2020年高考数学专题复习直线与椭圆、抛物线的位置关系

直线与椭圆、抛物线的位置关系
1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定
(1)代数法：把圆锥曲线方程C 1与直线方程l 联立消去y ，整理得到关于x 的方程ax 2
＋bx ＋c ＝0.
(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．
2．直线与圆锥曲线的相交弦长问题
设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2
|x 1－x 2| ＝1＋k 2
（x 1＋x 2）2
－4x 1x 2
＝1＋1
k 2|y 1－y 2|
＝
1＋
1
k
2
（y 1＋y 2）2
－4y 1y 2.
3．与抛物线焦点弦有关的常用结论
(以右图为依据)
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)y 1y 2＝－p 2
，x 1x 2＝p 2
4
.
(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p
sin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．
(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p
. (4)以AB 为直径的圆与准线相切． (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．
已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2
相切，则a 等于( ) A ．12 B ．1
3 C ．14
D ．4
解析：选C.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，y ＝ax 2
，消去y 得ax 2
－x ＋1＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，1－4a ＝0，
解得a ＝1
4.
(2019·舟山市普陀三中高三期中)已知直线y ＝x －2，则直线被椭圆x 2
4＋y 2
＝1截得
的弦长是( )
A ．
25
B ．225
C ．425
D ． 2
解析：选C.设直线与椭圆相交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝x －2x 2＋4y 2
＝4，化简得5x 2
－16x ＋12＝0，
所以x 1＋x 2＝165，x 1x 2＝12
5
.
所以|AB |＝（1＋1）[（x 1＋x 2）2
－4x 1x 2] ＝
2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭
⎪⎫1652－4×125＝42
5.
过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12的直线l 与抛物线y ＝－x 2
交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OA →·OB →的
值为( )
A ．－1
2
B ．－14
C ．－4
D ．无法确定
解析：选B.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝kx －12
，代入抛物线方程得2x
2
＋2kx －1＝0，由此得⎩
⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－k ，x 1x 2＝－12，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 2－12＝(k 2
＋1)·x 1x 2－12k (x 1＋x 2)＋14＝－12(k 2＋1)－12k ·(－k )＋14＝－1
4
.故选B.
过点A (1，0)作倾斜角为π4的直线，与抛物线y 2
＝2x 交于M 、N 两点，则|MN |＝
________．
解析：过A (1，0)且倾斜角为π4的直线方程为y ＝x －1，代入y 2＝2x 得x 2
－4x ＋1＝0.
设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，有x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝1，所以|MN |＝1＋k 2
|x 1－x 2|＝1＋1·（x 1＋x 2）2
－4x 1x 2＝2·16－4＝2 6. 答案：2 6
在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2c ，以O 为圆心、a 为
半径作⊙O .若过P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2
c ，0作⊙O 的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率为________．
解析：如图，设切线PA ，PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA ，所以△OAP 是等腰直角三
角形，故a 2c ＝2a ，解得e ＝c a ＝2
2
.
答案：
2
2
直线与椭圆的位置关系
(2019·浙江省名校协作体高三联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)，经过椭
圆C 上一点P 的直线l ：y ＝－24x ＋322
与椭圆C 有且只有一个公共点，且点P 的横坐标为2.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若AB 是椭圆的一条动弦，且|AB |＝5
2
，O 为坐标原点，求△AOB 面积的最大值．
【解】 (1)因为P (2，2)在椭圆上，故4a 2＋2
b 2＝1，同时联立⎩
⎪⎨⎪⎧b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2
y ＝－24x ＋322， 得b 2x 2
＋a 2
⎝ ⎛⎭⎪⎫－24
x ＋3222＝a 2b 2，
化简得⎝
⎛⎭⎪⎫b 2＋18a 2x 2－32a 2x ＋92a 2－a 2b 2
＝0，
由Δ＝0，可得a 2
＝12，b 2
＝3， 故椭圆C 的标准方程为x 212＋y 2
3＝1.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 当直线AB 斜率存在时， 直线AB 方程为y ＝kx ＋b 1，
联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2
＋4y 2
＝12y ＝kx ＋b 1
得(4k 2＋1)x 2＋8kb 1x ＋4(b 2
1－3)＝0，
故x 1＋x 2＝－8kb 11＋4k 2，x 1x 2＝4（b 2
1－3）1＋4k
2
， 由254＝|AB |2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝(1＋k 2)[(x 2＋x 1)2
－4x 1x 2]， 得b 21
＝3(1＋4k 2
)－25（1＋4k 2
）
2
64（1＋k 2
）
， 故原点O 到直线AB 的距离d ＝|b 1|1＋k
2
，
所以S ＝54·|b 1|
1＋k 2
， 令u ＝1＋4k
2
1＋k
2，
则S 2
＝－6251 024⎝ ⎛⎭⎪⎫u 2－19225u ＝－6251 024⎝ ⎛⎭
⎪⎫u －96252
＋9.
