2020年高考数学 考纲揭秘 专题8 数列 理
2020年高考理科数学《数列》题型归纳与训练及参考答案
2020年高考理科数学《数列》题型归纳与训练【题型归纳】等差数列、等比数列的基本运算题组一 等差数列基本量的计算例1 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，公差d =2，S n ＋2−S n =36，则n = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【答案】D【解析】解法一：由题知()21(1)21n S na d n n n n n n ==+-=-+，S n ＋2=(n ＋2)2，由S n ＋2−S n =36得，(n ＋2)2−n 2=4n ＋4=36，所以n =8.解法二：S n ＋2−S n =a n ＋1＋a n ＋2=2a 1＋(2n ＋1)d =2＋2(2n ＋1)=36，解得n =8.所以选D ． 【易错点】对S n ＋2−S n =36，解析为a n ＋2，发生错误。
题组二 等比数列基本量的计算例2 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若28641,2a a a a ==+，则a 6的值是________． 【答案】4【解析】设公比为q (q ≠0)，∵a 2=1，则由8642a a a =+得6422q q q =+，即4220q q --=，解得q 2=2，∴4624a a q ==.【易错点】忘了条件中的正数的等比数列. 【思维点拨】等差（比）数列基本量的计算是解决等差（比）数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第一问中，属基础题.等差(比)数列基本运算的解题思路：(1)设基本量a 1和公差d (公比q )．(2)列、解方程组：把条件转化为关于a 1和d (q )的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量．等差数列、等比数列的判定与证明题组一 等差数列的判定与证明例1设数列{a n }的各项都为正数，其前n 项和为S n ，已知对任意n ∈N *，S n 是a 2n 和a n 的等差中项． (1)证明：数列{a n }为等差数列；(2)若b n =−n ＋5，求{a n ·b n }的最大项的值并求出取最大值时n 的值． 【答案】(1)见解析；(2) 当n =2或n =3时，{a n ·b n }的最大项的值为6. 【解析】(1)由已知可得2S n =a 2n ＋a n ，且a n >0， 当n =1时，2a 1=a 21＋a 1，解得a 1=1； 当n ≥2时，有2S n −1=a 2n －1＋a n −1，所以2a n =2S n −2S n −1=a 2n −a 2n －1＋a n −a n −1，所以a 2n −a 2n －1=a n ＋a n −1，即(a n ＋a n −1)(a n −a n −1)=a n ＋a n −1，因为a n ＋a n −1>0， 所以a n −a n −1=1(n ≥2)．故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列． (2)由(1)可知a n =n ，设c n =a n ·b n ，则c n =n (−n ＋5)=−n 2＋5n =−⎝⎛⎭⎫n －522＋254， 因为n ∈N *，所以当n =2或n =3时，{a n ·b n }的最大项的值为6.【易错点】S n 是a 2n 和a n 的等差中项，无法构建一个等式去求解出a n 。
2020高考数学全国试题分类解析(数列部分)
1. （广东卷）已知数列{}n x 满足122x x =，()1212n n n x x x --=+，3,4,n =…．若lim 2n n x →∞=，则(B)（Ａ）32（Ｂ）３（Ｃ）４（Ｄ）５2. （福建卷）3．已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是（ A ）A ．15B ．30C ．31D ．643. （湖南卷）已知数列}{n a 满足)(133,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则20a =（B ） A ．0B ．3-C ．3D ．23 4. （湖南卷）已知数列{log 2(a n －1)}（n∈N *）为等差数列，且a 1＝3，a 2＝5，则nn n a a a a a a -++-+-+∞→12312lim 111(= （C ）A ．2B ．23C ．1D ．215. （湖南卷）设f 0(x )＝sinx ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2005(x )＝（C ） A ．sinxB ．－sinxC ．cos xD ．－cosx6. （江苏卷）在各项都为正数的等比数列｛a n ｝中，首项a 1=3 ，前三项和为21，则a 3+ a 4+ a 5=(C )( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )1897. (全国卷II) 如果数列{}n a 是等差数列，则(B ) (A)1845a a a a +<+ (B)1845a a a a +=+ (C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a =8. (全国卷II) 11如果128,,,a a a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则(B) (A)1845a a a a >(B)1845a a a a <(C)1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a =9. （山东卷）{}n a 是首项1a =1，公差为d =3的等差数列，如果n a =2005，则序号n 等于(C )（A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）67010. （上海）16．用n 个不同的实数a 1,a 2,┄a n 可得n!个不同的排列,每个排列为一行写成 1 2 3一个n!行的数阵.对第i 行a i1,a i2,┄a in ,记b i =- a i1+2a i2-3 a i3+┄+(-1)n na in , 1 3 2i=1,2,3, ┄,n!.用1,2,3可你数阵如右,由于此数阵中每一列各数之和都 2 1 3是12,所以,b 1+b 2+┄+b 6=-12+2⨯12-3⨯12=-24.那么,在用1,2,3,4,5形成 2 3 1 的数阵中,b 1+b 2+┄+b 120等于3 1 23 2 1[答]( C )(A)-3600 (B) 1800 (C)-1080 (D)-72011. （浙江卷）limn →∞2123nn ++++＝( C )(A) 2 (B) 4 (C)21(D)0 12. (重庆卷) 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。
(新课标)2020年高考数学 题型全归纳 数列定义在解题中的潜在功能
数列定义在解题中的潜在功能高考作为一种选拔性考试，在重视基础知识考查的同时，更加重视对应用能力的考查.作为中学数学的重点内容之一，等差（比）数列一直是高考考查时重点，特别是近几年，有关数列的高考综合题，几乎都与等差（比）数列有关.这里我们感兴趣的是等差（比）数列的定义在解题中的潜在功能，即遇到数列问题，特别是证明通项为an )1(1-+=n a d )(11-=n n q a a 或前n 项和)),1((2nn n q a S bn an S -=+=首先要证明它是等差（比）数列，必要时再进行适当转化，即将一般数列转化为等差（比）数列. 例1.设等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ）. （A ）130 （B ）170 （C ）210 （D ）260 解 若等差数列{}n a 前m 项、次m 项、又次m 项和分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3也成等差数列.事实上，2)(2)(312131m m m a a m a a m S S +++=++2)]()[31212m n m a a a a m +++=+.22)(22)22(22121S a a m a a m m m m m =+⋅=+=++所以S1，S2，S3成等差数列.因为30，70，S3m －100成等差数列，所以30+S3m －100=140，即S3m=210.故应选（C ）.例2.设｛an ｝是等差数列，n a n b )21(=，已知,821321=++b b b 81321=b b b ，求等差数列的通项公式.解 ∵｛an ｝成等差数列，∴｛bn ｝成等比数列,∴22b =b1b3.由b1b2b3=81,得b2=21. 从而有b1+b3= 817,b1b3=41.∴b1,b3是方程x2－x 817+041=两根.解得81,231==b b 或811=b ，.23=b ∴a1=－1,d=2或a1=3,d=－2.故an=a1+(n －1)d=2n －3或an=5－2n.例3.一个数列｛an ｝,当n 为奇数时, an=5n+1;当n 为偶数时,an=22n,求这个数列的前2m 项的和. 