立体角理解及应用

立体角
在国家法定计量单位所采用的国际单位制(SI)中，除了7个基本单位外，还有两个辅助单位，一个是平面角(一般简称角度)，一般记为希腊小写字母α等，单位为弧度，记为rad，另一个是立体角，记为大写希腊字母Ω，单位为球面度，记为sr。

立体角涉及光度学、电磁辐射、球面天文学等许多领域的基本概念，如(热、光或其它电磁波、声音或其它机械波的)辐射通量、星座所占天球区域的“面积”(实际为立体角)大小等等，因此立体角概念本身的重要意义和实用价值不言而喻，可谓理解客观世界的空间形式和许多科学原理的一把钥匙。

通常的初等数学教育对平面角讲得很详尽，但对立体角的介绍则远不充足。

对三维空间、立体几何有兴趣者，不妨读读本文，希望您有所获益。

您斧正拙文之谬误、拓展和深化拙文所涵盖的内容，尤为笔者所企冀。

平面上，多边形内角和可表为(n-2)π，那么相应地，多面体内立体角之和如何？答曰：它在一定区间内变化，关于这一点，以后再展开叙述。

1、立体角定义与量度
1.1立体角的概念
当我们看到远处的两个物体，欲表达其相对方位时，用从这两个物体到眼睛的视线之间的夹角这个概念。

例如，可以选择月亮的上边缘顶点与下边缘顶点，由人眼到这两个点的视线之间的夹角较为稳定，可以称为月亮的“视直径”。

而当形容“挂在树梢上的月亮像月饼这么大”时，人们就一面犯了错误，一面已经在冥冥之中与立体角概念的幽灵相接近。

月亮、月饼当然不一样大，而且大小相差悬殊，但是当月饼与人眼之间为一定距离时，看起来它的确跟月亮“差不多一般大”。

月饼比月亮小得多，但当把月饼放在眼前时，它却能完全挡住月亮，这样就清楚了，随着距离变远，形象就变小。

这不仅是“视直径”的变化，其实也是另一个量，“立体角”的变化。

假设制作一个代表立体直角坐标系的三维“十字架”，使之穿过两个半径相差一倍的同心球面，球心在坐标系原点，自球心发出无数条射线，这些射线在球面上的投影点形成一条连续的闭合的曲线，那么这样的一条曲线在小球面上所限定的面积为在大球面上所限定面积的1/4。

进一步假设，若人眼在球心处，向曲线所包的一部分球面看，无疑大小球面上的这两块面积将完全重合。

这就是说，尽管这两块面积不等，但他们所对应的空间区域的大小却完全相同，都以上述那无数条射线为界。

我们就说，这两块面积所对应的立体角一样大。

即使你使其中一个球面绕球心转动，也不会改变这一点。

现在可以给立体角下一个定义了：锥面(射平面或射曲面)所围成的空间区域称为立体角。

在以锥的顶点为心，半径为1单位的球面上，锥面所截得的面积大小就准确地度量了立体角的大小。

以球心为顶点的锥面在球的表面切割出的、面积等于球半径平方的区域，所张的立体角的大小，被定义为立体角的基本度量单位，是立体角的国际单位，是三维的弧度，称为平方弧度，或平方弪，亦称球面度，符号记作sr，英文steridian，是希腊语立体(stereos)和弧度(radian)的合成词。

再从另一个起点出发来考察“立体角”。

正如平面上一个直角坐标系把平面分为4个象限一样，立体解析几何上，把由一个笛卡尔三维直角坐标系所确定的欧式空间剖分为8个卦限，一个卦限是这样一个立体角：其大小占整个空间的
1/8，其边界在球面上的投影是一个三边相互垂直的球面三角形。

完全相同的推广是：一个象限占去1/4个平面，一个卦限占去1/8个(欧氏)空间；象限可分为100或90等分，每等分称为一度，而8个卦限共可分为4π个等分，每等分称为一“平方弪”(球面度)；等等。