又因为u ＝1＋4k 2
1＋k 2＝4－3
1＋k
2∈[1，4)，
当u ＝9625
时，S 2
max ＝9，
当斜率不存在时，△AOB 的面积为523
8，
综上所述可得△AOB 面积的最大值为3.
判断直线与椭圆位置关系的步骤 (1)联立直线方程与椭圆方程；
(2)消元得出关于x (或y )的一元二次方程；
(3)当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ＜0时，直线与椭圆相离．
(2019·舟山市普陀三中高三期中)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝6
3
，
它的一个顶点在抛物线x 2
＝42y 的准线上．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆C 上两点，已知m ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1a
，y 1b ，n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2a ，y 2b ，且m ·n
＝0.
①求OA →·OB →
的取值范围；
②判断△OAB 的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 解：(1)因为抛物线x 2
＝42y 的准线为y ＝－2， 所以b ＝ 2.
由e ＝63⇒a 2
－b 2
a 2＝2
3⇒a ＝ 6.
所以椭圆C 的方程为x 26＋y 2
2＝1.
(2)①由m ·n ＝0得x 1x 2＝－3y 1y 2，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)所在直线为l ，当l 斜率不存在时， 则A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，所以x 21
＝3y 21
，又x 216＋y 21
2＝1，所以y 2
1＝1.
所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2y 2
1＝2.
当l 斜率存在时，设l 的方程为y ＝kx ＋m ，
联立⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 2＋3y 2
＝6得(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2
－6＝0， 所以Δ＝36k 2m 2－12(3k 2＋1)(m 2
－2) ＝12(6k 2
－m 2
＋2)＞0，(ⅰ) 且x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1x 2＝3m 2
－63k 2＋1.
由x 1x 2＝－3y 1y 2＝－3(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ⇒(1＋3k 2
)x 1x 2＋3km (x 1＋x 2)＋3m 2
＝0，
整理得1＋3k 2＝m 2
.(ⅱ)
所以OA →·OB →
＝x 1x 2＋y 1y 2＝23x 1x 2＝2m 2
－41＋3k 2
＝2m 2
－4m 2
＝2－4
m
2， 由(ⅰ)，(ⅱ)得m 2＝1＋3k 2
≥1，所以0＜4m
2≤4，
所以－2≤OA →·OB →
＜2. 综上可得－2≤OA →·OB →
≤2.
②由①知，l 斜率不存在时，S △OAB ＝|x 1y 1|＝3y 2
1＝3，
l 斜率存在时，S △OAB ＝12|AB |d ＝12 1＋k 2|x 1－x 2|·|m |1＋k 2
＝3|m |2＋6k 2
－m
2
1＋3k 2， 将m 2
＝1＋3k 2
代入整理得S △OAB ＝3， 所以△OAB 的面积为定值 3.
直线与抛物线的位置关系
(2019·瑞安四校联考)已知抛物线的方程为x 2
＝2py (p >0)，其焦点为F ，点O 为
坐标原点，过焦点F 作斜率为k (k ≠0)的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M .
