D3.2 洛必达法则

第三章
第二节 洛必达法则
三、其他类型未定式
一、 型未定式
二、 型未定式
确定未定式的极限是求极限的主要类型．常见的未定式主要有：在同一极限过程下
由无穷小的商和无穷大的商形成的 型未定式； 由无穷小与无穷大的积形成的 型未定式； 由无穷大与无穷大的差形成的 型未定式； 由无穷小与无穷大之间的幂形成的 型未定式.
线 ” 问题 ,
在他去世后的1720 年出版了他的关于圆
锥曲线的书 .
则 ”.
他在15岁时就解决了帕斯卡提出
一、
存在 (或为 )
定理 1
型未定式
(洛必达法则)
那么
设
(2) 在点a 的某去心邻域内,
都存在,
及
注:
定理 1 中
换为下列过程之一:
(2)
满足定理1的条件,
则
条件 (2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.
解 因为
所以，所给极限存在．但由洛必达法则
该极限不存在，于是所给极限不能用洛必达法则求出
三、其他类型未定式:
或
（通分）
例7 求
解:
解:
例8 求
原式
原式
解:
例9 求
原式
例10 求
解:
原式
∴ 原式
例11 求
( n 为正整数)
解:
原式
例12
不存在
内容小结
洛必达法则
如何来求解这些未定式的极限？ 法国数学家洛比达给出了解决这些未定式极限的最有力工具——洛比达法则.
洛必达(1661 – 1704)
法国数学家,
他著有《无穷小分析》
(1696),
并在该书中提出了求未定式极
限的方法,
后人将其命名为“ 洛必达法
的摆线难题 ,
以后又解出了伯努利提出的“ 最速降
思考与练习
分析:
3
原式
洛
求下列极限 :
解:
4
洛
洛必达法则
若
(1)
例1 求
解:
原式
注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !
例2 求
解:
原式
例3 求
解:
或原式
原式
注:
(2)
对分子分母中乘积因子的非零极限先求出.
(1)
(3)
结合等价无穷小的替换,
每次使用洛必达法则前必须检查所求极限
是否为未定式.
使计算更为简便.
例4求
解：
原式
二、
型未定式
存在 (或为∞)
定理 2
(洛必达法则)
那么
设
(2) 在点a 的某去心邻域内,
都存在,
及
注: 定理中
换为
之一,
条件 (2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.
例5 求
解:
原式
例6 求
解:
原式Leabharlann 注:例4 , 例5 表明时,
后者比前者趋于
更快
例 证明 存在但不能用洛必达法则求解