高数B()~章知识点总结

第6章 定 积 分
§6. 1 定积分的概念与性质
1．概念 定积分表示一个和式的极限
1
()lim ()n
b i i
a
i f x dx f x λξ→==∆∑⎰
[],1
lim ()n
a b n i i n i f x ξ→∞
=∆∑等分
其中：{}n x x x ∆∆∆=,,,max 21 λ，1--=∆i i i x x x ；[]1,i i i x x ξ-∈；
几何意义：表示()y f x =，0y =，x a =，x b =所围曲边梯形面积的代数和 可积的必要条件：()f x 在区间[]b a ,上有界 可积的充分条件：（可积函数类）
（1）若()f x 在[]b a ,上连续，则()b
a f x dx ⎰必存在；
（2）若()f x 在[]b a ,上有界，且只有有限个第一类间断点，则()b
a
f x dx ⎰必
存在；
（3）若()f x 在[]b a ,上单调、有界，则()b
a f x dx ⎰必存在。

2. 性质
（1） (())0b
a
f x dx '=⎰； ()()b
b
a
a
f x dx f t dt =⎰⎰
（2） ()()b a a
b
f x dx f x dx =-⎰⎰； ()0a
a
f x dx =⎰
（3） ()b a
kdx k b a =-⎰； b
a
dx b a =-⎰
（4） []()()()()b b b
a
a
a
f x
g x dx f x dx g x dx αβαβ+=+⎰⎰⎰
（5） ()()()b c b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰
（6）若()()f x g x ≤，[]b a x ,∈， 则()()b b
a
a
f x dx
g x dx ≤⎰⎰
推论1：若()0f x ≥，[]b a x ,∈， 则()0b
a
f x dx ≥⎰
推论2：
()()b b a
a
f x dx f x dx ≤⎰
⎰
（7）若()m f x M ≤≤，[]b a x ,∈， 则()()()b
a
m b a f x dx M b a -≤≤-⎰
（8）若()f x 在[]b a ,上连续，()g x 在[]b a ,上不变号，存在一点(,)a b ξ∈
()()()()b b
a
a
f x
g x dx f g x dx ξ=⎰⎰
特别地，若()1g x =，则至少存在一点[],a b ξ∈，或(,)a b ξ∈，使得
()()()b a
f x dx f b a ξ=-⎰
⇒ 1
()()b a
f f x dx b a ξ=
-⎰
（9）若()f x 在[]b a ,上连续，则其原函数()()x
a
x f t dt ϕ=⎰可导，且
()(())()x a
d
x f t dt f x dx ϕ'=
=⎰ （10）若()f x 在[]b a ,上连续，且()()F x f x '=，则
()()()()b
b a
a
f x dx F x F b F a ==-⎰
§6. 2 定积分的计算
1. 换元法 []()
()()()b
x t a
f x dx
f t t dt β
ϕαϕϕ=⎰⎰
2. 分部法 b
b
b
a
a
a
udv uv vdu =-⎰⎰，或b
b
b
a
a
a
uv dx uv vu dx ''=-⎰⎰
3. 常用公式 （1）[]0
2()()()()()0()a a a
a
f x dx f x f x dx f x f x dx f x -⎧⎪
=+-=⎨⎪⎩
⎰⎰
⎰为偶函数为奇函数
（2）0
()()()a a
a
f x
g x dx C g x dx -=⎰⎰，其中()()f x f x C +-=，()g x 为连续偶函
数
（3）00
0()()()()a T T a
nT T
f x dx f x dx
f x dx n f x dx
+⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰⎰⎰，其中()()f x T f x += （4）2
20
0220
0(sin )(cos )(sin ,cos )(cos ,sin )f x dx f x dx f x x dx f x x dx
π
π
ππ
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⎰⎰⎰⎰ （5）20
2
20
1
cos 2cos sin 1sin 2n n n n n n
xdx
x xdx xdx
π
ππ⎧⎪⎪=⎨
⎪⎪⎩⎰⎰⎰
（6）20
00
(sin )(sin )(sin )2f x dx xf x dx f x dx π
ππ
ππ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩⎰⎰⎰
（7）⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰
为奇数为偶数n n dx x dx x n n
sin 4sin 2020
π
π
（8）2200
(1)!!!!2
sin cos (1)!!!!n n
n n n x dx x dx n n n πππ
-⎧⎪⎪==⎨
-⎪⎪⎩⎰⎰为偶数
为奇数
（9）
()
()()()()
()()()()()x x f t dt f x x f x x ψϕψψϕϕ'
''=-⎰
（10）2
22()()()()b b b
a a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦
⎰⎰⎰
§6. 3 广义积分
1. 无限区间的积分（无穷积分） （1）定义与性质
()lim ()b
a a
b f x dx f x dx +∞
→+∞=⎰⎰，若极限存在，则原积分收敛；
()lim ()b
b
a a f x dx f x dx -∞→-∞=⎰⎰，若极限存在，则原积分收敛；
()()()c
c
f x dx f x dx f x dx +∞
+∞
-∞-∞
=+⎰
⎰
⎰
，
必须右边两积分都收敛，原积分才收敛； ()a f x dx +∞
⎰
，()b
f x dx +∞
⎰
，()a
kf x dx +∞⎰，具有相同敛散性；
[]()()a
f x
g x dx +∞
±⎰()()a
a
f x dx
g x dx +∞+∞
=±⎰
⎰
，即收敛积分和仍收敛
（2）审敛法
比较审敛法：
设0()()f x g x ≤≤，则()()()()a a a
a g x dx f x dx f x dx g x dx +∞+∞+∞+∞
⎧⇒⎪⎨⎪⇒⎩⎰⎰⎰⎰收敛 收敛
发散 发散
比较法的极限形式： 设()
lim ()x a
f x l
g x +
→=，则0()()0a a l g x dx f x dx l +∞+∞≤<+∞⎧⎨<≤+∞⎩⎰⎰收敛性相同与发散性相同
柯西审敛法：
设lim ()p x x f x l →+∞
=，则0,1()0,1a
l p f x dx l p +∞
≤<+∞>⎧=⎨
<≤+∞≤⎩⎰
收敛
发散
特别地，11
p a
p dx x p +∞>⎧=⎨≤⎩⎰
收敛发散
绝对收敛与条件收敛：
()()()a
a
a f x dx f x dx f x dx +∞+∞
+∞
⎧⎪=⎨⎪⎩
⎰⎰
⎰收敛，则收敛， 称绝对收敛发散，而收敛，称条件收敛
2. 无界函数的积分（瑕积分）
（1）定义与性质
()lim ()b
b a a f x dx f x dx ε
ε+-→=⎰⎰
（lim ()x b
f x -→→∞）
，若极限存在，则原积分收敛； 0
()lim ()b
b
a a f x dx f x dx ε
ε++→=⎰
⎰
（lim ()x a
f x +→→∞）
，若极限存在，则原积分收敛； ()()()b
c b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx =+⎰
⎰⎰（lim ()x c
f x →→∞）
，两积分都收敛，原积分才收敛；
()b
a f x dx ⎰
，()b
a
kf x dx ⎰，具有相同敛散性；
[]()()b
a
f x
g x dx ±⎰
()()b b
a
a
f x dx
g x dx =±⎰⎰，即收敛积分和仍收敛
（2）审敛法
比较审敛法：设(),()f x g x 非负，且lim ()x a
f x +→=+∞，lim ()x a
g x +→=+∞
若0()()f x g x ≤≤，则()()()()b b a
a b
b a
a
g x dx f x dx f x dx g x dx ⎧⇒
⎪⎨⎪⇒⎩⎰⎰
⎰⎰
收敛收敛
发散发散
比较法的极限形式：若()
lim ()
x a
f x l
g x +
→=，则 0()()0b
b a
a
l g x dx f x dx l ≤<+∞⎧⎨
<≤+∞⎩⎰
⎰收敛性相同
与发散性相同
柯西审敛法：若lim ()()p x a
x a f x l +→-=，或lim()()p
x b
b x f x l -
→-=，则 0,01()0,1
b
a
l p f x dx l p ≤<+∞<<⎧=⎨
<≤+∞≥⎩⎰
收敛
发散
特别地，1()()1
b b p
p
a
a p dx dx x a
b x p <⎧⎨--≥⎩⎰
⎰收敛或发散
§6. 5 典型例题解析
1．变限积分的求导与应用 解题思路 （1）利用公式
()
()()()()
()()()()()x x f t dt f x x f x x ψϕψψϕϕ'
''=-⎰
（2）若被积函数含积分限变量，需用变量代换化为变限积分的一般形式求解；
（3）变限积分是由积分限位置变量决定的函数，它与积分变量无关。