解:∵a1,a3,a5,…，a2m －1成等差数列，ma a a a 2642,,,,Λ成等比数列，∴S2m=)()(2421231m m a a a a a a +++++++-ΛΛmm m m m a a a m 2522)(212121++=⋅++=--.例4.设数列,,,,,21ΛΛn a a a 前n 项和Sn 与an 的关系是1+=n n ka S （其中k 是与n 无关的常数，且k ≠1）.（1）试写出由n,k 表示的an 的表达式；（2）若1lim =∞→n S n ，求k 的取值范围.解：（1）当n=1时，由1111+==ka S a ,得);1(111≠-=k k a当n ≥2时，由111)1()1(----=+-+=-=n n n n n n n ka ka ka ka S S a ，得11-=-k ka a n n .若k=0，则an=1(n=1)或an=0(n ≥2).若k ≠0,则｛an ｝是首项为k -11，公比为1-k k 的等比数列，所以1)1(11--⋅-=n n k k k a .（2）∵0lim ,1lim =∴=∞→∞→n a n S n n ，∴1-k k ＜1，解得k ＜21.例5.已知数列｛an ｝的前n 项和的公式是)2(122n n S n +=π.（1）求证：｛an ｝是等差数列，并求出它的首项和公差；（2）记21sin sin sin ++⋅⋅=n n n n a a a b ，求证：对任意自然数n ，都有1)1(82--=n n b .证明：（1）当n=1时，411π==S a ；当n ≥2时，=-=-1n n n S S a -+)2(122n n π)]1()1(2[122-+-n n π=)14(12-n π.∴).14(12-=n a n π =--1n na a .3]1)1(4[12)14(12πππ=----n n ∴｛an ｝是首项为4π，公差为3π的等差数列.（2）只要证明｛bn ｝是首项为82,公比为－1的等比数列.1211sin 127sin4sinsin sin sin 3211πππ⋅⋅=⋅⋅=a a a b Θ82)124cos 1218)(cos 21(22=--⋅=ππ，和1sin sin sin )sin(sin sin 1111121-=-=+==-------n n n n n n n n a a a a a a b b π∴{bn}是首项为82，公比为－1的等比数列，∴1)1(82--=n n b .例6.设{an}是正数组成的数列，其前n 项和为Sn ，并且对于所有自然数n,an 与2的等差中项等于Sn 与2的等比中项.（1）写出数列{an}的前3项；（2）求数列{an}的通项公式（写出推证过程）；（3）令))((2111N n a a a a b n nn n n ∈+=++，求).(lim 21n b b b n n -+++∞→Λ解 （1）∵.8)2(,2222+=∴=+n n n n a S S a2111)2(81+==∴a S a ，得11(2a a =＞0)；2)(8122122-+=-=a a S S a ， 解得：22(a b a =＞0)；8)2(8123233-+=-=a S S a ，解得：33(10a a =＞0). （2）当n ≥2时，)2(81)2(81121+-+=-=--n n n n n a a S S a ，即212)2()2(8+-+=-n n n a a a ，即)2()2(212=+---n n a a .0)4)((11=--+∴--n n n n a a a a . 1-+∴n n a a ＞0,41=-∴-n n a a .{an}是首项为2，公差为4的等差数列， ∴24)1(1-=⋅-+=n d n a a n .（3）)241241(21)24242424(21+--+=+-+-+=n n n n n n b n Θ，1)(lim ),24121(22121=++++-=-+++∴∞→n n n b b b n n b b b ΛΘΛ.例7.已知数列{an}满足条件：r r a a (,121==＞0），且{anan －1}是公比为q(q ＞0)的等比数列.设)1,2,1(212Λ=+=-a a a b n n n .（1）求出使不等式211---+n n n n a a a a ＞)N (32∈--n a a n n 成立的q 的取值范围；（2）求bn 和n n S 1lim∞→，其中n n b b b S Λ++=21； （3）设21,122.19=-=q r ，求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n b b 212log log 的最大项和最小项的值. 解： （1）nn rq rq+-1＞r rqn ,1+＞0，q ＞0,12--∴q q ＜0,∴0＜q ＜251+ .（2）qa a qa q a a a ab b b a a a a a a q nn n n n n n n n n n n n n n n =++=++=∴=⋅=---+++++++21221221222112121,Θ.又}{,1211n b r a a b ∴+=+=是首项为1+r ，公比为q 的等比数列，1)1(-+=∴n n q r b .=∴∞→n n S 1lim ⎪⎩⎪⎨⎧≥+-)1(,0),10(,11q q r qππ（3）2.2011])1[(log ])1[(log log log 122212-+=++=-+n q r q r b b n n n n . 记n n n b b c 212log log +=，则有20c ≤n c ≤c21.故{cn}的最大项为c21=2.25，最小项为c20=－4.例8.设An 为数列{an}前n 项的和，).N )(1(23∈-=n a A n n 数列{bn}的通项公式为).N (34∈+=n n b n（1）求数列{an}的通项公式； （2）若{}{}ΛΛΛ,,,,,,,,321321n n b b b b a a a a d ⋂∈，则称d 为数列{an}与{bn}的公共项.将数列{an}与{bn}的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列{dn}，证明数列{dn}的通项是);N (312∈=+n d n n（3）设数列{dn}中的第n 项是数列{bn}中的第r 项，Br 为数列{bn}前r 项的和，Dn 为数列{dn}前n 项的和，Tn=Br －Dn ，求.)(lim4n nn a T ∞→解: （1）当n=1时，由)1(2311-=a a ,得a1=3;当n ≥2时，由=-=-1n n n A A a )(231--n n a a ,得n a a n n(31=-≥2)∴{an}是首项为3，公比为3的等比数列，故).N (3∈=n a nn （2）证{dn}是等比数列.显然d1=a3=27,设ai=3k 是数列{bn}中的第m 项，则),(343N m k m k∈+=.1)23(4)34(333311++=+=⋅==++m m a k k k Θ;1-∴k a 不是数列{bn}中的项.而3)69(4)34(939322++=+=⋅==++m m a k k k 2+∴k a 是数列{bn}中的第m+1项.93321==++k d d k m m Θ,∴{dn}是首项为27，公比为9的等比数列.).N (39232∈=⋅=∴-n T d n n n（3）由题意，).13(43433,34321212-=-=∴+=+-nn n r r又=+=2)(1r r b b r B ,8)13(27,8)37)(13(32122-=+--n n n n D 863153924+⋅-⋅=-=∴n n n r n D B T .故89)(lim4=∞→n n n a T .。
2020高考数学《数列》
数列考试内容：数列．等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式．等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式．考试要求：（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题．§03. 数列知识要点1. ⑴等差、等比数列：⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法： ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- ②211-++=n n n a a a (2≥n ) ③b kn a n +=(k n ,为常数).⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n②112-+⋅=n n na a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a )① 注①：i. acb =，是a 、b 、c 成等比的双非条件，即ac b =、b 、c 等比数列.ii. ac b =（ac ＞0）→为a 、b 、c 等比数列的充分不必要. iii. ac b ±=→为a 、b 、c 等比数列的必要不充分. iv. ac b ±=且0φac →为a 、b 、c 等比数列的充要.注意：任意两数a 、c 不一定有等比中项，除非有ac ＞0，则等比中项一定有两个. ③n n cq a =(q c ,为非零常数).④正数列{n a }成等比的充要条件是数列{n x a log }（1φx ）成等比数列.