专题10 双曲线及其性质-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅲ专版)(原卷版)

【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C：
22
42
x y
-=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近
线上，O为坐标原点，若=
PO PF，则△PFO的面积为
A
．
4
B
．
2
C
．D
．
【答案】A
【解析】由2,,
a b c
==
=,
2
P
PO PF x
=∴=
Q，
又P在C的一条渐近线上，不妨设为在
b
y x
a
=
上，则
222
P P
b
y x
a
=⋅==，
11
224
PFO P
S OF y
∴=⋅==
△
，故选A．
【名师点睛】忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．
【母题原题2】【2018年高考全国Ⅲ卷理数】设
12
F F
，是双曲线
22
22
1
x y
C
a b
-=
：（00
a b
>>
，）的左，右焦点，O是坐标原点．过2F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P
．若
1
PF=，则C的离心率为
A
B．
2
专题10 双曲线及其性质
C
D
【答案】B
【解析】由题可知22,PF b OF c ==，∴||PO a =， 在2Rt POF △中，222cos PF b
PF O OF c
∠=
=， ∵在12PF F △中，2
2
2
2121
2212
cos 2PF F F PF b F PF F P O F c
+-∠=
=
，
∴
)
2
22224322b c b
c a b c
c
+-
=
⇒=⋅
，∴e =，故选C ． 【名师点睛】本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题．
【命题意图】高考对双曲线内容的考查以基础知识为主，重点考查双曲线的几何性质、方程思想及运算能力．2019年高考题考查了以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．
【命题规律】主要考查双曲线的定义、标准方程和几何性质，其中离心率和渐近线问题是高考考查的重点，以选择题和填空题为主，分值5分，难度中等． 【答题模板】
1．求双曲线的离心率的值或范围一般考虑如下三步：
第一步：将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式； 第二步：利用222b c a +=和c
e a
=
转化为关于e 的方程或不等式； 第三步：通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围． 2．其他问题：
（1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b ．
（2）若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min =a+c ，|PF 2|min =c –a ．
（3）同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2
2b a
；
异支的弦中最短的为实轴，
其长为2a ．
（4）若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则12PF F S △=
2
tan 2
b θ
，
其中θ为∠F 1PF 2．
（5）若P 是双曲线22x a
2
2y b -=1(a>0，b>0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的
左、右焦点，I 为△PF 1F 2内切圆的圆心，则圆心I 的横坐标为定值a ． 【方法总结】
1．双曲线定义的应用策略
（1）根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线．
（2）利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题． （3）利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：
①距离之差的绝对值；②2a <|F 1F 2|；③焦点所在坐标轴的位置． 2．求双曲线的标准方程的方法 （1）定义法
根据双曲线的定义确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常用的关系有： ①c 2=a 2+b 2；
②双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a ．
求轨迹方程时，满足条件：|PF 1|–|PF 2|=2a （0<2a <|F 1F 2|）的双曲线为双曲线的一支，应注意合理取舍． （2）待定系数法 一般步骤为
①判断：根据已知条件，确定双曲线的焦点是在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能； ②设：根据①中的判断结果，设出所需的未知数或者标准方程； ③列：根据题意，列出关于a ，b ，c 的方程或者方程组； ④解：求解得到方程． 常见设法有
①与双曲线22x a –22y b =1共渐近线的双曲线方程可设为22x a –2
2y b
=λ（λ≠0）；
②若双曲线的渐近线方程为y =±b
a x ，则双曲线方程可设为22x a –22y
b =λ（λ≠0）；
③若双曲线过两个已知点，则双曲线方程可设为2x m +2
y n
=1（mn <0）；
④与双曲线22x a –22y b =1共焦点的双曲线方程可设为22x a k -–2
2y b k
+=1（–b 2<k <a 2）；
⑤与椭圆22x a +22y b =1（a >b >0）有共同焦点的双曲线方程可设为22x a λ-+2
2y b λ
-=1（b 2<λ<a 2）．
注意：当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：
一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是如果已知中心在原点，但不能确定焦点的具体位置，可以设双曲线的方程为mx 2+ny 2=1（mn <0）． 3．求双曲线离心率的值
（1）直接求出c a ,，求解e ：已知标准方程或a ，c 易求时，可利用离心率公式e ＝
c
a
求解； （2）变用公式，整体求e ：如利用e
，e
； 4．双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，二者之间可以互求．已知渐近线方程时，可得
b a
的值，于是e 2＝
22c a ＝222a b a +＝1＋2
()b a ，因此可求出离心率e 的值；而已知离心率的值，也可求出渐近线的方程，即b a
个解．
1．【广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】已知双曲线
222:1(0)3
x y C a a -=>的一个焦点为（2，0），则双曲线C 的渐近线方程为
A ．y x =± B
．y = C
．y =
D ．2y x =±
2．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的
左、右焦点为1F 、2F ，双曲线上的点P 满足121243PF PF F F +≥u u u v u u u u v u u u u v
恒成立，则双曲线的离心率的取值
范围是
A ．312e <≤
B ．32e ≥
C ．4
13
e <≤
D ．4
3
e ≥
3．【四川省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测考试数学】已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的