球表面积为4πr2，因此整个球面有4π个球面度。

在平面上定义一段弧微分ds与其矢量半径r的比值为其对应的圆心角，记作θ=ds/r；所以整个圆周对应的圆心角就是2π；和平面角的定义类似，定义立体角为曲面上面积微元ds与其矢量半径的二次方的比值为此面微元对应的立体角，记作θ=ds/r2；由此可得，闭合曲面的立体角都是4π。

1.2立体角的单位
词，可以理解gon的涵义就是“角”)是按国际计量局《国际单位制》要求应淘汰的平面角单位，所以今后会更少有人用到“平方冈”作为立体角的单位。

100g=90°=(π/2)rad，1g=100c=10000cc，这里c称为厘冈或新分，cc称为新秒，即所谓新度、新分、新秒分别等于全平面角(2πrad或360°)的1/400、1/40000、1/4000000。

由于平面上1弧度=180°/π，其定义是圆周上与半径等长的弧所对的圆心角，故定义，球面上1平方弧度，或球面度，是这样一个立体角，它自球心向一个球面区域(球冠等)张开，这个区域的面积等于半径的平方，又由于球面积=4
πr2，那么，1球面度就是全空间的1/4π。

1球面度约等于(180/π) 2或3282.8平方度。

1平方度=60x60=3600平方分，1平方分=60x60=3600平方秒。

以地球表面为例，假定它是完美的球面，“直观形象”地比较一下这些单位的大小比例。

地球总面积约为5.1亿平方千米，那么由地心张开的1个球面度在地表所占的面积为5.1亿平方千米/4π≈4050万平方千米，比俄、加、中三个
面积最大的国家国土面积之和还大些；而由地心张开的1个平方度在地表所占的面积为4050万平方千米/3282.8≈12350平方千米，相当于110千米见方的一个地区，或1/3个台湾或海南岛；由地心张开的1个平方分在地表所占的面积为12350平方千米/3600≈3.43平方千米，由地心张开的1个平方秒在地表所占的面积为3.43平方千米/3600≈0.95平方米。

再以地球赤道为例，假定它是完美的圆形，看平面角单位的大小比例。

赤道半径6378千米，赤道周长约40074千米，则地心所张的平面角每度所对的赤道弧长为111.3千米，每个角分所对的赤道弧长为111.3/60≈1.855千米，每个角秒所对的赤道弧长为1855/60≈30.92米。

此数值与上述每个平方秒所对的0.95
平方米远不相称，由此可知，1平方秒=1/3600平方分和1平方分=1/3600平方度只是人为的规定，1平方秒决不是1个平面的角秒的简单平方。

计。

1.3立体角与平面角的对比
*
2、欧几里得空间的剖分及区域类型
2.1欧几里得空间的剖分
这里不考虑爱因斯坦式的时-空联系，而只分析欧几里得--笛卡尔式的整个刚性三维空间(以下简称全空间)被平面或曲面剖分为各种区域的情形。

图2.1.
a.全空间中任1个平面将全空间剖分为对等的2个区域；其投影如上图左；
b.任2个互不平行的平面将全空间剖分为两两对等的4个区域；设这2个平面之间的夹角为α，则这2对区域所占空间大小的比例为α/(π-α)；其投影如上图中；
c.互相平行的2个平面将全空间剖分为3个区域：对等的2个区域加上中间1个无穷大但厚度(等于两个平面之间的距离)有限的“饼”状区域；其投影如上图右；
d.互不平行的3个平面将全空间剖分为两两对等的8个区域；立体直角坐标系将全空间剖分为8个卦限就是一个特例；
但若3个平面两两之间的3条交线互相平行而不共面、不重合，则这3个平面将全空间剖分为7个区域，是3对对顶的二面角及1个无限高的三棱柱；其横截面(投影)如下图左；
图2.2
e.互不平行的4个平面，若不交于同一点，将全空间剖分为两两对等的14个区域围绕1个四面体，其中4对对顶的三面角、3对对顶的四面角(分别对应于四面体的4个面、4个顶点和6条棱)；
f.1个射圆锥面(无限高)将全空间剖分为2个区域，其中之一具有圆锥形正截面，占据全空间的一定比例(依该射圆锥面的张角而定，具体数量见下文所述)；另一个则占据全空间的其余部位；其示意如上图右；
……
由上一节已经可以看到，空间的区域有几种不同的类型，列入表5中。