利用变限积分的求导同样可以分析函数的特性。

2．利用定积分定义求和式的极限
解题思路 若将积分区间[],a b 等分，i b a x n -∆=，取i i b a
x a i n
ξ-==+
，则 11
lim ()lim ()()n
n
b i i a n n i i b a b a
f x f a i f x dx n n ξ→∞→∞==--∆=+=∑∑⎰
3. 利用定积分的性质求极限
解题思路
（1）若极限含定积分，可利用定积分的中值定理求解；或利用定积分的估值性质建立不等式，用夹逼定理求解；
（2）若极限含变限积分，可利用罗必达法、夹逼定理和周期函数的定积分性质求解。

5．利用换元法求定积分 解题思路
（1）计算定积分时，必须考虑积分变元的变化范围和应用牛—莱公式的条件。

（2）应用第一类换元法（凑微分法）直接求解；
（3）若被积函数
含
，
，，分别令
()s i n x a t ϕ=，tan a t ，sec a t ；
（4）作变量代换时须相应改变积分限。

一般地，积分区间为[]a a ,-，令
x t =-；积分区间为[]0,a ，令x a t =-。

（5）被积函数为
()()()u x u x v x +，或()
()()
v x u x v x +型积分变量代换条件：积分上下
限不变或换位，变换前后形式为
()()()u x u x v x + ⇒ ()()()v x u x v x +；或()
()()
v x u x v x + ⇒
()
()()
u x u x v x +
6．利用分部法求定积分
解题思路 一般计算方法与不定积分分部法类似。

（1）若被积函数含()f x '，()f x ''，将()()f x dx df x '=，()()f x dx df x '''=取作dv ，其余部分取作u ；
（2）若被积函数含变限积分，将变限积分取作u ，其余部分取作dv ；或将原积分化为二重积分，再改变积分次序求解。

7．利用公式求定积分
解题思路 利用恒等变形和变量替换法将积分或部分积分化为已知公式标准型求解
8．利用积分区间的对称性计算定积分 解题思路
（1）若被积函数是奇、偶函数，用奇偶函数的定积分性质求解
[]0
()()()a a a
f x dx f x f x dx -=+-⎰
⎰0
2()()0()a f x dx
f x f x ⎧⎪=⎨⎪⎩
⎰为偶函数为奇函数
（2）若被积函数不是是奇、偶函数作负代换x t =-求解；
（3）若()()f x f x C +-=，()g x 为连续偶函数，则0
()()()l
l
l
f x
g x dx C g x dx -=⎰⎰，
注意，可直接验证()()0f x f x ''+-=，则00()()C f x f x =+-，[]0,x a a ∈- 9．分段函数及含绝对值号函数的定积分
解题思路：
（1）以函数分段点将积分区间分为相应子区间，利用定积分的对区域可加性求解；
（2）当被积函数是给定函数的复合函数时，用变量代换化为给定函数的形式求解；
（3）令绝对值表达式为零，去掉绝对值符号，再用分段函数积分法求解。

10．含定积分、变限积分方程的求解 解题思路
（1）若方程含定积分，令定积分为A ，方程两边再取相同积分限的定积分求解；
（2）若方程含变限积分，方程两边求导化为微分方程求解； 11．利用定积分定义，性质和几何意义有关命题的证明技巧
解题思路 （1）利用已知不等式将函数改写为和式的极限，再由定积分的定义求证；（2）当函数单减时，曲边梯形的面积n ≤个窄条矩形面积之和；
12．应用介质定理、微分和积分中值定理的命题 解题思路
（1）若结论不含ξ，则将结论改写为()0F x =的形式，左边设为辅助函数，
用介质定理、微分和积分中值定理求解；
（2）若结论含ξ，将结论左边改写为某微分中值定理的标准形式（右边含ξ）
，再由此作辅助函数（有时需将所含定积分化为积分上限的函数），用微分和积分中值定理求解；
（3）若结论为含ξ的微分方程，可由观察法或解方程求出辅助函数，用微分和积分中值定理求解。