⑷数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n s s n a s a n n n[注]： ①()()d a nd d n a a n -+=-+=111（d 可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若d 不为0，则是等差数列充分条件）. ②等差{n a }前n 项和n d a n d Bn An S n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=22122 →2d可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若d 为零，则是等差数列的充分条件；若d 不为零，则是等差数列的充分条件. ③非零．．常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列） 2. ①等差数列依次每k 项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k 2倍...,,232k k k k k S S S S S --；②若等差数列的项数为2()+∈Nn n ，则，奇偶nd S S =-1+=n n a a S S 偶奇；③若等差数列的项数为()+∈-N n n 12，则()n n a n S 1212-=-，且n a S S =-偶奇，1-=n n S S 偶奇 得到所求项数到代入12-⇒n n . 3. 常用公式：①1+2+3 …+n =()21+n n ②()()61213212222++=+++n n n n Λ③()2213213333⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++n n n Λ[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…110-=⇒n n a ； 5，55，555，…()11095-=⇒nn a . 4. 等比数列的前n 项和公式的常见应用题：⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a ，年增长率为r ，则每年的产量成等比数列，公比为r +1. 其中第n 年产量为1)1(-+n r a ，且过n 年后总产量为：.)1(1])1([)1(...)1()1(12r r a a r a r a r a a n n +-+-=+++++++-⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a 元，利息为r ，每月利息按复利计算，则每月的a 元过n 个月后便成为n r a )1(+元. 因此，第二年年初可存款：)1(...)1()1()1(101112r a r a r a r a ++++++++=)1(1])1(1)[1(12r r r a +-+-+.⑶分期付款应用题：a 为分期付款方式贷款为a 元；m 为m 个月将款全部付清；r 为年利率.()()()()()()()()1111111 (1112)1-++=⇒-+=+⇒++++++=+--m m m mm m mr r ar x r r x r a x r x r x r x r a5. 数列常见的几种形式：⑴n n n qa pa a +=++12（p 、q 为二阶常数）→用特证根方法求解.具体步骤：①写出特征方程q Px x +=2（2x 对应2+n a ，x 对应1+n a ），并设二根21,x x ②若21x x ≠可设n n n x c x c a 2211.+=，若21x x =可设n n x n c c a 121)(+=；③由初始值21,a a 确定21,c c .⑵r Pa a n n +=-1（P 、r 为常数）→用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n 转化为n n n qa Pa a +=++12的形式，再用特征根方法求n a ；④121-+=n n P c c a （公式法），21,c c 由21,a a 确定.①转化等差，等比：1)(11-=⇒-+=⇒+=+++P rx x Px Pa a x a P x a n n n n . ②选代法：=++=+=--r r Pa P r Pa a n n n )(21x P x a P r P P r a a n n n -+=---+=⇒--1111)(1)1(Λ r r P a P n n +++⋅+=--Pr 211Λ.③用特征方程求解：⇒⎭⎬⎫+=+=-+相减，r Pa a r Pa a n n n n 111+n a 1111-+--+=⇒-=-n n n n n n Pa a P a Pa Pa a ）（. ④由选代法推导结果：Pr P P r a c P c a P r a c P r c n n n -+-+=+=-+=-=--111111112121）（，，. 6. 几种常见的数列的思想方法：⑴等差数列的前n 项和为n S ，在0πd 时，有最大值. 如何确定使n S 取最大值时的n 值，有两种方法：一是求使0,01π+≥n n a a ，成立的n 值；二是由n da n d S n )2(212-+=利用二次函数的性质求n 的值.⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n 项和可依照等比数列前n 项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：, (2)1)12,...(413,211n n -⋅⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差21d d ，的最小公倍数.2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n ≥2的任意自然数,验证)(11---n nn n a a a a 为同一常数。
2020年高考数学考试大纲解读
2020年高考数学考试大纲解读2020年高考考纲做了较大修订，有三大变化，增加了中华传统文化的考核内容，完善了考核目标，调整了考试内容。
那么，数学考纲有哪些调整呢?以下是百分网小编搜索整理的关于2020年高考数学考试大纲解读，供参考复习，希望对大家有所帮助!对应这些变化，数学学科也做了相应调整：1、增加了数学文化的要求。
2、在能力要求内涵方面，增加了基础性、综合性、应用性、创新性的要求，同时对能力要求进行了加细说明，使能力要求更加明确具体。
3、在现行考试大纲三个选考模块中删去《几何证明选讲》，其余2个选考模块的内容和范围都不变，考生从《坐标系与参数方程》、《不等式选讲》2个模块中任选1个作答。
总体上，这些变化对2020年高考数学考试影响不大。
基于两个原因：一是在这次高考考纲修订基本原则“坚持整体稳定，推进改革创新;优化考试内容，着力提高质量;提前谋篇布局，体现素养导向”中，将“整体稳定”放在了首位。
2015年、2016年全国数学2卷就突出了稳中求变，约有80%的试题是稳定的，只有约20%的试题是创新的，2020年高考仍然还会沿用这种思路命制试卷。
二是近两年高考试卷已先于2020年高考考纲在命题中渗透了一些变化与创新，全国数学2卷最大的变化点是，突出了社会主义核心价值观，强调了中国传统数学文化精髓。
在数学文化方面，2016年高考全国2卷理科数学第8题、文科数学第9题涉及到了我国南宋著名数学家秦九韶提出的多项式求值的算法，2015年高考全国2卷文、理科数学的第8题涉及到了我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。
这就是说，今年考纲中所提到的新要求、新变化，在两年前的高考中就已经有所体现了，所以2020年高考对我们而言变化不会很大。
而第三项变化是选考题由“三选一”变为“二选一”，这将减轻学生的课业负担。
综上，我们可以得出结论，2020年高考命题形式会有一些变化，但整体难度变化不大。
针对上述分析，现就2020年高考备考复习提出以下建议：回归教材至少解决两件事——通过回归教材重视基础知识、基本技能和基本数学思想方法，进一步强化数学学科核心素养，聚力共性通法。
2020年高考数学(文)考纲解读与热点难点突破专题08数列及其应用(教学案)-Word版含解析.doc