一段绕口令：
代号为∞1的区域是∞0区域的∞倍，∞2区域又是∞1区域的∞倍，∞3或∞3’区域又是∞2区域的∞倍。

如果说∞1是对于∞0的1阶∞，那么∞2、∞3或∞3’就分别是对于∞0的2、3阶∞。

2.3锥角(立体角)的边界
立体角通常由锥角所限定。

这里的锥角是指具有立体角的∞3'型三维无限区域，锥角的边界是无数条连续相邻的射线所构成的“射面”，由锥角的顶点，即所有这些射线的共同端点出发，无弯曲地通向无穷远处。

以顶点为球心，以这些射线为法线作任意球面，则它与锥角边界面的交线呈闭合曲线。

而锥角在该闭合曲线内球面上投影区域的面积，占该球面总面积的比例的大小，就确定了该锥面的立体角的大小，因此立体角本质上是一个比值，和平面角一样，没有量纲。

2.3.1平面边界的锥角----多面角
锥角的边界面可以是3个以上平面(棱锥)，或1个以上锥面(圆锥或椭圆锥
等特殊曲面)。

当其边界全由平面构成，不含锥面时，则称为多面角。

多面角立体角的求法见“§3多面角----球面三角部分内容简介”。

除锥角外，球面二角形也限定两个立体角。

也可以把球面二角形视为最简单的多面角。

注意：二面角不等于球面二角形所张的立体角，而其数值是后者的
1/2，例如，作为其特例，当球面二角形所张的二面角达到2πrad时，它所占据的立体角就是全空间，4πsr。

一般地，若该二面角为θrad，则其所占据的立体角为
Ω=2θsr 2.3.1以后除非特别指明，类似式中立体角的单位均为sr，省去不写。

2.3.2曲面边界的锥角
即，锥角的边界为圆锥或椭圆锥等；先看圆锥面的情况，设圆锥所张的平面角为θ，参考球面半径为R，则圆锥所对球冠面积=2πr2(1-cos(θ/2)),根据球
面度的定义，可知该圆锥所张立体角为
Ω=2π(1-cos(θ/2)) 2.3.2椭圆锥角情况类似。

3、多面角----球面三角部分关键内容简介
在球面几何-球面三角中，一个基本概念是三面角，三面角的每个面本身所
张的平面角称为边，由其余两面限定，而面与面两两之间所夹的平面角称为角，可以推导出，三面角的三个角之和超出180度或πrad，而超出的这部分，正好
等于这个三面角所张的立体角，即：
Ωt=ε=A+B+C-π——3.1这是关于立体角的一个重要而基本的关系。

通过将多面角分割为若干三面角，可求得多面角所张的立体角。

如正n面角可分割为n-2个相同的等腰三面角，故其立体角为：
Ω=（n-2）ε，——3.2由于在诸ε中多余加入了自分割轴张出的一个轴角（二面角）2π/（n-2），故
ε，=ε-2π/（n-2）——3.3
4、多面体
多面体与立体角关系密切，欲深入了解立体角，从而对“空间”这个哲学、数学概念增加理解，不妨多观察多面体。

4.1. 认识(正)多面体的部分早期历程
长方体以至正方体（正六面体）是人们早就有所了解的多面体，但先后发现5种正多面体，主要应是约公元前500年古希腊人的功劳；据记载，毕达哥拉斯学派已知有正四、六、八面体，特埃特图斯追加了正十二面体和正二十面体。

