牛顿-拉夫逊法求解非线性方程

牛顿-拉夫逊法潮流计算
一、基本原理
设有单变量非线性方程
()0(1129)
f x=-
求解此方程时，先给出解的近似值(0)
x，它与真解的误差为(0)
x
∆，则满足方程（11-29），即
(0)(0)
()0
f x x
+∆=
将上式左边的函数在(0)
x附近展成泰勒级数，便得
(0)2 (0)(0)(0)(0)(0)(0)
(0)
()(0)
()
()()()()
2!
()
()(1130)
!
n
n
x
f x x f x f x x f x
x
f x
n
∆
'''
+∆=+∆++
∆
++-
式中，(0)()(0)
(),,()
n
f x f x
'分别为函数()
f x在(0)
x处的一阶导数，…，n阶导数。

如果差值(0)
x
∆很小，(0)
x
∆的二次及以上的各项均可略去，式（11-30）便简化成
(0)(0)(0)(0)(0)
()()()0
f x x f x f x x
'
+∆=+∆=
这是对于亦是的修正量(0)
x
∆的线性方程式，亦称修正方程式。

解此方程可得修正量
(0)
(0)
(0)
()
()
f x
x
f x
∆=-
'
用所求得的(0)
x
∆去修正近似解，便得
(0)
(1)(0)(0)(0)
(0)
()
()
f x
x x x x
f x
=+∆=-
'
修正后的近似解(1)
x同真解仍然有误差。

为了进一步
逼近真解，这样的迭代计算可以反复进行下去，
迭代计算的通式是
()(1)
()
()()(1131)()
k k k k f x x
x
f x +=-
-'
迭代过程的收敛判据为
()1
|()|(1132)k f x ε<-
或 ()2||(1133)k x ε∆<-
式中，1ε和2ε为预先给定的小正数。

这种解法的几何意义可以从图11-26得到说明。

函数()y f x =为图中的曲线。

()0f x =的解相当于曲线与x 轴的交点。

如果第k 次迭代中得到，则过点
()()()[,()]k k k x y f x =作一切线，此切线同x 轴的交点便确定了下一个近似解(1)k x +。

由此可见，牛顿拉夫逊法实质上就是切线法，是一种逐步线性化的方法。

牛顿法不仅用于求解单变量方程，它也是求解多变量非线性代数方程的有效方法。

设有n 个联立的非线性代数方程
11221212(,,
,)0(,,,)0(1134)(,,,)0n n n n f x x x f x x x f x x x =⎫
⎪=⎪
-⎬⎪
⎪=⎭
假定已给出各变量的初值(0)(0)(0)12,,
,n x x x ，令(0)(0)(0)12,,,n x x x ∆∆∆分别为各变量
的修正量，使其满足方程（11-34）,即
(0)(0)(0)(0)(0)(0)
11122(0)(0)(0)(0)(0)(0)
21122(0)(0)(0)(0)(0)(0)
1122(,,
,)0(,,,)0(1135)(,,,)0n n n n n n n f x x x x x x f x x x x x x f x x x x x x ⎫
+∆+∆+∆=⎪+∆+∆+∆=⎪-⎬
⎪
⎪+∆+∆+∆=⎭
将上式中的n 个多元函数在初始值附近分别展成泰勒级数，并略去含有
(0)(0)(0)12,,
,n x x x ∆∆∆的二次及以上阶次的各项，便得
000(0)(0)
(0)
11111212
12000
000(0)(0)
(0)2222121212000000(0)(0)
12121200
0(,,
,)0(,,,)0(,,,)n n n n n n n n n n n n f f f f x x x x x x x x x f f f f x x x x x x x x x f f f f x x x x x x x x ∂∂∂+
∆+∆++
∆=∂∂∂∂∂∂+
∆+∆++∆=∂∂∂∂∂∂+
∆+∆++∂∂∂（）（）（）
（）（）
（）
（）（）
（）
(0)
(1136)0n x ⎫⎪⎪⎪
⎪⎪-⎬⎪⎪⎪⎪∆=⎪⎭
方程式（11-36）也可以写成矩阵形式
111120
0000(0)1121222000(0)21221200
0(0)000121
2
00
0(,,,)(,,,)(,,,)n n n
n n n n n n n n f f f x x x f x x x x f f f f x x x x x x x x f x x x f f f x x x ⎡⎤
∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥
⎡⎤⎡∆⎢⎥
⎢⎥⎢∂∂∂⎢⎥∆⎢⎥⎢⎢⎥=-∂∂∂⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆⎣⎣⎦⎢
⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎣⎦
（）（）（）
（）（）（）（）（）（）(1137)⎤⎥
⎥
-⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎦
方程式（11-37）对于修正量(0)(0)(0)12,,,n x x x ∆∆∆的线性方程，称为牛顿法的修
正方程式。

利用高斯消去或三角分解可以解出修正量(0)(0)(0)12,,,n x x x ∆∆∆。

然后
对初始近似解进行修正
(1)(0)(0)
(1,2,
,)
(1138)i i i x x x i n =+∆=-
如此反复迭代，在进行第次迭代时，从求解修正方程式
11
112()
1121222()212212()1212(,,,)(,,,)(,,,)n k k k k n k n
n k k k k n n n n n n n k k
k f f f x x x f x x x x f f f f x x x x x x x x f x x x f f f x x x ⎡⎤
∂∂∂⎢
⎥∂∂∂⎢⎥
⎡⎤⎡∆⎢⎥⎢⎥⎢∂∂∂⎢⎥∆⎢⎥⎢⎢⎥=-∂∂∂⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆⎣⎣⎦⎢
⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎣⎦
（k ）（k ）（k ）
（k ）（k ）（k ）（k ）（k ）（k ）(1139)⎤⎥
⎥
-⎢
⎥⎢⎥
⎢
⎥⎦
得到修正量，并对各变量进行修正
(1)()()
(1,2,
,)
(1140)k k k i i i x x x i n +∆=+∆=-
式（11-39）和式（11-40）也可以缩写为
()()()
()(1141)k k k F X J X =-∆- 和 (1)()()
(1142)k k k X X X +=+∆-
式中，X 和X ∆分别是由n 个变量和修正量组成的n 维列向量；()F X 是由n 个多元函数组成的n 维列向量；J 是n n ⨯阶方阵，称为雅可比矩阵，它的第i j 、个元素i
ij j
f J x ∂=
∂是第i 个函数12(,,,)0i n f x x x =对第j 个变量j x 的偏导数；上角标
()k 表示J 阵的每一个元素都在点12(,,
,)n x x x （k ）（k ）
（k ）处取值。

迭代过程一直进行到满足收敛判据
121
max{|(,,
,)|}(1143)i n f x x x ε<-（k ）（k ）
（k ）
或 2max{||}(1144)i
x ε∆<-（k ）
为止。

1ε和2ε为预先给定的小正数。