高中数学人教版必修五数列经典例题高考题（附解析答案）

⾼中数学⼈教版必修五数列经典例题⾼考题（附解析答案）
黄冈经典例题⾼考题（附答案，解析）
等差数列
例1、在等差数列{a n}中：
1、若a1－a4－a8－a12＋a15=2，则a3＋a13=___________.
2、若a6=5，a3＋a8=5，则a10=___________.
3、若a1＋a4＋a7=39，a2＋a5＋a8=33，则a3＋a6＋a9=___________.
例 2、已知数列{a n}的通项，试问该数列{a n}有没有最⼤项？若有，求最⼤项和最⼤项的项数，若没有，说明理由.
例 3、将正奇数1，3，5，7，……排成五列，（如下图表），按图表的格式排下去，2003所在的那列，从左边数起是第⼏列？第⼏⾏？
1 3 5 7
15 13 11 9
17 19 21 23
31 29 27 25
…………
例 4、设f(x)=log 2x－log x4（0
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）判断该数列{a n}的单调性.
1.(2009年安徽卷)已知{a n}为等差数列，a1＋a3＋a5=105，a2＋a4＋a6=99，则a20等于（）
A.－1
B.1
C.3
D.7
2.（2009年湖北卷）古希腊⼈常⽤⼩⽯⼦在沙滩上摆成各种形状来研究数，⽐如：
他们研究过图（1）中的1，3，6，10，……，由于这些数能够表⽰成三⾓形，将其称为三⾓形数；类似地，称图（2）中的1，4，9，16，……这样的数为正⽅形数，下列数中既是三⾓形数⼜是正⽅形数的是（）
A．289 B．1024 C．1225 D．1378
3.(江西卷)在数列{a n}中，，则a n=( )
A.2＋lnn
B.2＋(n－1)lnn
C.2＋nlnn
D.1＋n＋lnn
等差数列前N项和、等⽐数列
例 1 、在等差数列 {a n}中，
（1）已知a15=33，a45=153，求a61；
（2）已知S8=48，S12=168，求S4；
（3）已知a1－a4－a8－a12＋a15=2，求S15；
（4）已知S7=42，S n=510，a n－3=45，求n.
例 2 、已知数列 {a n}的前n项和，求数列{|a n|}的前n项和S n′.
例 3 、设数列 {a n}的⾸项a1=1，前n项之和S n满⾜关系式：3tS n－(2t＋3)S n－1=3t（t>0，n=2，3，4…）
（1）求证：数列{a n}为等⽐数列；
（2）设数列{a n}的公⽐为f(t)，作数列{b n}，使（n=2，3，4，…），求b n.
（3）求和：b1b2－b2b3＋b3b4－…＋(－1)n＋1b n b n＋1.
例 4、⼀个⽔池有若⼲出⽔量相同的⽔龙头，如果所有⽔龙头同时放⽔，那么 24分钟可注满⽔池，如果开始时，全部放开，以后每隔相等的时间关闭⼀个⽔龙头，到最后⼀个⽔龙头关闭时，恰好注满⽔池，⽽且最后⼀个⽔龙
头放⽔的时间恰好是第⼀个⽔龙头放⽔时间的5倍，问最后关闭的这个⽔龙头放⽔多少时间？
例 5 、在 XOY平⾯上有⼀个点列P1（a1，b1），P2（a2，b2），…，P n（a n，b n），…，对每个⾃然数n，点P n位于函数y=2000（0
（2）若对每个⾃然数n，以b n，b n＋1，b n＋2为边长能构成⼀个三⾓形，求a的取值范围；
（3）设B n=b1·b2·…·b n（n∈N*）.若a取（2）中确定的范围内的最⼩整数，求数列{B n}的最⼤项的项数.
1.（2009年宁夏、海南卷）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知，,则m=（）
A.38
B.20
C.10
D.9
2.(2009年全国1卷)设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=72,则=_________.
3.（2009年福建卷）等⽐数列中，已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和.
等⽐数列前N项和、数列的应⽤
例 1 、 {a n} 为等差数列（d≠0） , {a n} 中的部分项组成的数列恰为等⽐数列，且 k1=1 ，k2=5 ， k3=17 ，求 k1＋k2＋k3＋……＋k n的值 .
例 2、已知数列 {a n} 满⾜条件： a1=1 ， a2=r(r ﹥ 0) 且 {a n·a n+1} 是公⽐为 q(q ﹥ 0) 的等⽐数列，设 b n=a2n －1＋
a2n(n=1,2, …… ).
