圆孔衍射

爱
里
第一暗环所围
斑
成的中央光斑
称为爱里斑
d
L
aD
P


d
f
d ：爱里斑直径
D：圆孔孔径
爱里斑的半径r由对应于第一个光强强度极小值出的kaθ 值
决定。爱里斑半径r对透镜光心的张角θ 称为爱里斑的半角
宽度。有：
ka kar/ f 1.22
r 1.22 f 0.61 f
2a
a
2 kmb
)
2
2
若令

kla 2


a sinx ,

kmb 2


b sin y
则上式可以化简为：
I
(
x,
y)

I
0
(
s
in
)
2
(
s
in


)
2
式 沿当X中α轴=I00上为（光P对0强应点的于出分p的0布强点，度）此。，时有Y主=极0,大光，强当公α式=变m为π(：Im=1I0,2(,s3i时n ， )
有极小值Im=0，此时出现的是暗点，因为


kla , 2
k

2 ,
l

sinx ,所以暗点的条件可以表示为：
a sinx n, n 1,2,3
暗点的位置为：x m 2 f f , 相邻按点之间的距离为：
ka a
x f ,即相邻两个零强度之间的距离与宽度a成反比。
方孔衍射设方孔沿x1y1轴方向的宽度分别为ab方孔以坐标远点为对称选方孔的中心作为坐标远点c观察屏上任一点p的复振幅为
夫朗和费圆孔衍射和方孔衍射
Q
• 圆孔衍射的实验装置
因为圆孔结构的回转对称性，因此采用极坐标方式研究比 较简单。设圆孔的半径为a，圆孔中心O1位于光轴上，圆 孔上任意一点Q的直角坐标为x1，y1，极坐标为φ 1，ρ1，两
0
11 1
1
根据零阶贝塞尔函数的积分公式
故：2J0 (k1 )
2
0
e ik1
J0(x)
d cos1 1
2
2 0
eixcos d
上式利用了J0（kρ 1θ ）为偶函数的性质。因此：
E~(,) 2c a 0
J0 (k1 )1d1
由贝塞尔函数的性质：
者之间的关系x为1 ： 1 cos1 y1 1 sin1
类似的观察屏上任意一点P的直角坐标为x,y，极坐标为φ ，
ρ，两者之间的关系为： x cos y sin
衍射角θ 为：θ=ρ/f
• 将上述的条件代入夫琅禾费衍射公式中，得P点的复振幅
为：
~ a 2 ik (1 cos1 cos 1 sin1 sin )
a
相邻两个零强度之间有一个次级大，次级大的位置由下式 决定：
d (sin )2 0,方程利用右图求解 da 做曲线F ( ) tan和直线F ，它们
的交点对应的值即为上式的解。
方孔衍射在Y轴上的分布由
I

I
0
(
s
in


)决定。可利用上述
的方法讨论。
E( , ) c e d d 0 0
11 1
c e d d a 2 ik1 cos(1 )
00
11 1
因为圆孔是轴对称的，积分结果与方位角φ 无关，所以令
φ =0，上式变为：
E~(,) c a 0
e d d 2 ik1 cos1
b
2 b
exp[ik(lx1 my1)]dx1dy2
22

E~0
sin kla 2
k la

sin kmb 2
k mb
2
2
E~0 E~0 (0,0) cab 是观察屏中心点P0处的光强复振幅。
P点的光强：
I E~ E~
sin lak si0 (x)dx xJ1(x)J1（x）为一阶贝塞尔函数，上式可得：
E~( , )

2c (k )2
ka 0
(k1 )J0 (k1 )d (k1 )
a2c 2J1(ka ) k a
所以P点的光强为：
I
(P)

I0[
2J1(ka ka
)
]2
式中I0=c2（πa2）2是轴上点P0的光强度。由衍射公式可以 得到圆孔夫琅禾费衍射图样有一下的性质： 光强度的分布与仅与衍射角θ 有关，或由于θ=ρ/f 也可以说光强度的分布与ρ有关，而与φ 无关。在这表明相 等之处的光强相同，所以衍射图样是圆环条纹。 θ =0时，I(P)=I0，为极大值（主极大）。当J1（z）=0时，I =0，有极小值，这些Z值决定衍射暗环的位置。在相邻两 个暗环之间有一个次级大，其位置由J2（z）=0决定，这些 Z值决定衍射亮环的位置。
0.61
fa
上式表明，衍射的大小与圆孔的半径成反比，而与波长成
正比。当D时，衍射现象可忽略，呈现光的直线传播
现象。
方孔衍射
设方孔沿x1，y1轴方向的宽度分别为a，b方孔以坐 标远点为对称，选方孔的中心作为坐标远点C，观察 屏上任一点P的复振幅为：
E~

c
a
2 a