13．定积分不等式的证明 解题思路
常用定理：定积分的比较定理，估值定理，函数单调性判别法，微分与积分中值定理，泰勒公式；
常用不等式：222a b ab +≥，1
2a a
+≥(0)a >，柯西不等式
2
22()()()()b b b a a
a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰
常用等式：b
a b a dx -=⎰，1ln
b a b dx a
x =⎰，()0()()()()x f a a f x f x f a f t dt ='-=⎰时
（1）利用换元法、分部法或周期函数的定积分性质直接求证；
（2）若仅知被积函数连续：作辅助函数，将结论所含定积分化为变限积分，移项使右边为零，左边即为辅助函数，再用函数单调性或求证。

（3）若已知被积函数可导，且至少有一端点()0f a =：将函数化为变限积分，即()()x
a f x f t dt '=⎰，或()()()()()f x f x f a f x a ξ'=-=-求证；
（4）若已知被积函数二阶可导：将被积函数按泰勒公式展开并缩放，利用定积分比较定理求证。

14．广义积分的计算
解题思路 分清积分的类型。

一般将无穷积分，瑕积分化为常义积分，再取极限求解；混合型广义积分则须拆分积分区间，按无穷积分和瑕积分分别求解。

§6. 4 定积分的应用
1．定积分的微元法
设所求量A 可表为∑=∆=n
i i A A 1，则()i A dA f x dx ∆≈=，于是()b
a
A f x dx =⎰
2．直角坐标下平面图形的面积
（1）由()y f x =，a x =，b x =及x 轴所围的平面图形的面积
()b a
S f x dx =⎰
（2）由1()y f x =，2()y f x =，a x =，b x =及x 轴所围的平面图形的面积
12()()b a
S f x f x dx =-⎰
（3）由1()x y ϕ=，2()x y ϕ=，c y =，d y =及y 轴所围的平面图形的面积
12()()d
c
S y y dy ϕϕ=-⎰
（4）由参数方程表示的曲线所围面积可作换元处理
()
()
()()()b x t y t a
f x dx t t dt β
ϕψα
ψϕ=='−−−→⎰
⎰
3．极坐标下平面图形的面积
一般若平面图形的边界是圆或圆弧，可考虑用极坐标求解。

（1）由()r r θ=，αθ=，βθ=()αβ<所围的平面图形的面积
2
1()2S r d βα
θθ=⎰
（2）由闭合曲线()r r θ=所围的平面图形，若极点在图形内部，则面积
22
01()2
S r d πθθ=
⎰ 4．平行截面面积已知的立体体积
已知平行截面面积为()S x ，[]b a x ,∈，或()S y ，[],y c d ∈，则其体积
()b a
V S x dx =⎰，或 ()d
c
V S y dy =⎰
（1）一曲线绕坐标轴一周的旋转体体积
2
()b
x a
V f x dx π=⎰，2()d
y c
V y dy πϕ=⎰
（2）两曲线绕坐标轴的一周的旋转体体积
2212()()b
x a
V f x f x dx π=-⎰，22
12()()d
y c
V y y dy πϕϕ=-⎰
（3）曲边梯形面积()b
a
f x dx ⎰绕y 轴或0x x =一周的体积为
2()b y a
V x f x dx π=⎰，或002()()b
x x a
V x x f x dx π==-⎰，0x x <
曲边梯形面积()d
c
y dy ϕ⎰绕x 轴或0y y =一周的体积为
2()d x c
V y y dy πϕ=⎰，或002()()d
y y c
V y y y dy πϕ==-⎰，0y y <
5．定积分在经济分析中的应用
（1）由边际函数求原函数
原经济函数()F x 为其边际函数()F x '的不定积分；原经济函数的增量()F x ∆为其边际函数()F x '的定积分，即()()F x F x dx '=⎰，()()b
a F x F x dx '∆=⎰
（2）由边际函数求最优问题
最低成本：0()0C q '=，0()0C q ''> ⇒ 0
min 00()q C C q dq C '=+⎰
最大收益：0()0R q '=，0()0R q ''< ⇒ 0
max 0
()q R R q dq '=⎰
最大利润：0()0L q '=，0()0L q ''< ⇒ []0max 00
()()q L R q C q dq C ''=--⎰
（3）消费者剩余和生产者剩余
消费者剩余：*
**
()q S C D q dq p q =-⎰；生产者剩余：*
**
()q S P p q S q dq =-⎰
其中，*p 均衡价格，*q 均衡供需量，()D q 需求函数，()S q 供给函数。

（4）资本现值和投资问题
资本现值：0()T
rt y f t e dt -=⎰； 纯收入贴现值：R y A =-
其中，()f t 收入率，rt e -按连续复利的折算因子，T 投资时间，A 投资额
17．定积分在几何方面的应用
解题思路 （1）将[],a b 无限分割，小曲边梯形宽为dx ，高为()f x ，则面积微元()dS f x dx =，再将这无穷多个小曲边梯形面积微元“加”起来得曲边梯形的面积()b
a S f x dx =⎰；
（2）将[],a b 无限分割，小区间宽为dx ，截面积为2()f x π，则体积微元
2()x dV f x dx π=，再将这无穷多个圆形薄片体积微元“加”起来得曲边梯形的面积绕x 轴一周的体积2()b
a V f x dx π=⎰；
（3）将[],θαβ∈无限分割，小曲边扇形圆心角为d θ，半径为()r θ，则面积
微元2
1()2
dS r d θθ=
，再将这无穷多个小曲边扇形面积微元“加”起来，得曲边扇形的面积2
1()2b a S r d θθ=⎰。

第7章 多元函数微积分
§7. 1 多元函数微分学
1．多元函数，极限与连续 （1）空间直角坐标系
空间任意一点M 都与一个三元有序数组()z y x ,,一一对应，称z y x ,,为点M
的坐标，记为()z y x M ,,。