（1）求出使不等式 a n a n+1＋a n+1a n+2> a n+2 a n+3 (n ∈ N*) 成⽴的 q 的取值范围；
（2）求 b n；
（3）设，求数列的最⼤项和最⼩项的值 .
例 3 、某职⼯年初向银⾏贷款 2万元⽤于购房，银⾏为了推⾏住房制度改⾰，贷款优惠的年利率为10%，按复利计算，若这笔贷款要求分10年等额还清，每年⼀次，并且从贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？（精确到1元）
例 4、在⼀次⼈才招聘会上，有 A、B两家公司分别开出它们的⼯资标准：A公司允诺第⼀年⽉⼯资为1500元，以后每年⽉⼯资⽐上⼀年⽉⼯资增加230元；B公司允诺第⼀年⽉⼯资为2000元，以后每年⽉⼯资⽐上⼀年的⽉⼯资的基础上递增5%.设某
⼈年初被A、B两家公司同时录取，试问：
（1）若该⼈分别在A公司或B公司连续⼯作n年，则他在第n年的⽉⼯资收⼊分别是多少？
（2）该⼈打算连续在⼀家公司⼯作10年，仅从⼯资收⼊总量较多作为应聘的标准（不计其他因素），该⼈应该选择哪家公司，为什么？
（3）在A公司⼯作⽐在B公司⼯作的⽉⼯资收⼊最多可以多多少元？（精确到1元）并说明理由.
1.(2009年全国2卷)设等⽐数列{a n}的前n项和为S n，若，则=___________.
2.（2009年北京卷）若数列满⾜：，则___________；前8项的和___________.（⽤数字作答）
3.（2009年辽宁卷）等⽐数列{a n}的前n 项和为S n，已知,,成等差数列.
（1）求{a n}的公⽐q；
（2）若a1－a3＝3，求S n.
答案&解析
等差数列
例⼀分析：
利⽤等差数列任两项之间的关系：a m=a n＋(m－n)d以及“距⾸末两端等距离两项的和相等”的性质可简化解答过程．
解：，
故 5=10－d，∴ d=5.
故 a10=a6＋4d=5＋4×5=25.
例⼆分析：
考察数列{a n}在哪⼀范围是递增数列，在哪些范围是递减数列，即可找到最⼤项．
解：由有n≤9.
⽽ a n>0，∴当n≤9时，有a n＋1≥a n.
即 a1a11>a12>…
∴数列{a n}中存在最⼤项，最⼤项的项数为9或10，
最⼤项为.
点评：最⼤项与最⼤项的项数是不同概念，⼀个是项，⼀个是项号．
例三分析：
考虑到每⾏占有四个数，利⽤周期性进⾏处理，每⼀个周期占两⾏⽤ 8个数，只须确定2003是第⼏个正奇数，问题就得到解决. 解：设2003是第n个正奇数.
则 2003=1＋(n－1)·2．
∴ n=1002.
⽽ 1002=8×125＋2.
∴ 2003在第251⾏第3列.
例四分析：
依据条件列出关于a n的⽅程，解⽅程并注意f(x)的定义域0
⼜∵ f(x)定义域为0
（2）
则数列{a n}为递增数列．1. 答案：B
2.答案：C
解析：
根据图形的规律可知第n个三⾓形数为，第n个正⽅形数为b n=n2,由此可排除D（1378不是平⽅数），将A、B、C选项代⼊到三⾓形数表达式中检验可知，符合题意的是C选项，故选C．
3.答案：A
等差数列前N项和、等⽐数列
例1 解析：（1） a45 －a15=30d=153 －33 得 d=4 ， a61=a45＋16d=217.
（2）⽅法 1 S4， S8－S4， S12－S8成等差数列，
则 S4＋（168 －48） =2（48 －S4）解得 S4= －8
⽅法 2 成等差数列，则，∴ d=2.
故.
则 S4= －8.
（3）∵
（4） S7=7a4=42 ∴ a4=6
∴ n=20
例⼆解析：
∴ a n=63 －3n≥0 有 n ≤ 21 误解⼀
=
误解⼆
例三解析：（1）∵ n≥2 时
∴ {a n} 为等⽐数列 .
（2）∵
则 {b n} 为等差数列，⽽ b1=1.
∴
∴当 n 为偶数时，
当 n 为奇数时
例四解析：
设有 n 个⽔龙头，每个⽔龙头放⽔时间依次为 x1， x2， x3，…， x n，则数列 {x n} 为等差数列且每个⽔龙头 1 分钟放⽔池⽔，
故最后关闭的⽔龙头放⽔时间为 40 分钟 .
例五解析：（1）∵.