左、右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，过点2F 作x 轴的垂线，与双曲线的渐近线在第一象限的交点为P ，
线段2PF 的中点M ，则此双曲线的渐近线方程为 A ．2y x =± B ．1
2y x =±
C ．4y x =±
D ．1
4
y x =±
4．【四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试数学】已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线方程为340x y +=，则该双曲线的离心率是
A ．
53 B ．54
C ．43或53
D ．
53或54
5．【四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试数学】已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的左，右
焦点分别为12,F F ，抛物线()2
20=>y px p 与双曲线C 有相同的焦点．设P 为抛物线与双曲线C 的一
个交点，且12sin 7
PF F ∠=，则双曲线C 的离心率为
A B 或3
C ．2
D ．2或3
6．【四川省成都七中2019届高三5月高考模拟测试数学】已知双曲线1C ：22
142
-=x y ，双曲线2C 的焦
点在y 轴上，它的渐近线与双曲线1C 相同，则双曲线2C 的离心率为
A ．3
B ．2
C D ．1
7．【四川省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测数学】已知双曲线的左、右焦点分别为()1,0F c -，
()2,0F c ，过点2F 作x 轴的垂线，与双曲线的渐近线在第一象限内的交点为P ，线段2PF 的中点M 到
，则双曲线的渐近线方程为 A ．2y x =± B ．1
2y x =±
C ．4y x =±
D ．1
4
y x =±
8．【四川省雅安市2019届高三第三次诊断考试数学】双曲线2
212
x y -=的离心率为
A B
C
D ．
2
9．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线方程
为3
4
y x =，则该双曲线的离心率为 A ．
43 B ．
53
C ．54
D ．2
10．【四川省双流中学2019届高三第一次模拟考试数学】已知M 为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的
右支上一点，,A F 分别为双曲线C 的左顶点和右焦点，线段FA 的垂直平分线过点M ，60MFA ∠=︒，则双曲线C 的离心率为
A B ．2 C ．3
D ．4
11．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学】已知双曲线22
213
x y a -=的左右焦点分别为12,F F ，
以它的一个焦点为圆心，半径为a 的圆恰好与双曲线的两条渐近线分别切于,A B 两点，则四边形
12F AF B 的面积为
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
12．【四川省成都市外国语学校2019届高三一诊模拟考试数学】过双曲线C ：22
221x y a b
-=的右顶点作x 轴
的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A ．若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点（O 为坐标原点），则双曲线C 的方程为
A ．22
1124x y -=
B ．22
179x y -=
C ．22
188
x y -=
D ．22
1412
x y -=
13．【四川省成都市2019届高三毕业班第二次诊断性检测数学】已知双曲线()2
2
2:10y C x b b
-=>的焦距为
4，则双曲线C 的渐近线方程为
A ．y =
B ．2y x =±
C ．3y x =±
D ．y =
14．【四川省2019届高三联合诊断数学】已知双曲线()22
2:103
x y C a a -=>的右焦点为F ，则点F 到C
的渐近线的距离为
A ．3 B
C ．a
D
15．【四川省广安、眉山、内江、遂宁2019届高三第一次诊断性考试数学】若双曲线2
21x y m
-=的一条渐
近线为20x y -=，则实数m = A ．2 B ．4 C ．6
D ．8
16．【四川省高2019届高三第一次诊断性测试数学】中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近
线与圆()2
221x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是
A ．2
B ．2
C 2
D ．
3或
2
17．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第十一模（最后一卷）数学】设12,F F 是双曲线
2222
1(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，若1290F PF ︒
∠=，c =2，213PF F S =△，则双曲线的两条渐近线的夹角为
A ．5π
B ．
4π C ．π6
D ．π3
18．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】已知抛物线2y =的焦
点为双曲线2
221(0)x y a a
-=>的一个焦点，那么双曲线的渐近线方程是
A ．3
y x =±
B ．y =
C ．2
y x =±
D ．y =
19．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】已知A 为双曲线
22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右顶点，P 为双曲线右支上一点，若点P 关于双曲线中心O 的对称点Q 满足AP k ⨯1
4
AQ k =，则双曲线的离心率为
A 1 B
C D 1
20．【云南省昆明市2019届高三高考模拟（第四次统测）数学】已知双曲线C 的一个焦点坐标为0)，
渐近线方程为y x =，则C 的方程是 A ．2
2
12
y x -=
B ．2
212
x y -=
C ．2
212y x -=
D ．2
2
12
x y -=
21．【云南省2019届高三第一次毕业生复习统一检测数学】双曲线M 的焦点是1F ，2F ，若双曲线M 上
存在点P ，使12PF F △是有一个内角为23
π
的等腰三角形，则M 的离心率是
A 1
B 1
C D ．
1
2
22．【西藏山南市第二高级中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学】已知椭圆22
221x y a b
+=左右焦点分
别为12,F F ，双曲线22
221x y m n
-=的一条渐近线交椭圆于点P ，且满足12PF PF ⊥，已知椭圆的离心率
为13
4
e =
，则双曲线的离心率2e =
A
B
C ．
4
D ．
2
23．【广西柳州市2019届高三毕业班1月模拟考试高三数学】已知双曲线()22
22100x y C a b a b
-=>>：，的
离心率为2，左焦点为1F ，点()
0Q （c 为半焦距）．P 是双曲线C 的右支上的动点，且1PF PQ +的最小值为6．则双曲线C 的方程为___________．
24．【西藏拉萨市2019届高三第三次模拟考试数学】已知双曲线C ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右
焦点为1F 、2F ，过1F 的直线l 与C 的一条渐近线在第一象限相交于A 点，若21AF AF ，则该双曲线的离心率为___________．。