空间任意两点()1111,,z y x M ，()2222,,z y x M 之间的距离为
()()()21221221221z z y y x x M M -+-+-=
（2）曲面与方程
在空间直角坐标系中，任何一个方程(,,)0F x y z =，都表示一张曲面；曲面上任一点的坐标都满足方程；不在曲面上的点不满足方程。

平面：0=+++D Cz By Ax （任何一个三元一次方程都表示空间的一张平面）
柱面：()0,=y x F 其母线平行于z 轴，准线为平面曲线()⎩⎨⎧==00,z y x F
球面：()()()22
02
02
0R z z y y x x =-+-+-；2222x y z R ++=
椭球面：122
2222=++c
z b y a x
旋转抛物面：22y x z += 其图形为平面曲线⎩⎨⎧==02z x z 或⎩
⎨⎧==02
x y
z 绕z 轴所成曲
面
双曲抛物面：22y x z -= （3）多元函数
二原函数： ()y x f z ,= ()D y x ∈,
二元函数()y x f z ,=表示一张空间曲面，而其在xoy 平面上的投影即为函数的定义域。

多元函数： ()n x x x f u ,,,21 = ()D x x x n ∈,,,21 （4）二元函数的极限与连续
设),(y x f z =在),(000y x P 的某去心邻域内有定义，当),(y x P 以任意方式趋近于),(000y x P 时，函数),(y x f 的值趋近于确定的常数A ，则称A 是函数
),(y x f z =趋近),(000y x P 时极限。

记为
()A y x f y y x x =→→,lim 0
，或()0
lim ,P P f x y A →=
若),(y x f z =在00(,)x y 处连续，则()()00,,lim 0
0y x f y x f y y x x =→→
（5）性质与定理：多元函数的和，差，积，商仍为连续函数（商的分母不为零）；多元连续函数的复合函数仍为连续函数；有界闭区域D 上的连续函数必有最值（有界）；有界闭区域D 上的连续函数必能取得介于最大值与最小值之间的任何值；多元基本初等函数在其定义区间内为连续函数多元初等函数在其定义区间内为连续函数
2．多元函数微分法 （1）二元函数的偏导数
()()0,,lim x f x x y f x y z x x ∆→+∆-∂=∂∆；()()0,,lim y f x y y f x y z y y
∆→+∆-∂=∂∆ （2）二元函数的全微分 dy y
z
dx x z dz ∂∂+∂∂=
偏导数存在是可全微分的必要条件，偏导数连续是可全微分的充要条件。

（3）复合函数微分法
()(),()z f u x v x = ⇒
dx
dv v f dx du u f dx dz ∂∂+∂∂= （称为全导数） ()(),(,)z f u x v x y = ⇒ x v v f dx du u f x z ∂∂∂∂+∂∂=∂∂， y v v f y z ∂∂∂∂=∂∂ ()(,),,z f u x y x y = ⇒ x f x u u f x z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂， y
f y u u f y z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂ ()(,),(,)z f u x y v x y = ⇒
x v v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂，y
v v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ （4）一阶全微分形式不变性 dy y
z
dx x z dz ∂∂+∂∂=
dv v z du u z ∂∂+∂∂= （5）隐函数微分法，设()y x f z ,=是由方程()0,,=z y x F 确定，则
z x F F x z ''-=∂∂；z y F F y z
'
'-=∂∂ （6）二阶偏导数与全微分
()y x f x z xx ,22''=∂∂，()y x f y x z xy ,2''=∂∂∂，()y x f x y z yx
,2''=∂∂∂，()y x f y
z
yy ,22''=∂∂ 若函数的两阶混合偏导数连续，则混合偏导数相等，即=
∂∂∂y x z 2x
y z ∂∂∂2
222()()
2xx
xy yy dz dz d z dx dy f dx f dxdy f dy x y
∂∂''''''=
+=++∂∂ 3．多元函数的极值和最值
（1）无条件极值 设()y x f z ,=二阶可偏导 必要条件： ()0,00='y x f x ()0,00='y x f y
充分条件：设()()()000000,,,xx xy yy A f x y B f x y C f x y ''⎧=⎪''=⎨⎪''=⎩，则22200000A B AC A B AC B AC ⎧<⎧-<⎨⎪
>⎩⎪⎪
->⎨⎪-=⎪
⎪⎩极大值
有极值极小值无极值不确定
（2）条件极值 设()y x f z ,=，求在条件()0,=y x ϕ下的极值 作拉格朗日函数： ()()()y x y x f y x F ,,,,λϕλ+=
()()()()()⎪⎩⎪
⎨⎧=='='+'='='+'='0,0,,0
,,y x F y x y x f F y x y x f F y y y x x x ϕϕλϕλλ
解出y x ,就是可能极值点 注意：从()0,=y x ϕ中解出()x y y =代入()y x f z ,=，化为(),()z f x y x =的一元函数极值问题来解决；条件极值点唯一时即为所求最值点。

（3）多元函数的最值 {}f =最值最值驻点值，边界值
§7. 2 二 重 积 分
1．二重积分的定义
()()i
n
i i
i
D
f d y x f σηξσλ
∆=∑⎰⎰=→1
,lim , （σd 为面积元素）
由定义知，二重积分为一个确定的数值。