这5种正多面体首次同时出现，可能是在柏拉图的《蒂迈欧篇》中，蒂迈欧对苏格拉底所说的一段话里。

这段话对正多面体的描述并不很清晰，但5种正多面体却因此被称为柏拉图立体。

蒂迈欧神秘地将四种正多面体（除了正十二面体外）与古希腊哲学中的四个原始元素(火、气、水、土)分别联系在一起，而正十二面体被视为以太或宇宙的形态。

稍后，成书于公元前300年左右的欧几里得《几何原本》，在第13卷之命题13-17分别探讨了正四、八、六、二十、十二面体的作图问题，命题18对它们有所比较，并断言正多面体只有这5种。

但在一定意义上，球体也可以视为具有无穷多个面的第6种正多面体(也有人定义，正多面体只能有有限多个面)，每个面都是正三角形或正六边形；
若球半径无穷大，则每个面的面积可以任意大(但不应是无穷大)；
若球半径为有限值(但不应是无穷小)，则每个面的面积为无穷小。

正多面体而外，对称性较强的多面体中，有被称为阿基米德立体的凸多面体和被称为开普勒-庞索立体的凹多面体。

1596年开普勒出版的《宇宙的神秘》一书中，煞费苦心地将当时已知的几大行星轨道与几种正多面体嵌套相联系；直到近年，国外仍有天文学家试图使人们相信，宇宙是个正十二面体，但似乎还拿不出令人信服的证据。

4.2. (正)多面体部分特性
关于凸多面体，1635年法国笛卡儿第一次明确叙述，1752年瑞士人欧拉独立宣布了以下公式：
V+F-E=2 ——4.1式中：V——（凸多面体的）顶点数
F——（凸多面体的）面数
E——（凸多面体的）棱边数
此式不仅对于正多面体成立，而且适用于所有凸多面体，通常称为（笛卡儿-）欧拉公式。

有一种说法是，至此，对（正）多面体的了解已较为全面。

另一简单关系未引起重视，其实或许应平行运用。

如下：
至少在凸多面体中，设各顶点上的棱数为E i，i=3，4，5，……，V，各面的边数为E j，j=3, 4，5，……，F，则总棱数为
E=∑E i／2（每个顶点两次被计入，故除以2，以下类同）=∑E j／2 ——4.2基于此，对于正多面体，由于各E i相同，各E j也相同，则总棱数为
（E=）VE i==FE j——4.3欲验证此式，可参见表7。

较中，存在非常和谐的对偶关系。

和谐、对偶不仅表现在面、棱、顶点数的关系上，也表现在棱长及三种半径（内接球、中切球、外切球的，本表未列）、单面的面积和总表面积、局部与整体的体积比、面的内角及二面角、体心和顶点所张的平面角与立体角等多方面，还隐藏着不少简洁优美的关系。

4.3．未完成的观察
同好者不难判断，前一小节、本节以下内容及下节内容，以往是否已见于文献记载，是否有一定的新意。

如果以往未见于文献记载，且此处结论正确、有一定新意，那么似乎就说明，看似“简单”的正多面体和立体角，还有一些奥秘， 2000多年来都未曾完成观察和探索。

比如，正二十面体中，其实可以“挑”出8个面来，而这8个面正好对应于一个正八面体的8个面。

何以见得？请您：
①用较厚纸板剪出20个全等正三角形，拼成一个正二十面体模型，或从美
术用品商店买来一个石膏制的正二十面体模型；
②先选定两条相对的棱作为基准，将这两条棱两侧各两个面涂成同一种颜色；
③再在其余棱中找到与这两条棱垂直的另外4条棱，在其两侧各两个面同样涂色；
④然后观察剩余的8个面的相互位置关系，就不难作出结论了。

