圆锥曲线切线方程的五种求法

圆锥曲线切线方程的五种求法
切线对于研究圆锥曲线的性质具有十分重要的作用，中学阶段常用的求圆锥曲线的切线方程的方法主要有以下五种：一、向量法在求圆的切线时，可以利用圆心和切点的连线垂直于切线以及向量的内积运算来求。

例1.已知圆0的方程是(x-a ) 2+ (y-b ) 2=r2，求经过圆上一点M(x0, y0)的圆的切线I的方程.
解：设所求切线I上任意一点N的坐标是(x, y)
由已知得：点0的坐标是(a，b)，且M的坐标是(x0，y0)，
值得注意的是：此种方法只对于椭圆问题有效.
三、判别式法也可以利用一元二次方程根的判别式来求圆锥曲线的切线方程，这种方法也是中学阶段的常用方法之一.
例 3. 求经过点M( 2， 1 )的双曲线：x2-2y2=2 的切线I 的方程.
将它代入方程x2-2y2=2 中整理得：
( 2k2-1 )x2-4k ( 2k-1 )x+( 8k2-8k+4 ) =0，
由已知得：△ =[-4k (2k-1 ) ]2-4 (2k2-1 ) (8k2-8k+4 ) =0, 解得：k=1，故所求切线I的方程为：y=x- (2X1 -1 ), 即：x-y-1=0.
四、导数法
新教材中介绍了微积分的初步知识，我们也可把圆锥曲线的方
程看作关于x 的隐函数，利用导数求圆锥曲线的切线方程：例 4. 此处仍以上面的例 3 为例.
解：对方程：x2-2y2=2 两边都取关于x 的导数，
得：2x-4yy' =0,
•••过点M(2, 1)的双曲线x2-2y2=2的切线I的方程为：x-y-
1=0.
五、几何法
通过对椭圆、双曲线以及抛物线的几何性质的研究，我们知道：若焦点为F1、F2的椭圆或双曲线上有一点M则/F1MF2的平分线一定与圆锥曲线相切；又若焦点为F的抛物线上有一点M, 过M作准线的垂线，垂足为N,贝U FN的中点P与M的连线PM必与抛物线相切。

据此，我们也可以将圆锥曲线的切线先用几何方法做出来，然后再求出切线的方程：
例 5. 求抛物线C：y2=8x 上经过点M( 8，8)的切线I 的方程.
解：由抛物线C的方程可得其焦点F为(2, 0),准线方程为：
x=-2 ，
过点M(8, 8)作准线的垂线，设垂足为N,贝U N的坐标是( -2 , 8),
又设FN的中点为P,则P的坐标为(0, 4),。