从几何上可以解释为：若在区域D 上，()0,≥y x f ，则二重积分表示以区域D 为底，以曲面()y x f z ,=为顶的曲顶柱体的体积。

2．二重积分的性质
（1）()()()(),,,,D
D
D
f x y
g x y d f x y d g x y d αβσασβσ±=±⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰
（2）()()()1
2
,,,D
D D f x y d f x y d f x y d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （21D D D +=）
（3）D
d D σ=⎰⎰，D
dxdy D =⎰⎰，D
r drd D θ=⎰⎰ （D 表示D 的面积）
（4）若()()y x g y x f ,,≤，()D y x ∈,，则
()(),,D
D
f x y d
g x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰ ()(),,D
D
f x y d f x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰
（5）若()M y x f m ≤≤,，()D y x ∈,，则
D m (),D
f x y d σ≤⎰⎰D M ≤
（6）若()y x f ,在区域D 上连续，则在D 上至少存在一点()ηξ,，使得
()(),,D
f x y d f D σξη=⎰⎰
（7）二次积分的无关性质，()()
()
()()
()
2211,,b
x b
y a
x a
y dx f x y dy dy f y x dx ϕϕϕϕ=⎰⎰
⎰⎰
3．二重积分的计算
（1）直角坐标系下的计算（dxdy d =σ）
()(),,D
D
f x y d f x y dxdy σ=⎰⎰⎰⎰
若D 为 b x a ≤≤，()()x y y x y 21≤≤，则
()()()
()21,,b
y x a
y x D
f x y dxdy dx f x y dy =⎰⎰
⎰⎰
若D 为 d y c ≤≤，()()y x y 21ϕϕ≤≤，则
()()()
()21,,d
y c
y D
f x y dxdy dy f x y dx ϕϕ=⎰⎰
⎰⎰
若D 为 b x a ≤≤，()()x y y x y 21≤≤；或d y c ≤≤，()()y x y 21ϕϕ≤≤，则
()()()
()()()
()2211,,,b y x d
y a
y x c
y D
f x y dxdy dx f x y dy dy f x y dx ϕϕ==⎰⎰⎰
⎰
⎰⎰
注意：如下积分须改变积分次序：
sin x dx x ⎰，2sin x dx ⎰，2cos x dx ⎰，2x e dx -⎰，2x e dx ⎰，y
x e dx ⎰
，1ln dx x ⎰ （2）利用D 域的对称性和函数奇偶性简化计算 若D 关于y 轴对称（1D D ∈，0x ≥），则
()()()()()()1
0,,,2,,,D
D f x y f x y f x y dxdy f x y dxdy
f x y f x y ⎧-=-⎪
=⎨-=⎪⎩⎰⎰
⎰⎰
若D 关于x 轴对称（2D D ∈，0y ≥），则
()()()()()()2
0,,,2,,,D
D f x y f x y f x y dxdy f x y dxdy
f x y f x y ⎧-=-⎪
=⎨-=⎪⎩⎰⎰
⎰⎰
若D 关于原点对称（3D 是D 被过原点的直线切割的一半），则
()()()()()()3
0,,,2,,,D
D f x y f x y f x y dxdy f x y dxdy
f x y f x y ⎧--=-⎪
=⎨--=⎪⎩⎰⎰
⎰⎰
若D 关于y x =对称，则()(),,D
D
f x y dxdy f y x dxdy =⎰⎰⎰⎰ （3）极坐标系下的计算（θσrdrd d =）
()(),cos ,sin D
D
f x y d f r r rdrd σθθθ=⎰⎰⎰⎰
若极点在区域D 外部，D ：βθα≤≤，()()θϕθϕ21≤≤r ，则
()()()
()21cos ,sin cos ,sin D
f r r rdrd d f r r rdr β
ϕθα
ϕθθθθθθθ=⎰⎰
⎰⎰
若极点在区域D 边界上，D ：βθα≤≤，()θϕ≤≤r 0，则
()()()0
cos ,sin cos ,sin D
f r r rdrd d f r r rdr βϕθα
θθθθθθ=⎰⎰
⎰⎰
若极点在区域D 内部，D ：πθ20≤≤，()θϕ≤≤r 0，则
()()()20
cos ,sin cos ,sin D
f r r rdrd d f r r rdr πϕθθθθθθθ=⎰⎰⎰
⎰
注意：凡积分域D 为：圆、圆环、扇形、环扇形宜用极坐标计算。

（4）二重积分变量替换公式
()[],(,),(,)D
D f x y dxdy f x u v y u v J dudv '
=⎰⎰⎰⎰
其中，uv 平面上区域D '令(,),(,)x x u v y y u v == ⇒ xy 平面上区域D ，则该变换
的雅可比行列式为
x x
u v
J
y y
u v
∂∂
∂∂
=
∂∂
∂∂
，且
1
u u
x y
v v
J
x y
∂∂
∂∂
=
∂∂
∂∂
§7. 3 典型例题解析
1．利用多元函数的概念解题
解题思路
（1）利用函数与复合函数的定义求函数的解析式；
（2）利用初等函数的定义域与性质求多元函数的定义域。

2．利用多元函数的极限和连续的定义解题
解题思路
（1）利用多元函数极限的定义求极限；
（2）利用等价无穷小的替换、变量替换、夹逼定理等一元函数的方法求极限；
（3）利用不同路径的不同极限值判断极限不存在；
（4）二元函数连续与间断与一元函数类似，关键是二元函数极限的求法不同。

3．多元复合函数的偏导数和其微分法
解题思路
（1）分清函数复合的结构，利用链导法求解；
（2）求某点偏导数时，可先把y（或x）的值代入求对x（或y）的偏导数，
这样可简化计算；
（3）利用全微分形式不变性，函数对中间变量求全微分，中间变量对自变量求全微分，然后带回求解；
（4）对幂指函数或乘除因子较多的函数可利用取对数求导法公式求解；
（5）对多元复合隐函数分别求偏导数后，有时要联立方程求出各偏导数；
（6）求二阶偏导数时，可对中间变量编号处理，特别注意一阶偏导数仍是多元函数
4．利用偏导数和全微分的概念解题
解题思路
（1）利用不定积分求二元函数的函数解析式，注意对一个变量积分时，积分常数是另一个变量的函数；
（2）利用二元函数全微分存在条件确定常数
5．多元函数的极值与最值的有关命题
解题思路
（1）利用极值的定义判别函数极值与最值；
（2）利用极值的必要条件和充分条件求函数的无条件极值；
（3）利用拉格朗日乘数法求函数的条件极值；
（4）若极值唯一，则极值即为最值
6．二重积分的计算
解题思路（1）选择坐标系：若积分区域是圆域，圆环域，扇形域，扇环域，
或被积函数是22()f x y +，()y
f x
的形式宜采用极坐标，其他区域用直角坐标；
（2）选择积分次序：积分域的划分尽可能少，积分函数先易后难； （3）累次积分的定限原则：后积先定限，限内划射线，先交为下限，后交为上限（后积分的积分限均为常数；射线平行于先积分变量坐标轴且同向）；
（4）若二次积分不能用初等函数表示，应考虑交换积分次序：由累次积分限划出积分域，由（3）的方法确定新的累次积分；
（5）利用被积函数的奇偶性与积分域的对称性可以简化计算；
（6）利用二重积分变量替换公式。

