(文末附答案)(Word版含答案)高中数学集合与常用逻辑用语知识点总结全面整理

(每日一练)(文末附答案)（Word版含答案）高中数学集合与常用逻辑用语知
识点总结全面整理
单选题
1、集合A={−1,0,1,2,3}，B={0,2,4}，则图中阴影部分所表示的集合为（）
A．{0,2}B．{−1,1,3,4}
C．{−1,0,2,4}D．{−1,0,1,2,3,4}
答案：B
分析：求∁(A∪B)(A∩B)得解.
解：图中阴影部分所表示的集合为∁(A∪B)(A∩B)={−1,1,3,4}.
故选：B
2、已知集合A={x|1
x
>1}，则∁R A=（）
A．{x|x<1}B．{x|x≤0或x≥1}
C．{x|x<0}∪{x|x>1}D．{x|1≤x}
答案：B
分析：先解不等式，求出集合A，再求出集合A的补集
由1
x >1，得1−x
x
>0，x(1−x)>0，解得0<x<1，
所以A={x|0<x<1}，
所以∁R A={x|x≤0或x≥1}
故选：B
3、设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},B={2,3,4}，则A∩(∁U B)=（）
A．{3}B．{1,6}C．{5,6}D．{1,3}
答案：B
分析：根据交集、补集的定义可求A∩(∁U B).
由题设可得∁U B={1,5,6}，故A∩(∁U B)={1,6}，
故选：B.
4、设集合A={1,2},B={2,4,6}，则A∪B=（）
A．{2}B．{1,2}C．{2,4,6}D．{1,2,4,6}
答案：D
分析：利用并集的定义可得正确的选项.
A∪B={1,2,4,6}，
故选：D.
5、若集合A={1,m2}，集合B={2,4}，若A∪B={1,2,4}，则实数m的取值集合为（）A．{−√2,√2}B．{2,√2}C．{−2,2}D．{−2,2,−√2,√2}
答案：D
分析：由题中条件可得m2=2或m2=4，解方程即可.
因为A={1,m2}，B={2,4}，A∪B={1,2,4}，
所以m2=2或m2=4，
解得m=±√2或m=±2，
所以实数m的取值集合为{−2,2,−√2,√2}.
故选：D.
6、已知集合P={x|x=2k−1,k∈N∗}和集合M={x|x=a⊕b，a∈P，b∈P}，若M⊆P，则M中的运算“⊕”是（）
A．加法B．除法C．乘法D．减法
答案：C
分析：用特殊值，根据四则运算检验．
若a=3,b=1，则a+b=4∉P，a−b=2∉P，b
a =1
3
∉P，因此排除ABD．
故选：C．
7、设集合M={x|0<x<4},N={x|1
3
≤x≤5}，则M∩N=（）
A．{x|0<x≤1
3}B．{x|1
3
≤x<4}
C．{x|4≤x<5}D．{x|0<x≤5}答案：B
分析：根据交集定义运算即可
因为M={x|0<x<4},N={x|1
3≤x≤5}，所以M∩N={x|1
3
≤x<4},
故选：B.
小提示：本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.
8、集合A={0,1,2}的非空真子集的个数为（）
A．5B．6C．7D．8
答案：B
分析：根据真子集的定义即可求解.
由题意可知，集合A的非空真子集为{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2}，共6个.
故选：B.
9、已知集合M={−1,0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N，则P的真子集共有（）
A．2个B．3个C．4个D．8个
答案：B
分析：根据交集运算得集合P，再根据集合P中的元素个数，确定其真子集个数即可.
解：∵M={−1,0,1,2,3,4},N={1,3,5}
∴P={1，3}，P的真子集是{1},{3},∅共3个.
故选：B.
10、设集合A={−1,0,1,2}，B={1,2}，C={x|x=ab,a∈A,b∈B}，则集合C中元素的个数为（）
A．5B．6C．7D．8
答案：B
分析：分别在集合A,B中取a,b，由此可求得x所有可能的取值，进而得到结果.
当a=−1，b=1时，ab=−1；当a=−1，b=2时，ab=−2；
当a=0，b=1或2时，ab=0；当a=1，b=1时，ab=1；
当a=1，b=2或a=2，b=1时，ab=2；当a=2，b=2时，ab=4；
∴C={−2,−1,0,1,2,4}，故C中元素的个数为6个.
故选：B.