(1)求OA →·OB →
；
(2)设直线MF 与抛物线交于C ，D 两点，且四边形ACBD 的面积为323p 2
，求直线AB 的斜
率k .
【解】 (1)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋p
2
，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由⎩
⎪⎨⎪⎧x 2
＝2py ，y ＝kx ＋p 2，得x 2－2pkx －p 2＝0，
则⎩
⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2pk ，x 1·x 2＝－p 2
， 所以OA →·OB →
＝x 1·x 2＋y 1·y 2＝－34p 2.
(2)由x 2
＝2py ，知y ′＝x p
，
所以抛物线在A ，B 两点处的切线的斜率分别为x 1p ，x 2p
，
所以直线AM 的方程为y －y 1＝x 1p (x －x 1)，直线BM 的方程为y －y 2＝x 2p
(x －x 2)， 则可得M ⎝
⎛
⎭⎪⎫
pk ，－p 2.
所以k MF ＝－1
k
，所以直线MF 与AB 相互垂直．
由弦长公式知，|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1·4p 2k 2＋4p 2＝2p (k 2
＋1)， 用－1k
代替k 得，|CD |＝2p ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1k 2＋1，
四边形ACBD 的面积S ＝12·|AB |·|CD |＝2p 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋k 2＋1k 2＝323p 2，解得k 2＝3或k 2
＝13，
即k ＝±3或k ＝±
3
3
.
解决直线与抛物线位置关系的常用方法
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝|x 1|＋|x 2|＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．
[提醒] 涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．
(2019·嘉兴市高三上学期期末)已知抛物线C 的方程为y 2
＝2px (p ＞0)，抛物线的焦点
到直线l ：y ＝2x ＋2的距离为45
5
.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)设点R (x 0，2)在抛物线C 上，过点Q (1，1)作直线交抛物线C 于不同于R 的两点A ，
B ，若直线AR ，BR 分别交直线l 于M ，N 两点，求|MN |最小时直线AB 的方程．
解：(1)抛物线的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，d ＝|p ＋2|5＝455，得p ＝2或－6(舍去)，
所以抛物线C 的方程为y 2
＝4x . (2)因为点R (x 0，2)在抛物线C 上， 所以x 0＝1，得R (1，2)．
设直线AB 为x ＝m (y －1)＋1(m ≠0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 21，y 1，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫14y 22，y 2，
由⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝m （y －1）＋1y 2＝4x 得y 2
－4my ＋4m －4＝0， 所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4m －4，
直线AR 方程为y －2＝y 1－214
y 21－1(x －1)＝4y 1＋2(x －1)，
由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝4y 1＋2（x －1）y ＝2x ＋2，得x M ＝－2y 1
，
同理x N ＝－2y 2
，
所以|MN |＝5|x M －x N |＝25⎪⎪⎪⎪
⎪⎪1y 2－1y 1
＝2 5 m 2－m ＋1
|m －1|
＝2 5
1＋
m
m 2
－2m ＋1
＝25
1＋
1m －2＋
1m
，
所以当m ＝－1时，|MN |min ＝15，此时直线AB 的方程为x ＋y －2＝0.
弦长问题
如图，设椭圆x 2a
2＋y 2
＝1(a ＞1)．
(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)；
(2)若任意以点A (0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点， 求椭圆离心率的取值范围．
【解】 (1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AP ，
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 2
a
2＋y 2
＝1得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2
kx ＝0， 故x 1＝0，x 2＝－2a 2
k 1＋a 2k
2.
因此|AP |＝1＋k 2
|x 1－x 2|＝2a 2
|k |1＋a 2k
2·
1＋k 2
. (2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，
Q ，满足|AP |＝|AQ |.
记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2＞0，k 1≠k 2. 由(1)知，
|AP |＝2a 2
|k 1|1＋k 2
11＋a 2k 21，|AQ |＝2a 2
|k 2|1＋k 2
21＋a 2k 2
2， 故2a 2
|k 1|1＋k 2
11＋a 2k 21＝2a 2
|k 2|1＋k 2
2
1＋a 2k 2
2
， 所以(k 2
1－k 2
2)[1＋k 2
1＋k 2
2＋a 2
(2－a 2
)k 21k 2
2]＝0.