7．利用二重积分定义和性质求极限 解题思路
（1）若二元和式的通项为21
(,)i j f n n n
的形式，则可利用二重积分的定义求
其极限：将D 域等分成n 个矩形曲顶柱体，则第i 个曲顶柱体体积为
21
(,)i i j V f n n n
∆=，当n →∞时，体积微元为(,)dV f x y dxdy =，01x ≤≤，01y ≤≤；
（2）利用二重积分化二次积分求极限； （3）利用二重积分的中值定理求极限；
（4）交换积分次序，变量替换后用洛必达法则求解； （5）利用二重积分的对区域可加性求极限。

8．变限二重积分的求导及含二重积分方程的求解 解题思路
（1）变限二重积分的求导一般用变量替换法和累次积分法或分部积分法将二重积分化为积分限函数再求导；
（2）若D 域已知，求被积函数：设方程所含二重积分为常数A ，两边再取相同D 域的二重积分，从而得关于A 的方程求解；
（3）若方程含变限二重积分，求被积函数：用变限二重积分的求导法将方程化为常微分方程求解。

9．有关二重积分等式和不等式的证明 解题思路
（1）已化为累次积分型可用交换积分次序、分部积分法和无关特性求解； （2）利用已知不等式和二重积分的无关性质求证； （3）利用函数的单调性和二重积分的符号性质求证； （4）利用柯西不等式求证；
（5）利用D 域的缩放和二重积分的估值定理求证。

第8章 无 穷 级 数
§8. 1 常数项级数
1．级数的概念
（1）数列{}n u 的各项依次相加所得的表达式称为无穷级数
121
n
n n u
u u u ∞
==++++
∑
（2）121
n
n i n i S u u u u ===++
+∑，称为级数1
n n u ∞
=∑的前n 项部分和。

（3）若lim n n S S →∞
=，则1n n u ∞
=∑收敛，且1
n n u S ∞
==∑；若n n S ∞
→lim 不存在，则1
n n u ∞
=∑发
散。

收敛原理：1n n u ∞
=∑收敛 ⇒ 0,0N ε∀>∃
>，使当n N >，对任何自然数p
有
12n n n p a a a ε+++++
<
2. 级数的性质
（1）若1
n n u A ∞
==∑，1
n n v B ∞
==∑，则()1
1
1
n n n n n n n u v u v A B αβαβαβ∞
∞
∞
===±=±=±∑∑∑
（2）加上或去掉有限项不影响级数的敛散性
（3）收敛级数加括号后仍收敛于原级数的和 （4）若∑∞
=1
n n u 收敛，则必有0lim =∞
→n n u
注意：（1）∑∞=1
n n u 与∑∞
=1
n n ku 具有相同敛散性；
（2）若∑∞=1n n u 收敛，∑∞=1
n n v 发散，则()∑∞
=±1
n n n v u 发散；
（3）若∑∞
=1
n n u ，∑∞=1
n n v 均发散，则()∑∞
=±1
n n n v u 敛散性不确定；
（4）若加括号后级数发散，则原级数发散；若加括号后级数收敛，则原级数敛散性不确定；
（5）级数收敛的必要条件常用来判别级数发散。

3. 正项级数审敛法（设∑∞
=1
n n u 与∑∞
=1
n n v 为正项级数，0n v ≠）
（1）正项级数∑∞
=1
n n u 收敛的充分必要条件是其部分和序列{}n S 有界。

（2）比较判别法：若n n u kv ≤（0k >），则1
11
1
n n n n n n
n n v u u v ∞
∞
==∞
∞
==⎧⇒⎪⎪⎨⎪⇒⎪⎩∑∑∑∑收敛收敛
发散发散
比较法的极限形式：若lim n n n
u
l v →∞=，则
00l l ≤<+∞⎧⎨
<≤+∞⎩
收敛性相同
发散性相同 注意：（1）若分母，分子关于n 的最高次数分别为q p ,，则∑∞
=1n n u ⎩⎨
⎧≤->-1
1q p q p 发散
收敛
；
（2）若当∞→n 时，n n v u ~，则∑∞
=1
n n u 与∑∞
=1
n n v 具有相同敛散性；
（3）当∞→n 时，ln ,,,!,a n n n n a n n (1)a >，后者较前者趋于+∞的速度快
两个重要级数：
几何级数 ∑∞
=-⎩⎨
⎧≥<=11
1
1
n n q q aq
发散
收敛；p -级数 1111
p n p n p ∞
=>⎧=⎨≤⎩∑收敛发散
（3）比值/
根值判别法：11lim 11n n n u u l +→∞
⎧⎫<⎧⎪⎪⎪
=>⎨⎪=⎩
收敛
发散失效
（4）积分判别法：若()f x 在[)1,+∞上非负单调连续，则
1
()n f n ∞
=∑
与1
()f x dx +∞
⎰
具有相同敛散性
4. 任意项级数
（1）交错级数判别法：若()
1
11n n n u ∞
-=-∑()0n u >满足1
lim 0n n n
n u u u +→∞≥⎧⎪⎨
=⎪⎩，则 ()
1
1
1n n n u ∞
-=-∑收敛，且其和1u S ≤，其余和1+≤n n u R
常用n u 递减的判别：
1
1n n
u u +<；10n n u u +->；()n u f n =，()0f x '< （2）任意项级数判别法（n u 符号不定）
11
1
1,,n n n n n n n n u u u u ∞
∞
==∞∞
==⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∑∑∑∑若收敛，则收敛 称为绝对收敛若发散，而收敛 称为条件收敛 定理表明任意项级数的收敛问题可以转化为正项级数的问题，因此可以用正
项级数的判别法判定级数是否绝对收敛。

注意：（1）若比值/根值判别法得1
n n u ∞
=∑发散(1)l >，则1
n n u ∞
=∑必发散；
（2）绝对收敛级数的所有正项（或负项）所构成的级数一定收敛；
（3）条件收敛级数的所有正项（或负项）所构成的级数一定发散。