【2018年高考考纲解读】 高考对本内容的考查主要有：(1)数列的概念是A 级要求，了解数列、数列的项、通项公式、前n 项和等概念，一般不会单独考查； (2)等差数列、等比数列是两种重要且特殊的数列，要求都是C 级，熟练掌握等差数列、等比数列的概念、通项公式、前n 项求和公式、性质等知识，理解其推导过程，并且能够灵活应用． (4)通过适当的代数变形后，转化为等差数列或等比数列的问题． (5)求数列的通项公式及其前n 项和的基本的几种方法． (6)数列与函数、不等式的综合问题.试题类型可能是填空题，以考查单一性知识为主，同时在解答题中经常与不等式综合考查，构成压轴题． 【重点、难点剖析】1．等差、等比数列的通项公式等差数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d ；等比数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1＝a m qn －m.2．等差、等比数列的前n 项和 (1)等差数列的前n 项和为S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －2d .特别地，当d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，且常数项为0，即可设S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)． (2)等比数列的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－q n 1－q＝a 1－a n q1－q ，q ≠1，特别地，若q ≠1，设a ＝a 11－q ，则S n ＝a －aq n.3．等差数列、等比数列常用性质(1)若序号m ＋n ＝p ＋q ，在等差数列中，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ；特别的，若序号m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p ；在等比数列中，则有a m ·a n ＝a p ·a q ；特别的，若序号m ＋n ＝2p ，则a m ·a n ＝a 2p ；(2)在等差数列{a n }中，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列，其公差为kd ；其中S n 为前n 项的和，且S n ≠0(n ∈N *)；在等比数列{a n }中，当q ≠－1或k 不为偶数时S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等比数列，其中S n 为前n 项的和(n∈N*).4．数列求和的方法归纳(1)转化法：将数列的项进行分组重组，使之转化为n个等差数列或等比数列，然后应用公式求和；(2)错位相减法：适用于{a n·b n}的前n项和，其中{a n}是等差数列，{b n}是等比数列；(3)裂项法：求{a n}的前n项和时，若能将a n拆分为a n＝b n－b n＋1，则a1＋a2＋…＋a n＝b1－b n＋1；(4)倒序相加法：一个数列倒过来与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项的和容易求出，那么这样的数列求和可采用此法．其主要用于求组合数列的和．这里易忽视因式为零的情况；(5)试值猜想法：通过对S1，S2，S3，…的计算进行归纳分析，寻求规律，猜想出S n，然后用数学归纳法给出证明．易错点：对于S n不加证明；(6)并项求和法：先将某些项放在一起先求和，然后再求S n.例如对于数列{a n}：a1＝1，a2＝3，a3＝2，a n＋2＝a n＋1－a n，可证其满足a n＋6＝a n，在求和时，依次6项求和，再求S n.5．数列的应用题(1)应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决．(2)数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利润、成本、效益的增减，解决该类题的关键是建立一个数列模型{a n}，利用该数列的通项公式、递推公式或前n项和公式.【题型示例】题型1、等差、等比数列中基本量的计算【例1】(2017·高考全国卷Ⅰ)记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{a n}的公差为( ) A．1 B．2C．4 D．8(a 4＋a 5)－(a 4＋a 3)＝8， ∴d ＝4，故选C.【2017江苏，9】等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,已知3676344S S ==,,则8a = ▲ .【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q ⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=. 【变式探究】【2016年高考北京文数】已知{}n a 错误！未找到引用源。
(精品)2020年高考数学(理科版)总复习：考点与题型全归纳_(1001页,pdf版)
2、整体稳定,覆盖面广
全面考查了新课标考试说明中各部分的内容,如复数、旋转体、推理证明、简易逻辑、排列 组合、二项式定理等教学内容,有些内容轮换考查,如统计图、线性回归、直线与圆线性规划计 数原理、二项式定理、正态分布、条件概率等。
3、全面考查新增内容.体现新课改理念
如定积分、函数的零点、三视图、算法图、直方图与茎叶图、条件概率、几何概型、全称 命题与特陈命题等。
10考点一幂函数的图象与性质104考点二比较幂值大小106第八节指数式对数式的运算110考点一指数幂的化简与求值111考点二对数式的化简与求值113第九节指数函数117考点一指数函数的图象及应用118考点二指数函数的性质及应用119第十节对数函数126考点一对数函数的图象及应用127考点二对数函数的性质及应用128第十一节函数与方程134考点一函数零点个数所在区间135考点二函数零点的应用137第十二节函数模型及其应用142考点一二次函数分段函数模型142考点二指数函数对数函数模型144第三章导数及其应用150第一节导数的概念及运算定积分150考点一导数的运算152考点二导数的几何意义及其应用153考点三定积分的运算及应用156第二节导数的简单应用164第一课时导数与函数的单调性165考点一求函数的单调区间165考点二判断含参函数的单调性166第二课时导数与函数的极值最值177考点一利用导数研究函数的极值177考点二利用导数研究函数的最值179考点三利用导数求解函数极值和最值的综合问题181第三节导数的综合应用190第一课时利用导数解不等式190考点一fx与fx共存的不等式问题190考点二不等式恒成立问题193考点三可化为不等式恒成立问题195第二课时利用导数证明不等式201考点一单变量不等式的证明201考点二双变量不等式的证明204考点三证明与数列有关的不等式205第三课时导数与函数的零点问题210考点一判断函数零点的个数210考点二由函数零点个数求参数212第四节导数压轴专项突破218第一课时分类讨论的界点确定218第3共999页考点一根据二次项系数确定分类界点218考点二根据判别式确定分类界点219考点三根据导函数零点的大小确定分类界点219考点四根据导函数零点与定义域的关系确定分类界点
2020高考数学复习数列知识点汇总
2020高考数学复习数列知识点汇总高考是人生道路上的重要转折点，会对考生的未来发展产生重要的影响作用，甚至改变命运。
想要在高考中取得好成绩，自然是要付出努力的，只有努力才能获得回报。
这里给大家分享一些2020高考高频考点知识归纳，希望对大家有所帮助。
2020高考数学复习数列知识点汇总1.高二数学数列知识点数列概念①数列是一种特殊的函数。
其特殊性主要表现在其定义域和值域上。
数列可以看作一个定义域为正整数集N或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。
②用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法;b。
图像法;c.解析法。
其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。
③函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。
点击查看：高中数学知识点总结等差数列1.等差数列通项公式an=a1+(n-1)dn=1时a1=S1n≥2时an=Sn-Sn-1an=kn+b(k，b为常数)推导过程：an=dn+a1-d令d=k，a1-d=b则得到an=kn+b2.等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。
这时，A叫做a与b的等差中项(arithmeticmean)。
有关系：A=(a+b)÷23.前n项和倒序相加法推导前n项和公式：Sn=a1+a2+a3+·····+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d]①Sn=an+an-1+an-2+······+a1=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d]②由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)(n 个)=n(a1+an)∴Sn=n(a1+an)÷2等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半：Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2)亦可得a1=2sn÷n-an=[sn-n(n-1)d÷2]÷nan=2sn÷n-a1有趣的是S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+14.等差数列性质一、任意两项am，an的关系为：an=am+(n-m)d它可以看作等差数列广义的通项公式。
专题 数列-2020年高考数学(理)二轮专项复习
n
m
n
p
q
等比数列{a }中，若 m＋n＝p＋q，则 a ·a ＝a ·a ；
n
m
n
p
q
【复习要求】
1．理解等差数列、等比数列的概念．
2．掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和公式．
3．能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相
应的问题．
4．了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系．
10
1
∴S
1 2 10 10 95 .选 C.
