新疆生产建设兵团二中2016-2017学年高二下学期第二次月考数学试卷(理科)Word版含解析

2016-2017学年新疆生产建设兵团二中高二（下）第二次月考数
学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）
1．是z的共轭复数，若z+=2，（z﹣）i=2（i为虚数单位），则z=（）A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i
2．若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f（x）的单调递增区间为（）
A．（﹣1，0）B．（﹣1，0）∪（2，+∞） C．（2，+∞）D．（0，+∞）3．下面几种推理过程是演绎推理的是（）
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B=180°
B．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质
C．某校高二共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人
D．在数列{a n}中，由此归纳出{a n}的通项公式
4．数列1，，，，，，，，，，…的前100项的和等于（）
A．B．C．D．
5．设x，y，z∈R+，a=x+，b=y+，c=z+，则a，b，c三数（）
A．至少有一个不大于2 B．都小于2
C．至少有一个不小于2 D．都大于2
6．由直线x=0，，y=0与曲线y=2sinx所围成的图形的面积等于（）
A．3 B．C．1 D．
7．现有2个男生.3个女生和1个老师共六人站成一排照相，若两端站男生，3个女生中有且仅有两人相邻，则不同的站法种数是（）
A．12 B．24 C．36 D．48
8．用5种不同的颜色给如图标有A，B，C，D的各部分涂色，每部分只涂一种
颜色，且相邻两部分不同颜色，则不同的涂色方法共有（）
A．160种B．240种C．260种D．360种
9．若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1，2，3，4，5，6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有（）
A．120个B．80个C．40个D．20个
10．在二项式（1﹣2x）n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为（）
A．﹣960 B．960 C．1120 D．1680
11．（2x+）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2的值为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．2
12．已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数y=f′（x）．当x≠0时，f′（x）+
＞0．若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a、b、c的大小关系是（）
A．a＜b＜C B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13．一次文艺演出，节目单上己排好10个节目，现要增加3个节目，并要求原定的10个节目的相对顺序不变，则节目单有种不同的排法（用数字作答）．
14．若（a﹣2i）i=b﹣i，其中，a，b∈R，i是虚数单位，则复数z=a+bi的模等于．15．已知函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原
点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为，则a的值为．
16．已知的展开式中二项式系数和为32，的展开式中的各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为．
三、解答题（本大题共6小题，满分70分）
17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n，a n的等差中项为1．
（Ⅰ）写出a1，a2，a3；
（Ⅱ）猜想a n的表达式，并用数学归纳法证明．
18．某校从学生会文艺部6名成员（其中男生4人，女生2人）中，任选3人参加学校举办的“庆元旦迎新春”文艺汇演活动．
（1）设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列；
（2）求男生甲或女生乙被选中的概率；
（3）设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P（B）和P（B|A）．19．现有10道题，期中6道难题，4道简单题，张同学从中任选3道题解答．已
知所取3道题中有2道难题，1道简单题．设张同学答对每道难题的概率都是，
答对每道简单题的概率都是，且各题答对与否相互独立，用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．
20．已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，求证：对应三边a，b，c满足
+=．
