人教A版高中数学选修2-1课件高二：3-1-1空间向量及其线性运算

4．理解空间向量的正交分解及其坐标的表示，掌握空间 向量的坐标运算及数量积的坐标表示，会判断两个向量平行或 垂直；掌握两个向量的夹角公式和向量长度的坐标计算公式， 并会用这些公式解决有关问题．
5．理解平面的法向量，能用向量语言表述线线、线面、 面面的垂直、平行关系．
6．能用向量方法证明有关线、面位置关系，能够用向量 方法解决线线、线面、面面的夹角及其长度问题．
向量那样，从某点
O
出
发
，
逐
一
引
向
量
→ OA1
＝
a1
，
→ A1A2
＝
a2，……An－1An＝an，于是以所得折线 OA1A2……的起点 O 为
起点，终点 An 为终点的向量O→An，就是 a1，a2，……，an 的和，
即
O→An＝O→A1＋A→1A2＋……An－1An＝a1＋a2＋……＋an. 用折线作向量的和时，有可能折线的终点恰恰重合到起点 上，这时的和向量就为零向量． 2．向量减法满足三角形法则：“同始连终、指向被减”． 即以同一点 O 作始点，作O→A＝a，O→B＝b，连结终点 A，B， 则A→B＝b－a，B→A＝a－b.
[答案] B
[分析] 给出的命题都是对向量的有关概念及加减法的理 解，解答本题应紧扣向量及其加减运算的有关概念进行．
[解析] |a|＝|b|，说明 a 与 b 模相等，但方向不确定，由 a 的相反向量 b＝－a，故|a|＝|b|，从而 B 正确．只定义加法具有 结合律，减法不具有结合律，一般的四边形不具有A→B＋A→D＝ A→C，只有平行四边形才能成立．故 A、C、D 均不正确．
[解析] B→C1＝B→C＋B→B1＝A→A1＋A→D＝b＋c， A→C1＝A→C＋C→C1＝A→B＋A→D＋C→C1＝a＋b＋c， B→D1＝A→D1－A→B＝A→D＋A→A1－A→B＝b＋c－a， C→O＝C→C1＋C→1O＝A→A1＋12C→1A1 ＝A→A1＋12(C→1D1＋C→1B1) ＝A→A1＋12(－A→B－A→D)＝c－12a－12b.
空间任意两个向量都可以(通过平移)转化为共面向量，两 个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．
设O→A＝a，A→B＝b，则O→B＝a＋b.此法则称为向量的加法法 则．
空间向量加法适用平行四边形法则和三角形法则(多边形
法则)，多边形法则的规则是“首尾相接，首指向尾”．
即有限多个空间向量 a1，a2，……an 相加，也可以象平面
[点评] (1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方 向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的 必要不充分条件．
(2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法满足的运 算法则及运算律是解决好这类问题的关键．
判断下列命题的真假． (1)空间向量就是空间中的一条有向线段； (2)不相等的两个空间向量的模必不相等； (3)两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； (4)向量B→A与向量A→B的长度相等．
设 λ、μ 是实数，则有 ①分配律：λ(a＋b)＝ λa＋λb ②结合律：λ(μa)＝ (λμ)a .
重点难点展示
重点：空间向量的概念及其运算． 难点：空间向量及其线性运算的几何表示．
学习要点点拨
1．空间向量的加法、减法的意义及运算律与平面向量类 似，这些运算不但适合中学里的代数运算律，而且有很多性质 与实数性质完全相同．
四、贵转化 学习探究活动中，要狠抓文字语言与符号语言(解题语言) 的转化，图形语言与符号语言、数量关系的转化． 备注：本章是在学习过平面向量的基础上进行学习的，教 材第一节安排空间向量的加减运算，第二节安排空间向量的数 乘和共线向量、共面向量，不如第一节集中学习向量的线性运 算，第二节集中研究共线向量、共面向量及其应用更好，这样 调节后更有利于在第一节集中突破用已知向量表示未知向量．
命题方向 空间向量的数乘运算 [例 3] 在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，O 为底面 A1B1C1D1 的中心，设A→A1＝c，A→B＝a，A→D＝b，用 a、b、c 表示下列向量： B→C1、A→C1、B→D1、C→O.
