湖南省炎德英才杯2020-2021学年高二数学下学期基础学科知识竞赛试题

湖南省炎德英才杯2020-2021学年高二数学下学期基础学科知识竞赛试题 时量：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.已知命题p ：∀x>0，ln(x ＋1)>0，则命题p 的否定是

A.∀x>0，ln(x ＋1)≤0

B.∀x ≤0，ln(x ＋1)>>0

C.∃x 0>0，ln(x 0＋1)>0

D.∃x 0>0，ln(x 0＋1)≤0

2.已知集合A ＝{x|－1<x<2}，B ＝{t ∈Z|t ＝2x ＋1，x ∈A}，则A ∩B ＝

A.{－1，0，1} B{－1，0} C{0，1} D.{0}

3.已知正项等比数列{a n }的公比为q ，若a 2a 6＝4a 52，则公比q ＝

A.12

B.22

C.2

D.2 4.已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，c ＝λa ＋µb ，若a ⊥c ，则下列结论正确的是

Aλ－μ＝0 B.λ＋μ＝0 C.2λ－μ＝0 D.2＋μ＝0

5.(2x 2＋1x

)5的展开式中，x 4的系数是 A160 B.80 C.50 D.10

6.已知cos(α－4

π)sin(34π－α)＝3，α∈(3,24ππ)，则sin2α＝ A.2313- B.2313- C.313- D.313

+ 7.唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(如图2).当这种酒杯内壁表面积(假设内壁表面光滑，表面积为S 平方厘米，半球的半径为R 厘米)固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R 的取值范围为

A.(0，＋∞) 8.巳知实数a ，b 满足ab>0，则2a a a b a b

-++的最大值为

A.2

B.2

C.3－

D.3＋

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线A 的焦点F 位于x 轴上，且双曲线A 与双曲线B ：2

213

x y -=有相同渐近线，则下列结论正确的是

A 双曲线A 与双曲线

B 的离心率相等

B 双曲线A 与双曲线B 的焦距相等

C.若双曲线A 的焦点F 到渐近线距离为2，则双曲线A 的标准方程为22

162

x y -= D.若双曲线A 的焦点F 到渐近线距离为2，则双曲线A 的标准方程为22

1124

x y -= 10.2019年国际数学奥林匹克竞赛(IMO)中国队王者归来，6名队员全部摘金，总成绩荣获世界第一，数学奥林匹克协会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往机场接参赛选手。某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案。方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车。记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P 1，P 2，则下列结论正确的是

A.P 1<P 2

B.P 1＝P 2

C.2P 1＝3P 2

D.P 1＋P 2＝56

11.如图所示，已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是线段AB 、AD 、AA 1的中点，点P 、Q 分别在线段A 1B 1、A 1D 1上，且A 1P ＝A 1Q ＝x(0<x<1)。设平面MEF ∩平面MPQ ＝l ，则下列结论正确的是

A.l//平面ABCD

B.l⊥AC

C.直线l与平面BCC1B1不垂直

D.当x变化时，l不是定直线

12.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)满足f(x0)＝f(x0＋1)＝－1

2

，且f(x)在(x0，x0＋1)

上有最小值，无最大值。则下述四个结论正确的是

Af(x0＋1

2

)＝－1 B.若x0＝0，则f(x)＝sin(2πx－

6

π

)

C.f(x)的最小正周期为3

D.f(x)在(0，2019)上的零点个数最少为1345个

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知i是虚数单位，复数z＝a＋i(a∈R)，且满足z＝13i

z1

-

+

，则|z|＝。

14.已知函数f(x)＝x1

x1

+

+

，则f(x2－2x)<f(2－x)的解集是。

15.已知抛物线Γ：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为直线l，点A与F在准线l的两侧，且

AF⊥l，|AF|＝2p，B(3

2

p

，y0)是抛物线Γ上的一点，BC垂直l于点C，AB分别交l，CF于点

D，E，则|BC|＝；若|EF|＝λ|DF|，则λ的值为。

16.巳知函数f(x)＝1

3

x3－ax2＋ax＋1(a≤1)在不同的两点P1(t1，f(t1))，P2(t2，f(t2))处的

切线的斜率相等，若不等式f(t1＋t2)＋m≥0(m∈R)恒成立，则实数m的取值范围是。

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分10分)

在①3a2＋b2＋b4＝0，②a4＝b4，③S3＝－27这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答问题。设等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}的前n项和为T n，，a5＝b1，4T n ＝3b n－1(n∈N*)，是否存在实数λ，对任意n∈N*都有λ≤S n?若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由。(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)

18.(本小题满分12分)