§8. 2 幂 级 数
1．幂级数的概念
（1）由幂函数构成的级数称为幂级数，即
∑∞
=0
n n
n x
a ，或
()
∑∞
=-0
n n
n
x x a
（2）阿贝尔定理：0
00000
0(0)n n n n
n n n n
n a x x x a x x a x x x ∞
∞
=∞
==⎧<⎪⎪≠⎨⎪>⎪⎩
∑∑∑收敛，则绝对收敛若发散，则发散
（3）收敛半径，收敛区间，收敛域
若∑∞
=0n n n x a x R x R x R ⎧<⎪
>⎨⎪=±⎩
绝对收敛发散
不确定，则(),R R R ⎧⎪-⎨⎪⎩为幂级数的收敛半径为幂级数的收敛区间含端点的收敛区间为收敛域 2．收敛半径的求法
（1）不缺项情形 若 ρ=+∞→n
n n a a 1
lim
， 则 ⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧∞==∞+≠=ρρρρ0001
R
（2）缺项情形（以∑∞
=+0
12n n n x a 为例）
()21122
1121lim lim n n n n n n n n
a x a x x a x a ρ+++++→∞→∞==
，()20,100x R ρρρρ≠<=+∞=⎨⎪=∞
⎪⎪⎩
3．幂级数在收敛区间内的性质
设0
()n
n n a x f x ∞
==∑，()11,R R x -∈；0
()n n n b x g x ∞
==∑，()22,R R x -∈
（1）()=±∑∞=0
n n
n n x b a ±
∑∞
=0
n n
n x a ()()x g x f x
b n n
n ±=∑∞
=0，()21,min R R R =
（2）
()0
1100
()()
n
n
n n
n
n n n n n n a x b x a b
a b a b x f x g x ∞
∞
∞
-====++
+=∑∑∑，
()21,min R R R =
（3）
=
∑∑∞
=∞
=0
0n n
n n n
n x
b x
a ∑∞
=0
n n n x c ()00
≠b
，()21,min R R R ≤
（4）幂级数在其收敛区间内的和函数为连续函数；若幂级数在R x -=收敛，则其和函数在[]0,R -连续；若幂级数在R x =收敛，则其和函数在[]R ,0连续。

（5）幂级数在其收敛区间内可以逐项求导或积分，且其收敛区间不变。

4．函数的幂级数展开
（1）泰勒级数 设()f x 在()0x U 内具有任意阶导数，且泰勒余项
()lim 0n n R x →∞
=，则()f x 在0x 处的幂级数为
()000
()
()()!
n n n f x f x x x n ∞
==-∑
若00=x ，则()f x 的麦可劳林级数为
()0
(0)()!
n n
n f f x x n ∞
==∑
（2）若()f x 能展开为幂级数，则其展开式唯一，即
()0000
()
()()()!
n n
n n n n f x f x a x x x x n ∞∞
===-=-∑∑
，0x x R -<
()0
(0)()!
n n
n
n n n f f x a x x n ∞∞
====∑∑
，x R < （3）常用函数的展开式
∑∞
==-0
11
n n x x ()1,1- ∑∞
==0!
n n
x
n x e ()∞+∞-,
()()120
!
121sin +∞
=∑
+-=n n n
x n x ()∞+∞-,
()()∑∞
=++-=+0
1
111ln n n n
n x x (]1,1- ()
()()
()2
111112!
!
a
n a a
a a a n x ax x x n ---++=++
++
+
()1,1-
1(21)!!1(2)!!
n
n n x n ∞
=-=+∑ ()1,1- §8. 3 典型例题解析
1．常数项级数的审敛法 解题思路
（1）利用已知不等式用比较法求解；
（2）利用无穷大与无穷小的主部原则，用比较法的极限形式求解； （3）利用比值法、根值法和积分审敛法求解。

2．常数项级数的有关命题的证明 解题思路
（1）利用数列极限的定义证明部分和数列极限存在，从而级数收敛； （2）对正项级数部分和适当缩放和拆项处理证明其部分和数列有界，从而级数收敛；
（3）利用已知条件及递推关系推出级数收敛的充分必要条件； （4）利用已知不等式和正项级数的相关审敛法证明级数的敛散性。

3．数项级数的绝对收敛与条件收敛 解题思路
（1）若lim 0n n u →∞
≠，则1
n n u ∞
=∑发散；
（2
）若1lim n n n
n u u l +→∞⎧⎫
⎪⎪⎪
⎪=⎨⎪⎪⎩，则11
11n
n n
n u
l u
∞
=∞=⎧<⇒⎪⎪
⎨⎪>⇒⎪⎩
∑∑绝对收敛
发散
；
（3）若比较法112211lim ,lim n n n n n n n n n n u u u S S ∞
∞=∞=+=→∞→∞⎧
⎪⎪
⎨⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎩⎪⎩⎩
∑∑∑收敛，则绝对收敛交错级数用莱氏法则条件收敛
发散，则存在？发散
4．函数项级数与幂级数的审敛法 解题思路
（1）求函数项级数1()n n u x ∞
=∑的收敛域，一般是对()n u x 运用比较法及其极限
形式，比值法和根值法；
（2）幂级数∑∞
=1n n n x a 收敛域的求法与函数项级数相同，其收敛半径为收敛区
间的一半；（3）利用阿贝尔定理和收敛级数的性质求幂级数的收敛域； （4）利用级数收敛的定义求幂级数的收敛域；
（5）利用数列极限准则确定lim n n a →∞
，求幂级数∑∞
=1
n n n x a 的收敛域。