多选题
11、对任意A，B⊆R，记A⊕B＝{x|x∈A∪B，x∉A∩B}，并称A⊕B为集合A，B的对称差.例如，若A＝{1，2，3}，
B＝{2，3，4}，则A⊕B＝{1，4}，下列命题中，为真命题的是（）
A．若A，B⊆R且A⊕B＝B，则A＝∅
B．若A，B⊆R且A⊕B＝∅，则A＝B
C．若A，B⊆R且A⊕B⊆A，则A⊆B
D．存在A，B⊆R，使得A⊕B＝∁R A⊕∁R B
E．存在A，B⊆R，使得A⊕B≠B⊕A
答案：ABD
解析：根据新定义判断．
根据定义A⊕B=[(∁R A)∩B]∪[A∩(∁R B)]，
A.若A⊕B=B，则∁R A∩B=B，A∩∁R B=∅，∁R A∩B=B⇒B⊆∁R A，A∩∁R B=∅⇒A⊆B，∴A=∅，A正确；
B.若A⊕B=∅，则∁R A∩B=∅，A∩∁R B=∅，A∩B=A=B，B正确；
C. 若A⊕B⊆A，则∁R A∩B=∅，A∩∁R B⊆A，则B⊆A，C错；
D.A=B时，A⊕B=∅，(∁R A)⊕(∁R B)=∅=A⊕B，D正确；
E.由定义，A⊕B=[(∁R A)∩B]∪[A∩(∁R B)]=B⊕A，E错．
故选：ABD．
小提示：本题考查新定义，解题关键是新定义的理解，把新定义转化为集合的交并补运算．
12、（多选）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是（）
<0B．所有的正方形都是矩形
A．∃x∈R，x2−x+1
4
C．∃x∈R，x2+2x+2=0D．至少有一个实数x，使x3+1=0
答案：AC
分析：AC.原命题的否定是全称量词命题,原命题的否定为真命题，所以该选项符合题意；B. 原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题. 所以该选项不符合题意；D. 原命题的否定不是真命题，所以该选项不符合题意.
A.原命题的否定为：∀x∈R，x2−x+1
4≥0，是全称量词命题；因为x2−x+1
4
=(x−1
2
)
2
≥0，所以原命题的
否定为真命题，所以该选项符合题意；
B. 原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题. 所以该选项不符合题意；
C. 原命题为存在量词命题，所以其否定为全称量词命题，对于方程x2+2x+2=0，Δ=22−8=−4<0，所以x2+2x+2>0，所以原命题为假命题，即其否定为真命题，所以该选项符合题意；.
D. 原命题的否定为：对于任意实数x，都有x3+1≠0，如x=−1时，x3+1=0，所以原命题的否定不是真命题，所以该选项不符合题意.
故选：AC
13、下列条件中，为“关于x的不等式mx2−mx+1>0对∀x∈R恒成立”的充分不必要条件的有（）
A．0≤m<4B．0<m<2
C．1<m<4D．−1<m<6
答案：BC
分析：对m讨论：m=0；m>0，Δ<0；m<0，结合二次函数的图象，解不等式可得m的取值范围，再由充要条件的定义判断即可.
因为关于x的不等式mx2−mx+1>0对∀x∈R恒成立，
当m=0时，原不等式即为1>0恒成立；
当m>0时，不等式mx2−mx+1>0对∀x∈R恒成立，
可得Δ<0，即m2−4m<0，解得：0<m<4.
当m<0时，y=mx2−mx+1的图象开口向下，原不等式不恒成立，
综上：m的取值范围为：[0,4).
所以“关于x的不等式mx2−mx+1>0对∀x∈R恒成立”的充分不必要条件的有
0<m<2或1<m<4.
故选：BC.
14、对于集合M，N，我们把属于集合M但不属于集合N的元素组成的集合叫作集合M与N的“差集”，记作M−N，即M−N={x|x∈M，且x∉N}；把集合M与N中所有不属于M∩N的元素组成的集合叫作集合M与N的“对称差集”，记作MΔN，即MΔN={x|x∈M∪N，且x∉M∩N}.下列四个选项中，正确的有（）
A．若M−N=M，则M∩N=∅B．若M−N=∅，则M=N
C．MΔN=(M∪N)−(M∩N)D．MΔN=(M−N)∪(N−M)
答案：ACD
分析：根据集合的新定义得到A正确，当M⊆N时，M−N=∅，B错误，根据定义知C正确，画出集合图形知D正确，得到答案.
若M−N=M，则M∩N=∅，A正确；
当M⊆N时，M−N=∅，B错误；
MΔN={x|x∈M∪N，且x∉M∩N}=(M∪N)−(M∩N)，C正确；
MΔN和(M−N)∪(N−M)均表示集合中阴影部分，D正确.
故选：ACD.
15、设A={a1,a2,a3},B={x|x⊆A}，则（）
A．A=B B．A∈B C．∅∈B D．A⊆B
答案：BC
分析：根据题意先用列举法表示出集合B，然后直接判断即可.