21．已知x=1是f（x）=函数的极值点．
（Ⅰ）求的a值；
（Ⅱ）函数y=f（x）﹣m有2个零点，求m的范围．
22．已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知对任意的x＞0，ax（2﹣lnx）≤1恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）是否存在实数a使得函数f（x）在[1，e]上最小值为0？若存在，试求出a的值；若不存在，请说明理由．
2016-2017学年新疆生产建设兵团二中高二（下）第二次
月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）
1．是z的共轭复数，若z+=2，（z﹣）i=2（i为虚数单位），则z=（）A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】由题，先求出z﹣=﹣2i，再与z+=2联立即可解出z得出正确选项．
【解答】解：由于，（z﹣）i=2，可得z﹣=﹣2i ①
又z+=2 ②
由①②解得z=1﹣i
故选D．
2．若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f（x）的单调递增区间为（）
A．（﹣1，0）B．（﹣1，0）∪（2，+∞） C．（2，+∞）D．（0，+∞）
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】确定函数的定义域，求出导函数，令导数大于0，即可得到f（x）的单调递增区间．
【解答】解：函数的定义域为（0，+∞）
求导函数可得：f′（x）=2x﹣2﹣，
令f′（x）＞0，可得2x﹣2﹣＞0，∴x2﹣x﹣2＞0，∴x＜﹣1或x＞2
∵x＞0，∴x＞2
∴f（x）的单调递增区间为（2，+∞）
故选C．
3．下面几种推理过程是演绎推理的是（）
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B=180°
B．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质
C．某校高二共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人
D．在数列{a n}中，由此归纳出{a n}的通项公式
【考点】F6：演绎推理的基本方法．
【分析】演绎推理是由普通性的前提推出特殊性结论的推理．其形式在高中阶段主要学习了三段论：大前提、小前提、结论，由此对四个命题进行判断得出正确选项．
【解答】解：A选项是演绎推理，大前提是“两条直线平行，同旁内角互补，”，小前提是“∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角”，结论是“∠A+∠B=180°”
B选项“由平面三角形的性质，推测空间四面体性质”是类比推理；
C选项：某校高二共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人，是归纳推理；
D选项中，在数列{a n}中，a1=1，，通过计算a2，a3，a4由此归纳出{a n}的通项公式，是归纳推理．
综上得，A选项正确
故选A．
4．数列1，，，，，，，，，，…的前100项的和等于（）
A．B．C．D．
【考点】8E：数列的求和．
【分析】由于数列中，1有一项，和为1，有两项，和为1，前100项中，有
13项，和为1，，代入求出前100项的和．
【解答】解：
=1×
故选A．
5．设x，y，z∈R+，a=x+，b=y+，c=z+，则a，b，c三数（）
A．至少有一个不大于2 B．都小于2
C．至少有一个不小于2 D．都大于2
【考点】72：不等式比较大小．
【分析】由x，y，z∈R+，a=x+，b=y+，c=z+，则a，b，c三数至少有一个不小于2．利用反证法与基本不等式即可证明结论．
【解答】解：由x，y，z∈R+，a=x+，b=y+，c=z+，则a，b，c三数至少有一个不小于2．
下面利用反证法证明：假设a，b，c三数都小于2．
则6＞a+b+c=x++y++z+≥+2+2=6，即6＞6，矛盾．
因此原结论正确．
故选：C．
6．由直线x=0，，y=0与曲线y=2sinx所围成的图形的面积等于（）
A．3 B．C．1 D．
【考点】6G：定积分在求面积中的应用；66：简单复合函数的导数．
【分析】先将围成的平面图形的面积用定积分表示出来，然后运用微积分基本定理计算定积分即可．
【解答】解：直线x=0，，y=0与曲线y=2sinx所围成的图形如右图所示，
其面积为：S=2sinxdx=﹣2cosx=﹣2cos﹣（﹣2cos0）=1+2=3，
故选A．
7．现有2个男生.3个女生和1个老师共六人站成一排照相，若两端站男生，3个女生中有且仅有两人相邻，则不同的站法种数是（）
A．12 B．24 C．36 D．48
【考点】D3：计数原理的应用．
【分析】分三步，先排男生，再排女生，最后排老师，根据分步计数原理可得．【解答】解：第一步：先排2名男生有A22=2种，
第二步：排女生，3名女生全排形成了4个空，
第三步，将这1个老师插入3名女生形成的2空（不含3名女生两端的空）中，根据分步计数原理可得，共有A22A33A21=24种，
故选：B．
8．用5种不同的颜色给如图标有A，B，C，D的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，且相邻两部分不同颜色，则不同的涂色方法共有（）