5、(正)多面体内的立体角
5.1本节推求正四、六、八面体诸顶点内侧立体角之间的关系，及 (正)四
面体的内部立体角之和，部分地比较多面体与多边形的异同。

除根据第3节所述球面三角学最重要的基本概念和基本规律之一的角超(角盈)公式外，正四、正八面体的内部立体角还可以用一种特殊方法求得。

图5.1正四面体、正六面体、正八面体的内部立体角之间的关系如图5.1，左图是一个正四面体ABCD，将相邻棱的中点两两相连成小的正三角形，截去四个小的正四面体，得到正八面体EFGHIJ，ABCD的每条棱的内二面
角确定一个球面二角形；通过平面几何方式，在ABCD上作截面，易求得此处二
面角为arccos(1/3)，相应的立体角为2arccos(1/3)，对于每条棱而言，该立体角（如在E点处）由三部分组成，即两个小的正四面体的各一个顶点立体角，加上正八面体的一个顶点立体角，可表为
2A4+A8=2arccos(1/3) 5.1在右图所示正六面体ABCDEFGH中，将A、D、F、H四点两两相连，就形成正四面体ADFH，若取出该四面体，则余下4个全等的四面体，仔细观察其中之一，如AFGH，就会发现它其实是正八面体的1/8，G点处的立体角为一个卦限，即π/2，而体内另外3个立体角分别是正八面体顶点立体角A8的1/4，在A、D、F、H四点处，分别由3个这样的立体角加上正四面体ADFH的一个顶点立体角构成
一个卦限立体角，即
3A8/4+A4=π/2 5.2联立以上二式，解二元一次方程组，易得A4、A8，即正四面体、正八面体顶点的内立体角。

与按照角盈公式（3.1）求得的结果完全吻合。

以上二式反映了正四面体、正六面体、正八面体的内部立体角之间的关系。

至于这三者与正十二面体、正二十面体的内部立体角之间，以及后两者之间关系，期待同好们的发现。

5.2多面体内立体角之和不是恒量
在多边形中，n边形的内角和等于(n-2)xπ，那么在多面体中，各顶点上的内部立体角之和是否也有类似的规律呢？
下面通过四面体的情形，证明多面体的内部立体角之和不是常数，而是变量。

假设将一个四面体(三棱锥)的底面固定不动，而将顶点在垂直方向无限拉高，只要棱、面不弯曲，则顶点处的内立体角将趋于零，而底部的3个内立体角之和趋于占据2个卦限，亦即π个sr；
相反，若将顶点在垂直于底面方向无限压低，则底部的3个内立体角趋于零，顶点处的立体角趋于半个全空间，即2π个sr；
由此看来，四面体的内部立体角之和似乎应该在π至2π个sr之间变化，但根据角超(角盈)公式，可以求得正四面体的内立体角之和约等于2.205sr，却不在上述范围内，低于上述范围；
再假设使一个正四面体这样变形：其互不相邻的一对棱长度不变，而它们相互间的距离变为趋于0，则其4个内部立体角也趋于0，若它们相互间的距离变为远大于原棱长，则其4个内部立体角同样趋于0。

综合以上情况，四面体的内部立体角之和在0至2π个sr之间变化，正四面体的内立体角之和约等于2.205sr。

多面体面数多于4时，情况类似。

6、立体角有用处
人们更习惯使用平面的角度概念，而一般不太熟悉立体角的内涵。

但是实际上，立体角是客观事物的一种重要的空间形式，许多科学技术领域的研究都涉及到它，或者涉及与它密切相关的多面体。

球面天文学上，用立体角概念描述星座或其它天体区域的“大小”。

全天区被88个星座分为88个大小不等的立体角区域，相关图、表易从网上搜到；根据笛卡儿解析几何，整个欧几里得氏空间分为8个卦限，因此每个星座所占据的立体角平均为一个卦限的11分之1；
据历史记载，公元前3000年，地中海沿岸的迦勒底文明中就有了关于天空区域的神话传说。