(∵2等)等1差0差数数列a列{a{aa}n各}中项a均4＋为a正8＝数2a，6，
n
5
∴由均值不等式
a 4
a 8
(
a 4
2
a 8
)2
a2 6
，当且仅当
a
＝a
4
时等号成立
8
aa 即： a4 a6 ，选 B．
6
8
【评析】本题中涉及到等差数列中的重要性质：若 m＋n＝p＋q，则a ＋a ＝a ＋a ，(1)
n
1
A．
(1)n1
B． (1)n
C． (1)n 3n 2
2．若数列的前四项是 3，12，30，60，则此数列的一个通项公式是( )
A． n(n 1)(n 2) 2
B．5n2－6n＋4
C．
3
9n(n 1) 2
1ln2 7n12
D．
2
3．数列{a }中，若 a ＝1，a ＝1，a ＝a ＋a ，则 a ＝( )
【分析】本题需要观察每一项与项数之间存在的函数关系，猜想出一个通项公式．这种
通过特殊的元素得到一般的规律是解决问题的常用方法，但得到的规律不一定正确，可经过
2020年普通高等学校招生全国统一考试新高考数学(带答案)教学提纲
2020年普通高等学校招生全国统一考试新高考数学(带答案)2020年普通高等学校招生全国统一考试新高考理科数学（模拟试题卷）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．若512z i=+,则z 的共轭复数为（ ） A ．12i - B ．12i + C ．12i -- D ．12i -+2．集合{|}310A x x ≤≤＝，27{|}B x x =<<，A B I =（ ） A ．{|210}x x <… B ．{|210}x x << C ．{|37}x x <… D ．{|37}x x 剟3．已知向量,a b r r ，满足2,2,1a b a b ==⋅=r r r r ，则向量a r 与b r的夹角的余弦值为（ ）A ．2B ．2 C ．23D ．2 4．，则a,b,c 的大小关系为（ ）A ．a >b >cB ．c >a >bC ．b >a >cD ．b >c >a5．已知直线3y kx =+和圆226450x y x y +--+=相交于,M N 两点，若23MN =,则k 的值为A ．122或B ．122--或 C ．122或-D ．122-或6．设函数()cos23sin2f x x x =-，把()y f x =的图象向左平移()2πϕϕ<个单位后，得到的部分图象如图所示，则()f ϕ的值等于（ ）A ．3-B ．3C ．1-D ．17．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是由长方形及其一条对角线组成，长方形的宽为3,俯视图为等腰直三角形，直角边长为4,则该多面体的体积是（）A．8B．12C．16D．248．过抛物线：的焦点F作倾斜角为的直线，若直线与抛物线在第一象限的交点为A，并且点A也在双曲线：的一条渐近线上，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年高考数学(理)抢分秘籍08 数列(解析版)
秘籍08 数列1．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1a 6=2a 3，a 4与2a 6的等差中项为32，则S 5=（ ）A ．36B ．33C ．32D ．31【答案】D【解答】：设正项等比数列{a n }的公比为q ＞0，∵a 1a 6=2a 3，a 4与2a 6的等差中项为32，∴a 12q 5=2a 1q 2，a 4+2a 6=3，即a 1(q 3+2q 5)=3，解得a 1=16，q=12．则S 5=16[1−(12)5]1−12=31．故选：D ．【名师点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 2．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ，若a 2+a 3+a 10=9，则S 9=（ ） A ．27 B ．18C ．9D ．3【答案】A【解答】：设公差为d ，则3a 1+12d=9， ∴a 1+4d=a 5=3 ∴S 9=9a 5=27， 故选：A ．【名师点睛】利用等差数列中项的下标和的性质解题可简化运算，此性质常与等差数列的前n 项和公式结合在一起考查，解题时注意整体思想的运用，属于基础题． 3．在等差数列{a n }中，若a 3+a 11=18，S 3=﹣3，那么a 5等于（ ）A ．4B ．5C ．9D ．18【答案】B【解答】：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3+a 11=18，S 3=﹣3，∴2a 1+12d=18，3a 1+3×22d=﹣3，解得a 1=﹣3，d=2． ∴那么a 5=﹣3+8=5． 故选：B ．【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，属于中档题.利用等差数列通项公式，列出关于首项1a 、公差d 的方程组，解方程组可得1a 与d 的值，从而可得数列{}n a 的通项公式，进而可得结果.等差、等比数列基本量的计算是解等差、等比数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第（1）问中，属基础题.1．等差数列运算问题的一般求法是设出首项1a 和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．2．等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量1a ，n a ，d ，n ，n S ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．3．等比数列由首项1a 与公比q 确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕1a 与q 进行．4．对于等比数列问题，一般给出两个条件，就可以通过解方程(组)求出1a 与q ，对于1,,,,n n a a q n S 五个基本量，如果再给出第三个条件就可以“知三求二”．4．各项都是正数的等比数列{}n a 的公比1q ≠，且2a ，312a ，1a 成等差数列，则4523a a a a ++的值为 A 15+ B 35+C ．51- D ．35-或35+ 【答案】B【解析】由题意得23211111152,,.22a a a a q a q a q +⨯=+∴=+∴= 所以4523a a a a ++=222232335.2a q a q q a a ++==+故答案为B.【名师点睛】（1）本题主要考查等差中项和等比数列的通项，意在考查学生对等差数列、等比数列的基础知识的掌握能力和基本运算能力.（2）计算4523a a aa ++时，注意观察下标之间的关系，由于4比2大2,5比3大2，所以4523a a a a ++=222323a q a q a a ++2q =，从而可以适当优化解题.在数列计算时，注意观察数列下标之间的关系，选择恰当的性质进行计算，提高解题效率.等差、等比数列的性质是高考考查的热点之一，利用等差、等比数列的性质求解可使题目减少运算量，题型以选择题或填空题为主，难度不大，属中低档题，主要考查通项公式的变形，等差、等比中项的应用及前n 项和公式的变形应用等.（1）在利用等差数列的性质解题时，要注意：若m n p q +=+，则q p n m a a a a +=+(,)m n,p,q ∈*N ，只有当序号之和相等、项数相同时才成立．（2）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．5．已知数列{a n }是等差数列，且lga 1=0，lga 4=1． （1）求数列{a n }的通项公式（2）若a 1，a k ，a 6是等比数列{b n }的前3项，求k 的值及数列{a n +b n }的前n 项和．【答案】（1）a n=3n−2．（2）k=2,S n=32n2−12n+13(4n−1)【解析】(1)数列{a n}是等差数列，设公差为d，且lga1=0，lga4=1．则：{a1=1a1+3d=10，解得：d=3，所以：a n=1+3(n−1)=3n−2．(2)若a1，a k，a6是等比数列{b n}的前3项，则：a k2=a1⋅a6，根据等差数列的通项公式得到：a k=3k−2，代入上式解得：k=2.所以a1，a2，a6是等比数列{b n}的前3项，a1=1，a2=4，所以：等比数列{b n}的公比为q=4．由等比数列的通项公式得到：b n=4n−1．