A．160种B．240种C．260种D．360种
【考点】D3：计数原理的应用．
【分析】根据题意，先分析A区域，有5种颜色可选，即有5种涂法方案，再分①若B、D区域涂不同的颜色，②若B、D区域涂相同的颜色，两种情况讨论其他3个区域的涂色方案，由分类计数原理可得其他个区域的涂色方案的数目；再由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：对于A区域，有5种颜色可选，即有5种涂法，
分类讨论其他3个区域：①若B、D区域涂不同的颜色，则有A42=12种涂法，C 区域有3种涂法，此时其他3个区域有12×3=36种涂法；
②若B、D区域涂相同的颜色，则有4种涂法，C区域有4种涂法，此时其他3个区域有有4×4=16种涂法；
则共有5×（36+16）=5×52=260种；
故选：C．
9．若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1，2，3，4，5，6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有（）
A．120个B．80个C．40个D．20个
【考点】D8：排列、组合的实际应用．
【分析】根据题意，因十位上的数最大，则其只能为3、4、5、6，进而分四种情形处理，即当十位数字分别为3、4、5、6时，计算每种情况下百位、个位的数字的情况数目，由分类计数原理，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，十位上的数最大，只能为3、4、5、6，
分四种情形处理，当十位数字为3时，百位、个位的数字为1、2，有A22种选法，当十位数字为4时，百位、个位的数字为1、2、3，有A32种选法，
当十位数字为5时，百位、个位的数字为1、2、3、4，有A42种选法，
当十位数字为6时，百位、个位的数字为1、2、3、4、5，有A52种选法，
则伞数的个数为A22+A32+A42+A52=40；
故选C．
10．在二项式（1﹣2x）n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为（）
A．﹣960 B．960 C．1120 D．1680
【考点】DB：二项式系数的性质．
【分析】根据题意，分析可得二项式（1﹣2x）n的展开式中，二项式系数之和为256，即可得2n=256，解可得n=8，进而可得（1﹣2x）8的展开式的通项，由此
可得其中间项即第5项的系数，即可得答案．
【解答】解：根据题意，二项式（1﹣2x）n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，
则其中奇数项的二项式系数之和也为128，
有二项式（1﹣2x）n的展开式中，二项式系数之和为256，即2n=256，
即n=8，
=C8r（﹣2x）r=C8r（﹣2）r•x r，
则（1﹣2x）8的展开式的通项为T r
+1
其中间项为第5项，且T5=C84（﹣2）4x=1120x，即展开式的中间项的系数为1120；故选C．
11．（2x+）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2的值为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．2
【考点】DC：二项式定理的应用．
【分析】给二项展开式的x分别赋值1，﹣1得到两个等式，两个等式相乘求出待求的值．
【解答】解：令x=1，则a0+a1+…+a4=，
令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣a3+a4=．
所以，（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2=（a0+a1+…+a4）（a0﹣a1+a2﹣a3+a4）
==1
故选A
12．已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数y=f′（x）．当x≠0时，f′（x）+
＞0．若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a、b、c的大小关系是（）
A．a＜b＜C B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】根据式子得出F（x）=xf（x）为R上的偶函数，利用f′（x）+＞0．
当x＞0时，x•f′（x）+f（x）＞0，
当x＜0时，x•f′（x）+f（x）＜0，判断单调性即可证明a，b，c 的大小．
【解答】解：∵定义域为R的奇函数y=f（x），
∴F（x）=xf（x）为R上的偶函数，
F′（x）=f（x）+xf′（x）
∵当x≠0时，f′（x）+＞0．
∴当x＞0时，x•f′（x）+f（x）＞0，
当x＜0时，x•f′（x）+f（x）＜0，
即F（x）在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减．
F（）=a=f（）=F（ln），F（﹣2）=b=﹣2f（﹣2）=F（2），F（ln）=c=
（ln）f（ln）=F（ln2），
∵ln＜ln2＜2，
∴F（ln）＜F（ln2）＜F（2）．
即a＜c＜b
故选：D