根据天文学家依巴谷(Hipparchus，或译喜帕恰斯)的著作——《评论》(The Commentary，前147年)，希腊诗人阿拉托斯(Aratus)的长诗《物象》(Phaenomena，前275年)使这些传说家喻户晓，而阿拉托斯的诗绝大部分是由更早的欧多克斯(Eudoxus)的同名著作(前366年)改编而来。

托勒密(Ptolemy)的《天文学大成》(The Almagest，公元150年) 等古籍保存了有关希腊天空的最早描述，其中记录的星座已经成形。

1922年，国际天文学联合会(IAU)正式确定了88个星座的名称，其中很大一部分出自托勒密《天文学大成》。

我国古代对天区的划分有不同的系统，如三垣(太微、紫微、天市)、四象(青龙、朱雀、白虎、玄武)、二十八宿等，其中有的区域边界和“面积”不太明晰，这里就不另列表细述了。

小可去年一篇博文（见/article/2860838.html，有图）中谈到：[观察标明恒星星等的天球图，容易注意到亮星分布不均，一半以上3等以上较亮星集中分布在不足全天1/4的空间区域（立体角）内，犹以南天极星图为明显，故可推测，太阳系外围相当大的空间区域内，天体质量的立体角分布不均，因而太阳系除绕银心公转及复杂的“自转”外，还可能有另一种方向的运动，与周围天体质量的立体角分布“重心”有关。

]这种显著不均衡的分布和特殊运动是否也会影响到太阳系内、包括地球的物理系统呢？
地学上，经度、纬度网事实上也是划分立体角区域的边界；参见1.2及表2（见《立体角（一）》）；物理上，引力场、静电场、电磁及热辐射等等都与立体角有关。

显然，离开对立体角的理解，难以充分认识许多自然现象，对客观世界的空间形式、几何美的感悟也有缺憾。

7、自然界中的多面体
自然界就有四面体、六面体和八面体，化学/地质上，许多晶体就是这样，其结构自然地显现正四、六、八面体轮廓。

例如：全硫锑酸钠结晶、甲烷、水或冰雪的分子结构大致为正四面体形式，食盐等许多矿物晶体为正六面体，铬矾、明矾晶体为正八面体，正十二面体或五角十二面体是黄铁矿的一种可能的晶体结构。

力学上会分析到八面体应力。

生物学上，病毒结构为正二十面体，蜂巢底部在结构上与正四面体一致。

放射虫、有孔虫、珊瑚等都或明显或隐约地有多面体结构。

5角形的海星、木薯（横截面视图形状）等也与正十二面体和正二十面体是近亲。

8、正多面体与八卦及其他
有人把正六面体的8个顶点与八卦相联系，并以（0，0，0）、（1，1，1）等直角坐标与八卦对应；其实也可以以（-1，-1，-1）、（1，1，1）等直角坐标与八卦对应，也可以把正八面体与八卦相联系。

八卦不止是阴阳，它还隐含“3分法、3维”这个意义，因为每卦含3爻，相应于23=8。

三维空间中任一平面，其法线矢量的3轴分量相应于一卦的3爻；如果把一卦的3爻视为一个三角形的3棱或3顶点，则八卦可对应于一个正八面体；如果把一卦的3爻视为一个三面角的3棱或3面，则八卦可对应于一个正六面体。

四象、四时、四方等，一定程度上可与正四面体的面或顶点相关联。

五行、五音、五脏等，可与正十二面体和正二十面体中的五边形或五面角相关联。

12平均律、黄道12宫、12地支等亦可能与正十二面体和正二十面体关联。

但也不能无限制地牵强比附，例如四时有先后顺序，而正四面体的面或顶点则没有。

参考文献：
1.欧几里得《几何原本》（第13卷），燕晓东编译，人民日报出版社2005年版；
2.柏拉图《蒂迈欧篇》，《柏拉图全集》第3卷，王晓朝译，人民出版社2003年版；
3..勃拉日哥《球面天文学教程》，易照华、杨海寿译，高等教育出版社1954年版；
4.网上资料。

By: 蕞尔尔尔。