[分析] 用 a、b、c 表示待求向量，应充分利用长方体的 特殊性和向量的“自由”移动性求解．
2．单位向量，即长度为 1 的向量，a＝(x，y)是单位向量， 则|a|＝ x2＋y2＝1，a＝(x，y，z)是单位向量，则|a|＝ x2＋y2＋z2 ＝1.
3．(1)向量共线与点共线的区别与联系． (2)向量平行与直线平行的区别与联系． (3)向量共面与点线共面的区别与联系． 只有深入地理解了这些概念，弄清了它们之间的关系，才 能熟练地用这些知识来解决实际问题．
[点评] 化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三 角形法则进行化简，在化简过程中遇到减法时可灵活应用相反 向量转化成加法，也可按减法法则进行运算，加减法之间可相 互转化．
如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，化简式子：D→A－D→B ＋B→1C－B→1B＋A→1B1－A→1B，并在图中标出化简结果的向量．
空白演示
成才之路·数学
人教A版 ·选修2-1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章
空间向量与立体几何
本章概述
●课程目标 1．了解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和 数乘向量运算的性质，会运用上述知识熟练地进行空间向量的 运算． 2．理解共线向量、直线的方向向量、共面向量，会用所 学知识解决立体几何中有关的简单问题． 3．掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量 的数量积的概念、性质及运算律，会用它解决立体几何中的简 单问题．
4．注意数量积运算与实数运算的区别，例如 对于实数 a、b、c，有①若 ab＝ac (a≠0)，则 b＝c. ②(ab)c＝a(bc)． 对于向量 a、b、c，①若 a·b＝a·c (a≠0) ⇒/ b＝c，只能 得出 a⊥(b－c)． ②(a·b)·c≠a·(b·c)．
5．夹角问题 (1)两直线的“夹角”与这两直线的方向向量的“夹角” 的区别与联系． (2)线面角和这条直线的方向向量与平面的法向量夹角的 区别与联系． (3)二面角与这两个平面的法向量的夹角的区别与联系
(1)a⊥b，a∥b，是用向量研究立体几何中线线、线面、面 面平行与垂直的基本工具，直线的方向向量、平面的法向量是 关键．
(2)cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|是计算空间各种角的基础，但应注意 两异面直线夹角同〈a，b〉的区别与联系．
二、重联系 利用向量方法解决立体几何问题最主要的环节是将立体 几何的数量关系与位置关系，用向量来加以表述，建立它们之 间的联系．要对线线、线面、面面的垂直与平行如何用向量的 平行与垂直来表达，距离、夹角如何用向量的模、夹角来表达， 深入探究，弄清原理，并对运算结果作出几何解释．
(4) 方向相同且模相等 的向量称为相等向量．与向量 a 长度相等方向相反 的向量称为 a 的相反向量，记为 －a .
2．空间向量的线性运算 空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运 算一样． (1)加法满足平行四边形法则，加法和减法满足三角形法 则，加法的交换律、结合律都成立． (2)实数 λ 与向量 a 的乘积 λa 是一个向量，λ > 0 时，λa 与 a 方向相同，λ < 0 时，λa 与 a 方向相反，λ ＝ 0 时， λa＝ 0 ，其方向是任意的，|λa|＝ |λ|·|a| .
建模应用引路 命题方向 空间向量的加减运算
[例 2] 如图，已知长方体 ABCD—A′B′C′D′，化 简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．
(1)AA→′－C→B； (2)AA→′＋A→B ＋B′→C′.
[分析]
(1) 分析题意 → 将C→B等价转化为D→A
→ D→A转化为－A→D → 平行四边形法则 → 得出结论
1．空间向量的概念及表示
(1)与平面向量一样，我们把空间中具有 大小 和 方向 的量
叫做空间向量，向量的 大小叫做向量的长度或模．
(2)与平面向量一样，空间向量也用 有向线段 表示．起点是
A，终点是 B 的向量 a 也可以记作
→ AB
.其模记作
|a|或|A→B|
.