由于k 1≠k 2，k 1，k 2＞0得1＋k 2
1＋k 2
2＋a 2
(2－a 2
)k 21k 2
2＝0，
因此⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 21＋1⎝ ⎛⎭
⎪⎫1k 22＋1＝1＋a 2(a 2
－2)，①
因为①式关于k 1，k 2的方程有解的充要条件是1＋
a 2(a 2－2)＞1，
所以a ＞ 2.
因此，任意以点A (0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a ≤2，
由e ＝c a ＝a 2－1a 得，所求离心率的取值范围为0＜e ≤22
.
弦长的计算方法
求弦长时可利用弦长公式，根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后进行整体代入弦长公式求解．
[提醒] 两种特殊情况：(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；(2)直线过圆锥曲线的焦点．
已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2，0)，离心率为2
2
.直线y ＝k (x －1)
与椭圆C 交于不同的两点M ，N .
(1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为
10
3
时，求k 的值． 解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝2
2，a 2
＝b 2
＋c 2
，
解得b ＝2，
所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2
2
＝1.
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 2
2
＝1，
得(1＋2k 2
)x 2
－4k 2
x ＋2k 2
－4＝0.
设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)， x 1＋x 2＝4k 2
1＋2k 2，x 1x 2＝2k 2
－4
1＋2k
2，
所以|MN |＝（1＋k 2
）[（x 1＋x 2）2
－4x 1x 2] ＝2（1＋k 2
）（4＋6k 2）
1＋2k
2
. 又因为点A (2，0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k
2
，
所以△AMN 的面积为S ＝1
2|MN |·d
＝|k |4＋6k 21＋2k
2
， 由|k |4＋6k 21＋2k 2
＝103
，解得k ＝±1.
中点弦问题
(2018·高考浙江卷) 如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y
2
＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．
(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；
(2)若P 是半椭圆x 2
＋y 2
4
＝1(x <0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围．
【解】 (1)设P (x 0，y 0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 21，y 1，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫14y 22，y 2. 因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以y 1，y 2为方程⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋y 022＝4·14y 2
＋x 02
即y 2
－2y 0y ＋8x 0－y 2
0＝0的两个不同的实根． 所以y 1＋y 2＝2y 0， 因此，PM 垂直于y 轴．
(2)由(1)可知⎩
⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2y 0，
y 1y 2＝8x 0－y 2
0， 所以|PM |＝18(y 21＋y 22)－x 0＝34y 2
0－3x 0，
|y 1－y 2|＝22（y 2
0－4x 0）.
因此，△PAB 的面积S △PAB ＝12|PM |·|y 1－y 2|＝324(y 2
0－4x 0)3
2.
因为x 2
＋y 20
4＝1(x 0<0)，所以y 20－4x 0＝－4x 2
0－4x 0＋4∈[4，5]，
因此，△PAB 面积的取值范围是 ⎣
⎢⎡
⎦⎥
⎤62，15104.
处理中点弦问题常用的求解方法
[提醒] 中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足．
1．若椭圆x 236＋y 2
9＝1的弦被点(4，2)平分，则此弦所在直线的斜率是( )
A ．2
B ．－2
C ．13
D ．－1
2
解析：选D.设弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧x 2
1＋4y 2
1＝36，x 22＋4y 2
2＝36， 整理得x 21－x 22＝－4(y 21－y 2
2)， 所以此弦的斜率为
y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 2－4（y 1＋y 2）＝－1
2
， 则此弦所在直线的斜率为－1
2
.