则a n+b n=3n−2+4n−1，故：S n=(1+1)+(4+41)+⋯+(3n−2+4n−1)，=n(3n−1)2+4n−14−1，=32n2−12n+13(4n−1)．【名师点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组求和的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系.（1）如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，则要把成等差数列和成等比数列的项分别抽出来，研究这些项与序号之间的关系；（2）如果两个数列是通过运算综合在一起的，就要从分析运算入手，把两个数列分割开，再根据两个数列各自的特征进行求解．1．已知数列{a n }是递增的等差数列，a 2=3，若a 1，a 3﹣a 1，a 8+a 1成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）若b n =3an a n+1，数列{b n }的前n 项和S n ，求S n ．【解答】：（1）设{a n }的公差为d ，d ＞0， 由条件得{a 1+d =3a 1(2a 1+7d)=(2d)2d ＞0，∴{a 1=1d =2， ∴a n =1+2（n ﹣1）=2n ﹣1． （2）b n =3an a n+1=3(2n−1)(2n+1)=32(12n−1−12n+1)，∴S n =32（1﹣13+13﹣15+…+12n−1﹣12n+1）=3n2n+1．【名师点睛】用裂项法求和的裂项原则及规律（1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止． （2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是必须结合式子的结构特点进行，常见的裂项技巧： （1）()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（21n k n kn k n =+++；（3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()()()()1111122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦.此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.2．已知等差数列的前n 项和为，公差，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n 项和为. 【解析】：（1）由公差，且，解得，∴ ，∴ ． （2）当时，, ①， , ②，①－②得：， ∴ ．当时，， ∴ 也符合上式，故 ．, ③ , ④③－④得：－．∴ ．{}n a n S 0d >4738135,24a a a a =+={}n a 122()333n n n b b b S n N *=+++∈L {}n b n T 0d >38474724135a a a a a a +=+=⎧⎨=⎩47915a a =⎧⎨=⎩7423a a d -==()4421n a a n d n =+-=+2n ≥122333n n nb b b S =+++L 112121333n n n b b bS ---=+++L 1213n n n n nbS S a n --===+()213nn b n =+⋅()2n ≥1n =1133b S ==19b =()213nn b n =+⋅()n ∈*N ()()1213353213213n n n T n n -=⋅+⋅++-⋅++⋅L ()()23133353213213n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅++⋅L ()()231292333213nn n T n +-=+⋅+++-+⋅L ()19139213n --=+⋅-()1213n n ++⋅123n n +=-⋅13n n T n +=⋅【名师点睛】该题考查的是有关数列的通项公式以及求和问题，在求解的过程中，要明确递推公式的利用，要铭记等差数列和等比数列的通项公式的求法.第一问可先利用题中给出的条件，类比写出()111122n n S a n --+=≥，两式相减求得相邻两项的关系，从而确定出数列{}n a 是等比数列，再令1n =求得首项，最后利用等比数列的通项公式求得结果，对于{}n b ，利用题中条件求得首项，建立关于公差的等量关系式，从而求得结果；第二问涉及等差数列和等比数列对应项积构成新数列的求和方法——错位相减法，在求和的过程中，一定要明确整理之后的括号里的只有1n -项.错位相减法，若数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且公比为(1)q q ≠，求{}n n a b ⋅的前n 项和时，常用错位相减法求和.基本步骤是：列出和式，两边同乘以公比，两式相减并求和. 在写出n S 与n qS 的表达式时，要将两式“错项对齐”，便于准确写出n n S qS -的表达式.在运用错位相减法求和时需注意： ①合理选取乘数（或乘式）； ②对公比q 的讨论；③两式相减后的未消项及相消项呈现的规律； ④相消项中构成数列的项数.3．数列 {a n } 中，a 2n =a 2n−1+(−1)n ，a 2n+1=a 2n +n ，a 1=1，则 a 20= ． 【答案】 46【解析】由 a 2n =a 2n−1+(−1)n ，得 a 2n −a 2n−1=(−1)n ，由 a 2n+1=a 2n +n ，得 a 2n+1−a 2n =n ， 所以 a 2−a 1=−1，a 4−a 3=1，a 6−a 5=−1，⋯，a 20−a 19=1．a 3−a 2=1，a 5−a 4=2，a 7−a 6=3，⋯，a 19−a 18=9． 又 a 1=1， 累加得：a 20=46．【名师点睛】本题考查数列的通项公式的求法，累加法的应用，以及等差数列的求和公式，考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于基础题．数列可看作是自变量为正整数的一类函数，数列的通项公式相当于函数的解析式，所以我们可以用函数的观点来研究数列．解决数列与函数综合问题的注意点：（1）数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集，而不是某个区间上的连续实数，所以它的图象是一群孤立的点．（2）转化为以函数为背景的条件时，应注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是非常容易忽视的问题．（3）利用函数的方法研究数列中相关问题时，应准确构造函数，注意数列中相关限制条件的转化．4．等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +==(1)求数列{}n a 的通项公式.(2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和. 【解析】（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由得所以。
2020届高考数学(理)复习课件：第八单元 §8.1 数列的概念
an=
1,������ = 1, 2������-3,������ ≥
2.
答案 解析
4.设数列{an}满足 a1=1,且 an+1-an=n+1,求数列{an}的通项公式.
【解析】由题意可知 a2-a1=2,a3-a2=3,…,an-an-1=n(n≥2). 以上各式相加,得 an-a1=2+3+…+n=(������-1)2(������+2)=������2+2n-2.
∴an=2n+1-3.
答案 解析
(3)已知数列{an}满足 an=an-1+������(���1���-1)(n≥2,n∈N*),且 a1=1,则该数列{an}的 2������-1
通项公式 an= ������ .
【解析】(3)由已知得 a2-a1=2×11,a3-a2=3×12,…,an-an-1=������(���1���-1),
又∵a1=1,∴an=������22+n(n≥2).
∵当 n=1 时也满足此式,
∴an=������22+n(n∈N*).
解析
关键能力
题型归纳
题型一
由数列的前几项求数列的通项公式
【例 1】根据数列的前几项,写出各数列的一个通项公式.