5．函数的幂级数展开法
解题思路 直接展开法与间接展开法，通常采用间接展开法。

即利用初等变换，求导或积分，将函数化为基本展开式形式求解。

6． 幂级数的和函数求法 解题思路
（1）{}001111()1n n n n n n n n n n a x x x S x x a x x x ∞∞==∞∞==⎧⎫⎧⎫⎧⎫=⎪⎪⎪⎪-⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⇒⇒⇒⇒⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎩⎭⎪⎪⎪⎪-⎩⎭⎩⎭∑∑∑∑初等变换逐项求导反运算逐项积分；
（2）001111()1n n n n n n n n n n x a x x S x x x a x x ∞∞==∞∞==⎧⎫⎧⎫⎧⎫=⎪⎪⎪⎪-⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⇒⇒=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎩⎭⎪⎪⎪⎪-⎩⎭⎩⎭∑∑∑∑初等变形两边求导已知所求两边积分；
（3）由已知幂级数建立关于和函数的微分方程求解；
（4）利用幂级数下标变换求和函数；
（5）若幂级数由函数解析式给出，利用函数展开为幂级数和展开式的唯一性求解；
6． 数项级数的求和法 解题思路
（1）拆项法：把通项拆成两项差的形式；用级数和的定义求和； 拆项公式
111
(1)1n n n n =-
++，1111()abc
ab bc c a =-- （2）直接法：若通项为（或可化为）等差或等比数列的形式，用级数和的
定义求和；（3）阿贝尔法（构造幂级数法）：1
1
lim lim ()n
n n x x n n a a x S x --
∞
∞
→→====∑∑ 7．函数项级数有关命题 解题思路
（1）利用级数收敛的必要条件（1
n n u ∞
=∑收敛 ⇒ lim 0n n u →∞
=）证明极限为零；
（2）利用级数收敛的定义和级数求和的方法求无穷和式的极限；
（3）利用函数幂级数展开式的唯一性，比较系数求函数在0x =处的高阶导数；
（4）利用已知条件及递推关系，用级数收敛定义，比较法或其它审敛法证明级数收敛；
（5）利用函数幂级数展开与幂级数的求和证明等式或不等式。

第9章 微分方程初步
1. 微分方程 含有未知函数的导数或微分的方程
2. 常微分方程 未知函数为一元函数的微分方程
一般形式：()(,,,
,)0n F x y y y '=；标准形式：()(1)(,,,,)n n y f x y y y -'=
3. 微分方程的阶 未知函数的导数或微分的最高阶数
4. 微分方程的解 满足微分方程的函数。

（1）含任意常数的解称为微分方程的通解，n 阶微分方程的通解含n 个独立任意常数；（2）不含任意常数（通解中的任意常数已由初始条件求出）的解称为微分方程的特解；（3）解的图形为方程的积分曲线。

§9. 1 一阶微分方程
1. 变量可分离的微分方程
（1）()()y f x g y '= ⇒
()()
d y d x
g y f x = ⇒ ()()
d y d x
C g y f x =+⎰⎰ （2）1122()()()()0M x N y dx M x N y dy += ⇒ ()()()()1122M x N y dx dy C M x N y =-+⎰⎰
2. 齐次微分方程
（1）()y y x
ϕ'= ⇒ 令x y
u =， ⇒ ()xu u u ϕ'=-（变量可分离）
（2）可化为齐次型 111
222
(
)a x b y c y a x b y c ϕ++'=++
111222
00a x b y c a x b y c ++=⎧⎨
++=⎩ ⇒ 00x x y y =⎧⎨=⎩ ⇒ 00X x x Y y y =-⎧⎨=-⎩ ⇒ ()Y
Y X ψ'= 3.一阶线性微分方程
非齐次方程：()()y p x y q x '+=； 齐次方程：()0y p x y '+=
（1）通解公式 ()pdx pdx
y e qe dx C -⎰⎰=+⎰
（2）常数变异法：齐次通解()p x dx y Ce -⎰=，非齐次通解()()p x dx
y C x e -⎰=
将y y ',代入原方程可得 ()()()p x dx
C x q x e dx C ⎰
=+⎰
4. 伯努利方程
()()n dy
p x y q x y dx
+= (0,1)n ≠ 令1n z y -= ⇒ (1)()(1)()dz
n p x z n q x dx
+-=- 5. 全微分方程 (,)(,)0M x y dx N x y dy += （
M N
y x
∂∂=∂∂） (,)(,)du M x y dx N x y dy =+ ⇒ (,)u x y C =
00
0000(,)(,)(,)(,)(,)x y x y x y
x y M x y dx N x y dy u x y C M x y dx N x y dy ⎧⎫
+⎪⎪
==⎨⎬⎪⎪
+⎩⎭
⎰⎰⎰⎰
§9. 2 二阶微分方程
1. 高阶特型微分方程
（1）()()n y f x = 连续n 次积分可求解
（2）(,)y f x y '''= 令)(x u y ='，u y '=''，可化为一阶微分方程 （3）(,)y f y y '''= 令)(y u y ='，dy
du
u y =''，可化为一阶微分方程 2. 二阶线性微分方程解的结构
二阶线性非齐次方程 ()()()y p x y q x y f x '''++=
二阶线性齐次方程 ()()0y p x y q x y '''++=
（1）若1y ，2y 是齐次方程的两个解，则2211y C y C y +=也是齐次方程的解 （2）若1y ，2y 是齐次方程的两个线性无关解，则2211y C y C y +=是齐次方程通解
（3）若Y 是齐次方程的通解，*y 是非齐次方程的一个特解，则
*y Y y =+（非齐次通解=齐次通解+非齐次特解）
（4）若*
11
*
22
()()()()()()y p x y q x y f x y y p x y q x y f x y '''⎧++=⇒⎨'''++=⇒⎩特解特解，则 12()()()()y p x y q x y f x f x '''++=+ ⇒ 特解**
12
y y + （5）若*1y ，*2y 是非齐次方程的两个解，则*
2
*1y y -是齐次方程的解 3. 二阶常系数线性齐次方程通解的求法 二阶常系数线性齐次方程 0=+'+''qy y p y
特征方程为02=++q pr r ，判别式q p 42-=∆，则通解为
1212121212120()
()0()(cos sin )0()
r x r x rx x C e C e r r y C C x e r r e C x C x r i αββαβ⎧+∆>≠⎪
=+∆==⎨⎪+∆<=±⎩
实根重根复根 4. 二阶常系数线性非齐次方程特解的求法 二阶常系数线性非齐次方程 )(x f qy y p y =+'+'' 待定系数法：
（1）若()()n
f x P x =，设*
2()
0()0()0n n n R x y xR x x R x ⎧⎪=⎨⎪⎩
不是特征根是单特征根是重特征根
其中,()n P x ，()n R x 均为n 次多项式
（2）若()()x n f x e P x α=，设*2()()()x n x n x n e R x y xe R x x e R x αααααα⎧⎪
=⎨⎪⎩
不是特征根是单特征根是重特征根
（3）若[]()()cos ()sin x n m f x e P x x P x x αββ=+，。