2．(2019·杭州学军中学高考模拟)已知抛物线y ＝x 2
和直线l ：y ＝kx ＋m (m >0)交于两点A 、B ，当OA →·OB →
＝2时，直线l 过定点________；当m ＝________时，以AB 为直径的圆与直线y ＝－1
4
相切．
解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝x 2
y ＝kx ＋m ，整理得：x 2
－kx －m ＝0，则x 1＋x 2＝k ，x 1x 2
＝－m ，
y 1y 2＝(x 1x 2)2＝m 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝k 2＋2m ，
由OA →·OB →＝2，则x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－m ＝2，即m 2
－m －2＝0，解得：m ＝－1或m ＝2， 由m >0，则m ＝2， 直线l ：y ＝kx ＋2，
所以直线l 过定点(0，2)，
设以AB 为直径的圆的圆心M (x ，y )，圆M 与y ＝－14相切于P ，由x ＝x 1＋x 22＝k
2，则
P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫k
2，－14
， 由题意可知：PA →·PB →＝0，即⎝
⎛⎭⎪⎫x 1－k 2，y 1＋14·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－k 2，y 2＋14＝0，
整理得：x 1x 2－k 2(x 1＋x 2)＋k 2
4＋y 1y 2＋14(y 1＋y 2)＋1
16
＝0，
代入整理得：m 2
－m 2＋116＝0，解得：m ＝14
，
所以当m ＝14时，以AB 为直径的圆与直线y ＝－1
4相切．
答案：(0，2) 1
4
“点差法”求解弦中点问题的步骤 (1)设点—设出弦的两端点坐标. (2)代入—代入圆锥曲线方程.
(3)作差—两式相减，再用平方差公式把上式展开. (4)整理—转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解.
易错防范
直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行或重合时也相交于一点．
[基础达标]
1．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y 2
＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条
D ．4条
解析：选C.结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0，1)且平行于x 轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．
2．已知直线l ：y ＝2x ＋3被椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)截得的弦长为7，则下列直线中
被椭圆C 截得的弦长一定为7的有( )
①y ＝2x －3; ②y ＝2x ＋1； ③y ＝－2x －3;
④y ＝－2x ＋3.
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
解析：选C.直线y ＝2x －3与直线l 关于原点对称，直线y ＝－2x －3与直线l 关于x 轴对称，直线y ＝－2x ＋3与直线l 关于y 轴对称，故有3条直线被椭圆C 截得的弦长一定为7.
3．过抛物线y 2
＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )
A ．有且只有一条
B ．有且只有两条
C ．有且只有三条
D ．有且只有四条
解析：选B.若直线AB 的斜率不存在时，则横坐标之和为1，不符合题意．若直线AB 的斜率存在，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 为y ＝k (x －12)，代入抛物线y 2＝2x 得，k 2x
2
－(k 2
＋2)x ＋14k 2＝0，因为A 、B 两点的横坐标之和为2.所以k ＝± 2.所以这样的直线有两
条．
4．经过椭圆x 2
2＋y 2
＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点．设O
为坐标原点，则OA →·OB →
等于( )
A ．－3
B ．－13
C ．－1
3
或－3
D ．±13
解析：选B.依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1，代入椭圆方程x 2
2＋y 2＝1并整理得3x 2
－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43
，所
以两个交点坐标分别为(0，－1)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫43，13， 所以OA →·OB →＝－13，同理，直线l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA →·OB →
＝－13
.
5．(2019·杭州严州中学模拟)过抛物线y 2
＝8x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交抛物线的准线于点C ，若|AF |＝6，BC →＝λFB →
，则λ的值为( )
A ．34
B ．32
C ． 3
D ．3
解析：选D.设A (x 1，y 1)(y 1>0)，B (x 2，y 2)，C (－2，y 3)，则x 1＋2＝6，
解得x 1＝4，y 1＝42，直线AB 的方程为y ＝22(x －2)，令x ＝－2，y ＝－8 2
即C (－2，－82)，联立方程⎩⎨⎧y 2
＝8x ，
y ＝22（x －2），
解得B (1，－22)，
所以|BF |＝1＋2＝3，|BC |＝9，所以λ＝3.