(1)4,6,8,10,…;
【解析】(1)因为各数都是偶数,且最小值为 4,所以它的一个通项公式 为 an=2(n+1),n∈N*.
解析
(5)3,33,333,3333,….
【解析】(5)将数列各项改写为93,939,9399,99399,…,分母都是 3,而 分子分别是 10-1,102-1,103-1,104-1,…,所以它的一个通项公式 为 an=13(10n-1),n∈N*.
2020届高考数学(理)复习课件：第八单元 §8.3 等比数列
第 三 节 等比数列
目
1
高考引航
2
必备知识
录
3
关键能力
高考引航
必备知识
知识清单
一、等比数列的有关概念
1.定义
如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比
等于 同一个常数 (不为零),那么这个数列就叫作等比数列.这 个常数叫作等比数列的 公比 ,通常用字母 q 表示,定义的表达
式为������������������+������ 1=q.
3
1-
1 2
1-12
5
=341.
答案 解析
题型二 等比数列的判定与证明 【例 2】设数列 ������������ 的前 n 项和为 Sn,n∈N*.已知 a1=1,a2=32,a3=54,
且当 n≥2 时,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1. (1)求 a4 的值;
【解析】(1)当 n=2 时,4S4+5S2=8S3+S1,
而 T2=(-24)2×13=192,T4=(-24)4×
1 3
6=894>192,T6=(-24)6×
1 3
15=19×8367<894,T4 最大.故选 C.
答案 解析
【追踪训练 1】(1)已知数列{an}是公比为 q 的等比数列,且 a1,a3,a2 成等差数列,
则公比 q 的值为( C ).
答案 解析
4.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1+a3=52,a2+a4=54,则������������������������=( D ).
A.4n-1 B.4n-1 C.2n-1 D.2n-1
高中数学数列知识点总结（2020年8月整理）.pdf
数列基础知识点《考纲》要求：1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项；2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题；3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题。
数列的概念N *或其子集{1，2，3，……n}的函数f(n)．数列的一般形式为a 1，a 2，…，a n …，简记为{a n }，其中a n 是数列{a n }的第 项． 2．数列的通项公式一个数列{a n }的 与 之间的函数关系，如果可用一个公式a n ＝f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式．3．在数列{a n }中，前n 项和S n 与通项a n 的关系为：=n a ⎪⎩⎪⎨⎧≥==21n n a n4．求数列的通项公式的其它方法⑴ 公式法：等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法．⑵ 观察归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n 的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明．⑶ 递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式. n 项的值，写出数列的一个通项公式． ⑴ －312⨯，534⨯，－758⨯，9716⨯…； ⑵ 1，2，6，13，23，36，…；⑶ 1，1，2，2，3，3， 解： ⑴ a n ＝(－1)n)12)(12(12+−−n n n⑵ a n ＝)673(212+−n n（提示：a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝4，a 4－a 3＝7，a 5－a 4＝10，…，a n －a n －1＝1＋3(n －2)=3n －5．各式相加得)673(21)43)(1(211)]53(10741[12+−=−−+=−++++++=n n n n n a n⑶ 将1，1，2，2，3，3，…变形为,213,202,211+++ ,,26,215,204 +++ ∴4)1(1222)1(111++−++=−++=n n n n n a 变式训练1.某数列{a n }的前四项为0，2，0，2，则以下各式： ① a n ＝22[1＋(－1)n] ② a n ＝n )(11−+ ③ a n ＝ ⎩⎨⎧)(0)(2为奇数为偶数n n 其中可作为{a n }的通项公式的是 （ ） A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③ 解：D例2. 已知数列{a n }的前n 项和S n ，求通项．⑴ S n ＝3n－2⑵ S n ＝n 2＋3n ＋1解 ⑴ a n ＝S n －S n －1 (n ≥2) a 1＝S 1 解得：a n ＝⎩⎨⎧=≥⋅−)1(1)2(321n n n ⑵ a n ＝⎩⎨⎧≥+=)2(22)1(5n n n 变式训练2：已知数列{a n }的前n 项的和S n 满足关系式lg(S n －1)＝n ，(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为 ．解：,110101)1lg(+=⇒=−⇒=−n n n n n S S n S 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝10n－10n－1＝9·10n －1．故a n ＝⎪⎩⎪⎨⎧≥⋅=−)2(109)1(111n n n例3. 根据下面数列{a n }的首项和递推关系，探求其通项公式．⑴ a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1 (n ≥2) ⑵ a 1＝1，a n ＝113−−+n n a (n ≥2) ⑶ a 1＝1，a n ＝11−−n a nn (n ≥2) 解：⑴ a n ＝2a n －1＋1⇒(a n ＋1)＝2(a n －1＋1)(n ≥2)，a 1＋1＝2．故：a 1＋1＝2n，∴a n ＝2n－1．⑵a n ＝（a n －a n －1）＋（a n －1－a n －2）＋…＋（a 3－a 2）＋（a 2－a 1）＋a 1＝3n －1＋3n －2＋…＋33＋3＋1＝)13(21−n ． (3)∵nn a a n n 11−=− ∴a n ＝⋅−−⋅−=⋅⋅⋅⋅⋅−−−−−12111232211n n n n a a a a a a a a a n n n n n n nn n 112123=⋅⋅⋅−−变式训练3.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝22+n n a a (n ∈N *)，求该数列的通项公式． 解：方法一：由a n ＋1＝22+n na a 得 21111=−+n n a a ，∴{na 1}是以111=a 为首项，21为公差的等差数列． ∴na 1＝1＋(n －1)·21,即a n ＝12+n方法二：求出前5项，归纳猜想出a n ＝12+n ，然后用数学归纳证明． 例4. 已知函数)(x f ＝2x－2－x，数列{a n }满足)(log 2n a f ＝－2n ，求数列{a n }通项公式． 解：n a f n a n a n 222)(log 2log 2log 2−=−=−n a a nn 21−=−得n n a n −+=12 变式训练4.知数列{a n }的首项a 1＝5．前n 项和为S n 且S n ＋1＝2S n ＋n ＋5（n ∈N *）． (1) 证明数列{a n ＋1}是等比数列；(2) 令f (x)＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，求函数f (x)在点x ＝1处导数f 1(1)． 解：(1) 由已知S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，∴ n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n ＋4，两式相减，得： S n ＋1－S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即a n ＋1＝2a n ＋1 从而a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)当n ＝1时，S 2＝2S 1＋1＋5，∴ a 1＋a 2＝2a 1＋6, 又a 1＝5，∴ a 2＝11 ∴111+++n n a a ＝2，即{a n ＋1}是以a 1＋1＝6为首项，2为公比的等比数列. (2) 由(1)知a n ＝3×2n－1∵ )(x f ＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n∴ )('x f ＝a 1＋2a 2x ＋…＋na n x n －1从而)1('f ＝a 1＋2a 2＋…＋na n＝(3×2－1)＋2(3×22－1)＋…＋n(3×2n－1)＝3(2＋2×22＋…＋n ×2n)－(1＋2＋…＋n) ＝3[n ×2n ＋1－(2＋ (2))]－2)1(+n n ＝3(n －1)·2n ＋1－2)1(+n n ＋6方法有观察法、通项法，转化为特殊数列法等.2．由S n 求a n 时，用公式a n ＝S n －S n －1要注意n ≥2这个条件，a 1应由a 1＝S 1来确定，最后看二者能否统一．3．由递推公式求通项公式的常见形式有：a n ＋1－a n ＝f(n)，nn a a 1+＝f(n)，a n ＋1＝pa n ＋q ，分别用累加法、累乘法、迭代法（或换元法）．数列的概念与简单表示法●三维目标知识与技能：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n 项和与n a 的关系过程与方法：经历数列知识的感受及理解运用的过程。