(3) 长度为 0 的向量叫做零向量，记为 0；模为 1 的 向量叫做单位向量．
三、抓特殊 学习探究过程中，要注意抓住其中的特殊现象，作深入对 比分析，以求对概念原理深入透彻的理解与掌握． 例如下面这些都是以后学习探究中要遇到的一些特殊情 形 1．零向量 0 是特殊的向量，对任意空间向量 a，0∥a，0 没有确定的方向，其它向量都有惟一确定的方向．如证 A、B 两点重合即证A→B＝0，a·b＝0⇒/ a＝0 或 b＝0.
[点评] 用已知向量表示未知向量是一项重要的基本功， 直接关系到本章学习的成败，应认真体会，并通过训练掌握向 量线性运算法则和运算律.
探索延拓创新 命题方向 综合应用 [例 4] 底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体．已知 平行六面体 ABCD－A′B′C′D′.
第三章
3．1 空间向量及其运算
第三章
第 1 课时 空间向量及规律总结
课堂巩固训练 课后强化作业
课程目标解读
1．经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空 间向量的概念．
2．掌握空间向量的加法、减法、数乘运算． 3．掌握空间向量的性质．
课前自主预习
[解析] 如图，∵D→A－D→B＝D→A＋B→D＝B→A，B→1C＋A→1B1－ A→1B＝B→1C＋B→B1＝B→C，B→A＋B→C＝B→D，B→D－B→1B＝B→D＋B→B1＝ B→D1，
∴原式＝(D→A－D→B)＋(B→1C＋A→1B1－A→1B)－B→1B ＝B→A＋B→C－B→1B＝B→D1.
也可以由向量的加法来定义：减去一个向量就等于加上这 个向量的相反向量．由此可以推出向量等式的移项方法，即将 其中任意一项变号后，从等式一端移到另一端．
课堂典例讲练
思路方法技巧 命题方向 空间向量的概念辨析 [例 1] 下列说法中正确的是( ) A．若|a|＝|b|，则 a、b 的长度相同，方向相同或相反 B．若向量 a 是向量 b 的相反向量，则|a|＝|b| C．空间向量的减法满足结合律 D．在四边形 ABCD 中，一定有A→B＋A→D＝A→C
在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F 分别为棱 BC，A1B1 的中点，设D→A＝a，D→C＝b，D→D1＝c，用 a、b、c 表示向量B→1E， → CF.
[解析] B→1E＝B→1B＋B→E＝B→1B＋12B→C ＝－D→D1－12D→A＝－c－12a； C→F＝C→C1＋C→1F＝C→C1＋C→1B1＋12B→1A1 ＝D→D1＋D→A－12D→C＝c＋a－12b.
[解析] (1)假命题，有向线段只是空间向量的一种表示形 式，但不能把二者完全等同起来．
(2)假命题，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要 它们的方向不相同即可．
(3)假命题，当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两 个向量必相等，但两个向量相等却不一定有相同的起点和终 点．
(4)真命题，B→A与A→B仅是方向相反，它们的长度是相等的．
(2) 应用平行四边形法则先求AA→′＋A→B →
应用三角形法则求A→B′＋B′→C′ → 得出结论
[解析]
(1)AA→′－C→B＝AA→′－D→A＝AA→′＋A→D＝A→A′＋A′→D′ ＝AD→′.
(2)AA→′＋A→B＋B′→C′ ＝(A→A′＋A→B)＋B′→C′ ＝AB→′＋B′→C′＝AC′. 向量AD→′、AC→′如图所示．
7．经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，在运用 空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题中，体会向量方 法在研究几何图形的作用，进一步发展空间想象能力和几何直 观能力．
●学法探究 一、作类比 1．空间向量概念、坐标表示及运算与平面向量类似，向 量加法的平行四边形法则、三角形法则仍然成立． 共线向量定理、数量积及其运算都是平面向量在空间的推 广，空间向量基本定理，是由二维到三维的推广． 2．可类比用平面向量解决平面几何问题探究如何用空间 向量解决立体几何问题．