6．已知圆M ：(x －1)2
＋y 2
＝38，椭圆C ：x 2
3
＋y 2
＝1，若直线l 与椭圆交于A ，B 两点，与
圆M 相切于点P ，且P 为AB 的中点，则这样的直线l 有( )
A ．2条
B ．3条
C ．4条
D ．6条
解析：选C.当直线AB 斜率不存在时且与圆M 相切时，P 在x 轴上，故满足条件的直线有2条；
当直线AB 斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)， 由x 21
3＋y 2
1
＝1，x 22
3＋y 2
2＝1，
两式相减，整理得：
y 1－y 2x 1－x 2＝－13·x 1＋x 2
y 1＋y 2， 则k AB ＝－x 0
3y 0，k MP ＝y 0
x 0－1
，k MP ·k AB ＝－1，
k MP ·k AB ＝－
x 03y 0·y 0x 0－1＝－1，解得x 0＝3
2
， 由3
2
<3，可得P 在椭圆内部， 则这样的P 点有2个，即直线AB 斜率存在时，也有2条． 综上可得，所示直线l 有4条．故选C.
7．(2019·温州市普通高中模考)过抛物线y 2
＝4x 的焦点F 的直线分别交抛物线于A ，B 两点，交直线l ：x ＝－1于点P ，若PA →＝λAF →，PB →＝μBF →
(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________．
解析：直线x ＝－1是抛物线的准线，如图，设A ，B 在直线l 上的射影分别是M ，N ，|AM |＝|AF |，|BN |＝|BF |，|PA ||AF |＝|PA ||AM |，|PB ||BF |＝|PB ||BN |，因为AM ∥BN ，所以|PA ||AF |＝|PB ||BF |，|λ
|＝|μ|，又λ＜0，μ＞0，所以λ＋μ＝0.
答案：0
8．(2019·浙江省名校协作体高三联考)已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 2
4＝1的右焦
点F 1，与椭圆相交于A 、B 两点，则弦AB 的长为________．
解析：由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1，0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)．
由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2（x －1），x 25＋y 2
4
＝1，消去y ，整理得3x 2
－5x ＝0.
设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得
x 1＋x 2＝53
，x 1x 2＝0.
则|AB |＝（x 1－x 2）2
＋（y 1－y 2）2
＝（1＋k 2
）[（x 1＋x 2）2
－4x 1x 2] ＝
（1＋22
）⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫532－4×0＝55
3
.
答案：55
3
9．(2019·温州市高三模拟)已知斜率为12的直线l 与抛物线y 2
＝2px (p ＞0)交于x 轴上
方的不同两点A ，B ，记直线OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＋k 2的取值范围是________．
解析：设直线l ：x ＝2y ＋t ，联立抛物线方程得y 2
＝2p (2y ＋t )⇒y 2
－4py －2pt ＝0，设
A (x 1，y 1)，
B (x 2，y 2)，
Δ＝16p 2＋8pt ＞0⇒t ＞－2p ，
所以y 1＋y 2＝4p ，
y 1y 2＝－2pt ＞0⇒t ＜0，即－2p ＜t ＜0，
x 1x 2＝(2y 1＋t )(2y 2＋t )＝4y 1y 2＋2t (y 1＋y 2)＋t 2＝4·(－2pt )＋2t ·4p ＋t 2＝t 2， 所以k 1＋k 2＝y 1x 1＋y 2x 2
＝（2y 2＋t ）y 1＋（2y 1＋t ）y 2
x 1x 2
＝
t （y 1＋y 2）＋4y 1y 2x 1x 2＝4pt －8pt t 2
＝－4p
t
，
因为－2p ＜t ＜0，所以－4p
t
＞2，即k 1＋k 2的取值范围是(2，＋∞)．
答案：(2，＋∞)
10．过点M (1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2
a 2＋y
2
b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，
若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．
解析：设A (x 1
，y 1
)，B (x 2
，y 2
)，则⎩⎪⎨⎪
⎧x 21a 2＋y 21
b
2＝1，x 2
2a 2
＋y 22b 2
＝1，
所以（x 1－x 2）（x 1＋x 2）a 2＋（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b
2
＝0， 所以y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2
.