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13．一次文艺演出，节目单上己排好10个节目，现要增加3个节目，并要求原定的10个节目的相对顺序不变，则节目单有1716种不同的排法（用数字作答）．
【考点】D2：分步乘法计数原理；D8：排列、组合的实际应用．
【分析】因为要求原定的10个节目的相对顺序不变，所以解题时可以采用插入法来保障原来的顺序，可以插入的3个节目互不相邻，插入的节目有且只有2个相邻，插入的3个节目都相邻，再根据分类计数原理得到结果．
【解答】解：由题意知分三类
（1）插入的3个节目互不相邻，用插空法，有A113种排法；
（2）插入的节目有且只有2个相邻，有A32A112种排法；
（3）插入的3个节目都相邻，先捆绑再插空，有A33A111种排法．
故共有A113+A32•A112+A33A111=1716种排法．
故答案为：1716．
14．若（a﹣2i）i=b﹣i，其中，a，b∈R，i是虚数单位，则复数z=a+bi的模等于
．
【考点】A8：复数求模．
【分析】利用复数相等的条件列式求得a，b的值，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：由（a﹣2i）i=2+ai=b﹣i，得：
b=2，a=﹣1．
∴z=a+bi=﹣1+2i，
则|z|=．
故答案为：．
15．已知函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原
点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为，则a的值为﹣3．
【考点】67：定积分．
【分析】由图可知f（x）=0得到x的解确定出b的值，确定出f（x）的解析式，
由于阴影部分面积为，利用定积分求面积的方法列出关于a的方程求出a并判断a的取舍即可．
【解答】解：由图知方程f（x）=0有两个相等的实根x1=x2=0，于是b=0，
∴f（x）=x2（x+a），有，
∴a=±3．
又﹣a＞0⇒a＜0，得a=﹣3．
故答案为：﹣3．
16．已知的展开式中二项式系数和为32，的展开式中的各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为﹣40．
【考点】DC：二项式定理的应用．
【分析】由的展开式中二项式系数和为32求得n=5，再由
的展开式中的各项系数的和为2求得a=1，写出的展开式的通项，分别乘以x，，再由x的指数为0求得r值，则展开式中的常数项可求．
【解答】解：由的展开式中二项式系数和为32，得2n=32，解得n=5．
又的展开式中的各项系数的和为2，
∴令x=1，得（a+1）•15=2，得a=1．
∴=，
的通项=．
∴的展开式中的通项有或
．
由5﹣3r=0，得r=，不合题意；
由6﹣2r=0，得r=3，则展开式中的常数项为．
故答案为：﹣40．
三、解答题（本大题共6小题，满分70分）
17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n，a n的等差中项为1．
（Ⅰ）写出a1，a2，a3；
（Ⅱ）猜想a n的表达式，并用数学归纳法证明．
【考点】RG：数学归纳法；81：数列的概念及简单表示法．
【分析】（I）依次把n=1，2，3代入S n+a n=2计算即可；
（II）先验证n=1，再假设n=k猜想成立，推导n=k+1成立即可．【解答】解：（I）由题意S n+a n=2，
∴a1=1，a2=，a3=．
（II）猜想：a n=．
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，a1=1，==1，猜想成立．
②假设当n=k时，等式成立，即a k=，
则当n=k+1时，由S k
+1+a k
+1
=2，S k+a k=2，
得（S k
+1﹣S k）+a k
+1
﹣a k=0，
即2a k
+1
=a k，
∴a k
+1
=a k=，
∴当n=k+1时，猜想也成立，
∴对于任意n∈N
+
，a n=．
18．某校从学生会文艺部6名成员（其中男生4人，女生2人）中，任选3人参加学校举办的“庆元旦迎新春”文艺汇演活动．
（1）设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列；
（2）求男生甲或女生乙被选中的概率；
（3）设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P（B）和P（B|A）．【考点】CM：条件概率与独立事件；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；CG：离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）先找到ξ的所有可能取值，求出每种情况的概率，就可得到ξ的分布列；
（2）利用对立事件，求男生甲或女生乙被选中的概率；
（3）P（B）===；P（B|A）=，即可得出结论．
【解答】解：（1）ξ的所有可能取值为0，1，2．
依题意，得P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==．
∴ξ的分布列为
（2）设“甲、乙都不被选中”为事件C，则P（C）===．
∴所求概率为P（）=1﹣P（C）=1﹣=．…
（3）P（B）===；P（B|A）===．…
19．现有10道题，期中6道难题，4道简单题，张同学从中任选3道题解答．已
