =-， 当1n =时，
()21n
k k n
n k k k C
x f x x -==∑，
当2n =时，
()2
21
22n
k k n
n k k k C
x f x x x -==+∑，
当3n ≥时，()()2
1
1
2
1
1121111k
k k k k n n n n n k C nkC n k C n n C nC --------⎡⎤==-+=-+⎣⎦，
()()()
()2
212
11
2
1
111n n
n
n k
n k
k
k
k k
k k
n
n k n n k k k k C x f x n n C
x x n C x x -------====--+-∑∑∑
()()
()2
2
2
11
2
12
1
111n
n
n k
n k
k k k k n n k k n n x
C
x
x nx C x
x --------===--+-∑∑
()()()2
1
2111n n n n x x x nx x x --⎡⎤⎡⎤=--++-+⎣⎦⎣⎦
()21n n x nx =-+
····· 综上，
221
()(1),n
k
k n n k k k C
x f x n n x nx n N *-==-+∈∑.
【点睛】
该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有利用赋值法求对应系数的和，利用组合数公式化
简相应的式子，属于中档题目.
21．设实部为正数的复数z ，满足，且复数（1+3i ）z 在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上. (I)求复数z
(II)若复数z + m 2(1 +i)-2i 十2m -5为纯虚数，求实数m 的值. 【答案】 (1) 2z i =-.(2) 3.m =- 【解析】 【分析】 【详解】
分析：（1）设()0z a bi a b R a ，、且=+∈>，先根据复数乘法得2a b =-，再根据复数的模得225a b +=，解方程组可得2,1a b ==-，（2）先化成复数代数形式，再根据纯虚数概念列方程组，解得实数m 的值. 详解：
(1)设()0z a bi a b R a =+∈>、且，由z =22 5.a b +=
又复数()13i z +=()()33a b a b i -++在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上.则
33a b a b -=+，即2a b =-
又0a >，所以2,1a b ==-，则2Z i =-
(2)()2
1225z m i i m ++-+-=()
2
2
231m m m i +-+-为纯虚数,
所以2210,230,m m m ⎧-≠⎨+-=⎩
可得 3.m =-
点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()()(),,,.a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ++=-++∈. 其次要熟悉复数相
关基本概念，如复数(),a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (),a b 、共轭为
.a bi -
22．设命题:p 幂函数2
2
a
a y x --=在(0,)+∞上单调递减。

命题:q 212
a x x
=-
+在()0,3上有解； 若p q ∧为假，p q ∨为真，求a 的取值范围. 【答案】(]
,1(1,2)-∞-⋃. 【解析】
试题分析：由p 真可得12a -<<，由q 真可得1a ≤ ，p q ∧为假，p q ∨为真等价于,p q 一真一假，
讨论两种情况，分别列不等式组，求解后再求并集即可. 试题解析：若p 正确，则220a a --<，12a ∴-<< 若q 正确，()212
0,3y a y x x
⇔==-
+与的函数图像在上有交点 1a ⇔≤ p q ∧为假，p q ∨为真，∴,p q 一真一假
121211a a a a a -<<≤-≥⎧⎧∴⎨⎨>≤⎩⎩
或或 112a a ⇔≤-<<或
即a 的取值范围为(]
(),11,2-∞-⋃.。