因为
y 1－y 2x 1－x 2＝－1
2
，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， 所以－b 2a 2＝－12
，
所以a 2
＝2b 2
.又因为b 2
＝a 2
－c 2
， 所以a 2
＝2(a 2
－c 2
)， 所以a 2
＝2c 2
，所以c a ＝22
. 答案：
22
11．已知点Q 是抛物线C 1：y 2
＝2px (p >0)上异于坐标原点O 的点，过点Q 与抛物线C 2：
y ＝2x 2相切的两条直线分别交抛物线C 1于点A ，B .若点Q 的坐标为(1，－6)，求直线AB 的
方程及弦AB 的长．
解：由Q (1，－6)在抛物线y 2
＝2px 上，可得p ＝18， 所以抛物线C 1的方程为y 2
＝36x .
设抛物线C 2的切线方程为y ＋6＝k (x －1)．
联立⎩
⎪⎨⎪⎧y ＋6＝k （x －1），y ＝2x 2
，消去y ， 得2x 2
－kx ＋k ＋6＝0，
Δ＝k 2－8k －48.
由于直线与抛物线C 2相切，故Δ＝0， 解得k ＝－4或k ＝12.
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋6＝－4（x －1），y 2＝36x ，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－3；
由⎩⎪⎨
⎪⎧y ＋6＝12（x －1），y 2
＝36x ，
得B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫94，9. 所以直线AB 的方程为12x －2y －9＝0，弦AB 的长为237.
12．(2019·宁波市余姚中学高三期中)已知椭圆E 经过点A (2，3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝1
2
.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)求∠F 1AF 2的平分线所在直线l 的方程；
(3)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．
解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)，
因为椭圆E 经过点A (2，3)，离心率e ＝1
2
，
所以⎩⎪⎨
⎪⎧a 2－b 2a ＝1
2
4a 2
＋9b 2
＝1
，所以a 2＝16，b 2
＝12，
所以椭圆E 方程为x 216＋y 2
12
＝1.
(2)F 1(－2，0)，F 2(2，0)，因为A (2，3)， 所以AF 1方程为3x －4y ＋6＝0，AF 2方程为x ＝2，
设角平分线上任意一点为P (x ，y )，则|3x －4y ＋6|
5＝|x －2|.
得2x －y －1＝0或x ＋2y －8＝0，
因为斜率为正，所以直线l 的方程为2x －y －1＝0.
(3)假设存在B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)两点关于直线l 对称，所以k BC ＝－1
2
，
所以直线BC 方程为y ＝－12x ＋m 代入x 216＋y 2
12
＝1得x 2－mx ＋m 2
－12＝0，
所以BC 中点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫m 2，3m 4，
代入直线2x －y －1＝0，得m ＝4.
所以BC 中点为(2，3)与A 重合，不成立，所以不存在满足题设条件的相异的两点． [能力提升]
1.(2019·温州模拟)已知直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆C ：mx 2
＋ny 2
＝1(n >m >0)有且只有一个公共点P (2，1)．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若直线l ′：y ＝－x ＋b 交C 于A ，B 两点，且PA ⊥PB ，求b 的值． 解：(1)联立直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆C ：mx 2
＋ny 2
＝1(n >m >0)， 可得(m ＋n )x 2
－6nx ＋9n －1＝0，
由题意可得Δ＝36n 2
－4(m ＋n )(9n －1)＝0，即为9mn ＝m ＋n ， 又P 在椭圆上，可得4m ＋n ＝1， 解方程可得m ＝16，n ＝1
3，
即有椭圆C 的方程为x 26＋y 2
3＝1.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
联立直线y ＝b －x 和椭圆方程，可得3x 2
－4bx ＋2b 2
－6＝0，判别式Δ＝16b 2
－12(2b 2
－6)>0，
x 1＋x 2＝4b 3，x 1x 2＝2b 2
－6
3
，
y 1＋y 2＝2b －(x 1＋x 2)＝2b 3，y 1y 2＝(b －x 1)(b －x 2)＝b 2－b (x 1＋x 2)＋x 1x 2＝b 2
－6
3，
由PA ⊥PB ，
即为PA →·PB →
＝(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1) ＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1
＝2b 2－63－2·4b 3＋b 2
－63－2b 3＋5＝0，
解得b ＝3或13，代入判别式，知b ＝1
3成立．
故b 为1
3
.