依题意集合B的元素为集合A的子集，
所以B={∅,{a1},{a2},{a3},{a1,a2},{a1,a3},{a2,a3},{a1,a2,a3}}
所以A∈B，∅∈B，
所以AD错误，BC正确.
故选：BC
16、（多选）下列命题中为真命题的是（）．
A．“x>4”是“x<5”的既不充分又不必要条件
B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件
C．“关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根”的充要条件是“Δ=b2−4ac≥0”D．若集合A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的充分而不必要条件
答案：AC
分析：从“x>4”与“x<5”互相不能推出，得到A正确；
正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，故B错误；
由一元二次方程根的判别式可知，C正确；
D选项可举出反例.
故选：AC
17、设集合M={x|a<x<3+a}，N={x|x<2或x>4}，则下列结论中正确的是（）A．若a<−1，则M⊆N B．若a>4，则M⊆N
C．若M∪N=R，则1<a<2D．若M∩N≠∅，则1<a<2
答案：ABC
解析：根据集合包含的定义即可判断AB；根据交集并集结果求出参数范围可判断CD.
对于A，若a<−1，则3+a<2，则M⊆N，故A正确；
对于B，若a>4，则显然任意x∈M，则x>4，则x∈N，故M⊆N，故B正确；
对于C，若M∪N=R，则{a<2
3+a>4，解得1<a<2，故C正确；
对于D，若M∩N=∅，则{a≥2
3+a≤4，不等式无解，则若M∩N≠∅，a∈R，故D错误.
故选：ABC.
18、下列四个命题中正确的是（）
A．∅={0}
B．由实数x，－x，|x|，√x2，−√x3
3所组成的集合最多含2个元素
C．集合{x|x2−2x+1=0}中只有一个元素
D．集合{x∈N|5
x
∈N}是有限集
答案：BCD
分析：根据集合的定义和性质逐项判断可得答案.
对于A，空集不含任何元素，集合{0}有一个元素0，所以∅={0}不正确；
对于B，由于√x2=|x|，−√x3
3=−x，且在x，－x，|x|中，当x>0时，|x|=x，当x<0时，|x|=−x，当x=0时，|x|=x=−x=0，三者中至少有两个相等，所以由集合中元素的互异性可知，该集合中最多含2个元素，故B正确；
对于C，{x|x2−2x+1=0}={1}，故该集合中只有一个元素，故C正确；
∈N}={1,5}是有限集，故D正确．
对于D，集合{x∈N|5
x
故选：BCD．
19、（多选题）已知集合A={x|x2−2x=0}，则有（）
A．∅⊆A B．−2∈A C．{0,2}⊆A D．A⊆{y|y<3}
答案：ACD
分析：先化简集合A={0,2},再对每一个选项分析判断得解.
由题得集合A={0,2}，
由于空集是任何集合的子集，故A正确：
因为A={0,2}，所以CD正确，B错误.
故选ACD.
小提示：本题主要考查集合的化简，考查集合的元素与集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
20、已知集合M={2,4}，集合M⊆N{1,2,3,4,5}，则集合N可以是（）
A．{2,4}B．{2,3,4}
C．{1,2,3,4}D．{1,2,3,4,5}
答案：ABC
分析：根据集合的包含关系，逐一检验四个选项的正误即可得正确选项.
因为集合M={2,4}，
对于A：N={2,4}满足M⊆N{1,2,3,4,5}，所以选项A符合题意；
对于B：N={2,3,4}满足M⊆N{1,2,3,4,5}，所以选项B符合题意；
对于C：N={1,2,3,4}满足M⊆N{1,2,3,4,5}，所以选项C符合题意；
对于D：N={1,2,3,4,5}不是{1,2,3,4,5}的真子集，故选项D不符合题意，
故选：ABC.
填空题
21、已知集合A={−1,3,0},B={3,m2}，若B⊆A，则实数m的值为__________.
答案：0
分析：解方程m2=0即得解.
解：因为B⊆A，所以m2=−1（舍去）或m2=0，
所以m=0.
所以答案是：0
∈Z}，用列举法表示集合A，则A=__________.
22、已知集合A={x∈Z∣3
2−x
答案：{−1,1,3,5}
分析：根据集合的描述法即可求解.
∵A={x∈Z∣3
∈Z},
2−x
∴A={−1,1,3,5}
所以答案是：{−1,1,3,5}
23、已知p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是______. 答案：(−∞,2]
分析：根据充分性和必要性，求得参数a的取值范围，即可求得结果.
因为p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分条件，
故集合(2,3)为集合(a,+∞)的真子集，故只需a≤2.
所以答案是：(−∞,2].。