知所取3道题中有2道难题，1道简单题．设张同学答对每道难题的概率都是，
答对每道简单题的概率都是，且各题答对与否相互独立，用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．
【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．
【分析】根据题意知X的所有可能取值，计算对应的概率值，写出随机变量X 的分布列，再计算数学期望值．
【解答】解：根据题意，X的所有可能取值0、1、2、3，
则，
，
，
；
所以随机变量X的分布列为：
数学期望为E（X）=0×+1×+2×+3×=．
20．已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，求证：对应三边a，b，c满足
+=．
【考点】HR：余弦定理．
【分析】利用分析法结合等差数列的性质，三角形内角和定理，余弦定理即可证明．
【解答】证明：要证，
只需证（b+c）（a+b+c）+（a+b）（a+b+c）=3（a+b）（b+c），
即只需证a2﹣b2+c2﹣ac=0，①
又在△ABC中，角A、B、C的度数成等差数列，
有B=60°，则cosB=，
即a2﹣b2+c2﹣ac=0，即①式显然成立，从而得证．
21．已知x=1是f（x）=函数的极值点．
（Ⅰ）求的a值；
（Ⅱ）函数y=f（x）﹣m有2个零点，求m的范围．
【考点】6D：利用导数研究函数的极值；52：函数零点的判定定理．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，是f′（1），得到关于a的方程，解出即可；（Ⅱ）求出函数的导数，求出f（x）的最小值，通过讨论b的范围，结合函数的图象求出m的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵x＞0时，f′（x）=（x2+ax+2x+a）e x，
∴f′（1）=（3+2a）e，
由题意得f′（1）=0，故a=﹣．
（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）=（x2﹣x）e x，
问题可转化为y=f（x）与y=m图象有2个交点，
x＞0时，f（x）=（x2﹣x）e x，
∴f′（x）=（x2+x﹣）e x．
令f′（x）=0得x=1或x=﹣（舍），
∴f（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，
∴当x＞0时，f（x）min=f（1）=﹣，
①当b＜0时，f（x）的草图如图①：
故m＞﹣时满足题意；
②当b=0时f（x）的草图如图②：
故﹣＜m＜0时满足题意；
③当b＞0时f（x）的草图如图③：
故m=﹣或m=0时满足题意；
综上所述：当b＜0时，m＞﹣；
当b=0时，﹣＜m＜0；
当b＞0时，m=﹣或m=0．
22．已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知对任意的x＞0，ax（2﹣lnx）≤1恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）是否存在实数a使得函数f（x）在[1，e]上最小值为0？若存在，试求出a的值；若不存在，请说明理由．
【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；3R：函数恒成立问题；6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．
【分析】（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），求导函数，由f′（x）＞0，可得函数f（x）的单调增区间；由f′（x）＜0，可得函数的单调减区间，从而可求函数的极值；
（Ⅱ）已知对任意的x＞0，ax（2﹣lnx）≤1恒成立，分类讨论①2﹣lnx＞0时，
恒成立；②2﹣lnx＜0时，恒成立，研究右边函数的最值，即可求得实数a的取值范围；
（Ⅲ）不存在a，使得函数f（x）在[1，e]上最小值为0，利用函数f（x）的单
调增区间为，单调减区间为，结合函数的定义域[1，e]进行分类讨论，从而可得结论．
【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）
求导函数可得
由f′（x）＞0，可得；由f′（x）＜0，可得
∴函数f（x）的单调增区间为，单调减区间为
当时，函数取得极小值为；
（Ⅱ）已知对任意的x＞0，ax（2﹣lnx）≤1恒成立，则
①2﹣lnx＞0时，恒成立
令，
∴
当lnx＜1时，g′（x）＜0，当1＜lnx＜2时，g′（x）＞0，
∴lnx=1时，即x=e时，函数取得最小值为
∴
②2﹣lnx＜0时，恒成立
令，
∴
当2﹣lnx＜0时，g′（x）＞0，
∴函数在（e2，+∞）上单调增，函数无最大值，故此时不恒成立；
∴实数a的取值范围是；
（Ⅲ）不存在a，使得函数f（x）在[1，e]上最小值为0
由（Ⅰ）知函数f（x）的单调增区间为，单调减区间为
若，即，则函数f（x）在[1，e]上最小值为=0，∴a=e，不满足题意
若，即a＞1，则函数f（x）在[1，e]上最小值为f（1）=1，不满足题意；
若，0＜时，函数f（x）在[1，e]上最小值为f（e）=a+=0，∴a=﹣
，不满足题意．
综上知，不存在a，使得函数f（x）在[1，e]上最小值为0．
2017年7月23日。