2.(2019·绍兴市高三教学质量调测)已知点A (－2，0)，B (0，1)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)
上．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)P 是线段AB 上的点，直线y ＝1
2x ＋m (m ≥0)交椭圆C 于M ，N 两点．若△MNP 是斜边
长为10的直角三角形，求直线MN 的方程．
解：(1)因为点A (－2，0)，B (0，1)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1上，所以a ＝2，b ＝1，故椭圆
C 的方程为x 2
4
＋y 2＝1.
(2)设M (x 1
，y 1
)，N (x 2
，y 2
)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1
2x ＋m x
2
4＋y 2
＝1
消去y ，得1
2x 2
＋mx ＋m 2
－1＝0，
则Δ＝2－m 2>0，x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2
－2， |MN |＝
52
|x 1－x 2|＝10－5m 2
. ①当MN 为斜边时， 10－5m 2
＝10，解得m ＝0，满足Δ>0，此时以MN 为直径的圆方程为x 2＋y 2
＝52
.
点A (－2，0)，B (0，1)分别在圆外和圆内， 即在线段AB 上存在点P ，此时直线MN 的方程y ＝1
2
x ，满足题意．
②当MN 为直角边时，两平行直线AB 与MN 的距离d ＝255|m －1|，所以d 2＋|MN |2
＝45
|m －1|2
＋(10－5m 2
)＝10，即21m 2
＋8m －4＝0，
解得m ＝27或m ＝－23(舍)，又Δ>0，所以m ＝27
. 过点A 作直线MN ：y ＝12x ＋27的垂线，可得垂足坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－127
，－47，垂足在椭圆外，即在线段AB 上存在点P ，所以直线MN 的方程y ＝12x ＋27
，符合题意． 综上所述，直线MN 的方程为y ＝12x 或y ＝12x ＋27
. 3．(2019·丽水市高考数学模拟)如图，已知抛物线C ：x 2
＝4y ，直线l 1与C 相交于A ，B 两点，线段AB 与它的中垂线l 2交于点G (a ，1)(a ≠0)．
(1)求证：直线l 2过定点，并求出该定点坐标；
(2)设l 2分别交x 轴，y 轴于点M ，N ，是否存在实数a ，使得A ，M ，B ，N 四点在同一个圆上，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2
1＝4y 1x 22＝4y 2， 两式相减可得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝4(y 1－y 2)，
可得k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝2a 4＝12
a ， 由两直线垂直的条件可得直线l 2的斜率为－2a ；
即有直线l 2：y ＝－2a
(x －a )＋1， 可得l 2：y ＝－2a
x ＋3过定点(0，3)． (2)l 2：y ＝－2a x ＋3过M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3a 2，0，N (0，3)， 假设存在实数a ，使得A ，M ，B ，N 四点在同一个圆上，
由中垂线的性质可得∠MAN ＝∠MBN ，
可得∠MAN ＝90°，即有|AG |2
＝|MG ||NG |， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a 2（x －a ）＋1x 2＝4y
，
可得x 2－2ax ＋2a 2－4＝0，x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝2a 2－4， 由弦长公式可得|AB |＝
1＋a 244a 2－4（2a 2－4） ＝1＋a 24 16－4a 2
， 即有|MG ||NG |＝1＋a 244＋a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 2
4(4－a 2)，
所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a
2
4(4－a 2)＝12(a 2
＋4)，
所以a 2＝2，解得a ＝± 2.
故存在这样的实数a ，且为± 2.。