（2）∵ 0
要使 b n， b n＋1， b n＋2为边能构成三⾓形，
（3）
故{B n} 中最⼤项的项数为n=20.
1.答案：C
解析：
因为{a n}是等差数列，所以，由，得：2－＝0，所以＝2，⼜，即＝38，即（2m－1）×2＝38，解得m＝10，故选C.
2.答案：24
解析：
∵{a n}是等差数列,由,得，
.
3.解析：
（1）设的公⽐为，
由已知得，解得.
.
（2）由（1）得，，则，.
设的公差为，则有，解得.
从⽽.
所以数列的前项和.
等⽐数列前N项和、数列的应⽤
例⼀解答：设公⽐为 q ，
例⼆解答：（1）由题意得 rq n－1＋rq n＞ rq n+1.
由题设 r ﹥ 0,q ﹥ 0 ，故上式 q2－q－1﹤0 ，
（2）因为，
所以，
b1=1＋r≠0 ，所以 {b n} 是⾸项为 1＋r ，公⽐为 q 的等⽐数列，
从⽽ b n=(1＋r)q n－1．
（3）由（2）知 b n=(1＋r)q n－1，
从上式可知当 n－20.2 ＞ 0 ，即 n ≥ 21(n ∈ N) 时， c n随 n 的增⼤⽽减⼩，故
①
当 n－20.2＜0 ，即 n ≤ 20(n ∈ N) 时， c n也随着 n 的增⼤⽽减⼩，故
②
综合①、②两式知对任意的⾃然数 n 有 c20≤ c n≤ c21
故 {c n} 的最⼤项 c21=2.25 ，最⼩项 c20=－4.
例三解⼀：我们把这类问题⼀般化，即贷款年利率为 a ，贷款额为 M ，每年等额归还 x 元，第 n 年还清，各年应付款及利息分别如下：
第 n 次付款 x 元，这次⽋款全还清 .
第 n－1 次付款 x 元后，过⼀年贷款全部还清，因此所付款连利息之和为 x(1＋a) 元；
第 n－2 次付款 x 元后，过⼆年贷款全部还清，因此所付款连利息之和为 x(1＋a)2元；
……
第⼀次付款 x 元后，⼀直到最后⼀次贷款全部还清，所付款连利息之和为 x(1＋a)n－1元．
将 a=0.1 ， M=20000 ， n=10 代⼊上式得
故每年年初应还 3255 元．
解⼆：设每年应还 x 元，第 n 次归还 x 元之后还剩⽋款为 a n元；
则 a0=20000 ， a1=20000(1＋10%)－x ，
a n＋1=a n(1＋10%)－x ，
∴ a n＋1－10x=1.1(a n－10x) ，
故数列 { a n－10x} 为等⽐数列．
∴ a n－10x= (a0－10x)×1.1n，
依题意有 a10=10x＋(20000－10x) ×1.110=0 ．
．
故每年平均应还 3255 元．
例四解答：（1）此⼈在 A 、 B 公司第 n 年的⽉⼯资数分别为：
a n=1500＋230 × (n－1)(n ∈ N*) ，
b n=2000(1＋5%)n－1(n ∈ N*) ．
（2）若该⼈在 A 公司连续⼯作 10 年，则他的⼯资收⼊总量为：
12(a1＋a2＋…＋a10)=304200 （元）；
若该⼈在 B 公司连续⼯作 10 年，则他的⼯资收⼊总量为：
12(b1＋b2＋…＋b10) ≈ 301869 （元）．
因此在 A 公司收⼊的总量⾼些，因此该⼈应该选择 A 公司 .
（3）问题等价于求 C n=a n－b n=1270＋230n－2000×1.05n－1(n ∈ N*) 的最⼤值 .当 n ≥ 2 时， C n－C n－1=230－100×1.05n－2，
当 C n－C n－1＞ 0 ，即 230－100×1.05n－2＞ 0 时， 1.05n－2＜2.3 ，得 n＜19.1,因此，当 2 ≤ n ≤ 19 时， C n－1＜C n；于是当 n ≥ 20 时， C n≤ C n－1.
∴ C19=a19－b19≈ 827 （元） .
即在 A 公司⼯作⽐在 B 公司⼯作的⽉⼯资收⼊最多可以多827 元．
1.答案：3
解析：
设等⽐数列的公⽐为q.
当q=1时，.
当q≠1时，由.
2. 答案：16；255
解析：
依题知数列{a n}是⾸项为1，且公⽐为2的等⽐数列，
.
3. 解析：
（1）依题意有.
由于，故.
⼜，从⽽.
（2）由已知可得.
故.
从⽽.。