2020年高考数学(理)抢分秘籍08 数列(解析版)
秘籍08 数列1．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1a 6=2a 3，a 4与2a 6的等差中项为32，则S 5=（ ）A ．36B ．33C ．32D ．31【答案】D【解答】：设正项等比数列{a n }的公比为q ＞0，∵a 1a 6=2a 3，a 4与2a 6的等差中项为32，∴a 12q 5=2a 1q 2，a 4+2a 6=3，即a 1(q 3+2q 5)=3，解得a 1=16，q=12．则S 5=16[1−(12)5]1−12=31．故选：D ．【名师点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 2．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ，若a 2+a 3+a 10=9，则S 9=（ ） A ．27 B ．18C ．9D ．3【答案】A【解答】：设公差为d ，则3a 1+12d=9， ∴a 1+4d=a 5=3 ∴S 9=9a 5=27， 故选：A ．【名师点睛】利用等差数列中项的下标和的性质解题可简化运算，此性质常与等差数列的前n 项和公式结合在一起考查，解题时注意整体思想的运用，属于基础题． 3．在等差数列{a n }中，若a 3+a 11=18，S 3=﹣3，那么a 5等于（ ）A ．4B ．5C ．9D ．18【答案】B【解答】：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3+a 11=18，S 3=﹣3，∴2a 1+12d=18，3a 1+3×22d=﹣3，解得a 1=﹣3，d=2． ∴那么a 5=﹣3+8=5． 故选：B ．【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，属于中档题.利用等差数列通项公式，列出关于首项1a 、公差d 的方程组，解方程组可得1a 与d 的值，从而可得数列{}n a 的通项公式，进而可得结果.等差、等比数列基本量的计算是解等差、等比数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第（1）问中，属基础题.1．等差数列运算问题的一般求法是设出首项1a 和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．2．等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量1a ，n a ，d ，n ，n S ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．3．等比数列由首项1a 与公比q 确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕1a 与q 进行．4．对于等比数列问题，一般给出两个条件，就可以通过解方程(组)求出1a 与q ，对于1,,,,n n a a q n S 五个基本量，如果再给出第三个条件就可以“知三求二”．4．各项都是正数的等比数列{}n a 的公比1q ≠，且2a ，312a ，1a 成等差数列，则4523a a a a ++的值为 A ．152+ B ．352+C ．512- D ．352-或352+ 【答案】B【解析】由题意得23211111152,,.22a a a a q a q a q +⨯=+∴=+∴= 所以4523a a a a ++=222232335.2a q a q q a a ++==+故答案为B.【名师点睛】（1）本题主要考查等差中项和等比数列的通项，意在考查学生对等差数列、等比数列的基础知识的掌握能力和基本运算能力.（2）计算4523a a aa ++时，注意观察下标之间的关系，由于4比2大2,5比3大2，所以4523a a a a ++=222323a q a q a a ++2q =，从而可以适当优化解题.在数列计算时，注意观察数列下标之间的关系，选择恰当的性质进行计算，提高解题效率.等差、等比数列的性质是高考考查的热点之一，利用等差、等比数列的性质求解可使题目减少运算量，题型以选择题或填空题为主，难度不大，属中低档题，主要考查通项公式的变形，等差、等比中项的应用及前n 项和公式的变形应用等.（1）在利用等差数列的性质解题时，要注意：若m n p q +=+，则q p n m a a a a +=+(,)m n,p,q ∈*N ，只有当序号之和相等、项数相同时才成立．（2）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．5．已知数列{a n }是等差数列，且lga 1=0，lga 4=1． （1）求数列{a n }的通项公式（2）若a 1，a k ，a 6是等比数列{b n }的前3项，求k 的值及数列{a n +b n }的前n 项和．【答案】（1）a n=3n−2．（2）k=2,S n=32n2−12n+13(4n−1)【解析】(1)数列{a n}是等差数列，设公差为d，且lga1=0，lga4=1．则：{a1=1a1+3d=10，解得：d=3，所以：a n=1+3(n−1)=3n−2．(2)若a1，a k，a6是等比数列{b n}的前3项，则：a k2=a1⋅a6，根据等差数列的通项公式得到：a k=3k−2，代入上式解得：k=2.所以a1，a2，a6是等比数列{b n}的前3项，a1=1，a2=4，所以：等比数列{b n}的公比为q=4．由等比数列的通项公式得到：b n=4n−1．则a n+b n=3n−2+4n−1，故：S n=(1+1)+(4+41)+⋯+(3n−2+4n−1)，=n(3n−1)2+4n−14−1，=32n2−12n+13(4n−1)．【名师点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组求和的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系.（1）如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，则要把成等差数列和成等比数列的项分别抽出来，研究这些项与序号之间的关系；（2）如果两个数列是通过运算综合在一起的，就要从分析运算入手，把两个数列分割开，再根据两个数列各自的特征进行求解．1．已知数列{a n }是递增的等差数列，a 2=3，若a 1，a 3﹣a 1，a 8+a 1成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）若b n =3an a n+1，数列{b n }的前n 项和S n ，求S n ．【解答】：（1）设{a n }的公差为d ，d ＞0， 由条件得{a 1+d =3a 1(2a 1+7d)=(2d)2d ＞0，∴{a 1=1d =2， ∴a n =1+2（n ﹣1）=2n ﹣1． （2）b n =3an a n+1=3(2n−1)(2n+1)=32(12n−1−12n+1)，∴S n =32（1﹣13+13﹣15+…+12n−1﹣12n+1）=3n2n+1．【名师点睛】用裂项法求和的裂项原则及规律（1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止． （2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是必须结合式子的结构特点进行，常见的裂项技巧： （1）()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）()11n k n kn k n =+-++；（3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()()()()1111122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦.此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.2．已知等差数列的前n 项和为，公差，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n 项和为. 【解析】：（1）由公差，且，解得，∴ ，∴ ． （2）当时，, ①， , ②，①－②得：， ∴ ．当时，， ∴ 也符合上式，故 ．, ③ , ④③－④得：－．∴ ．{}n a n S 0d >4738135,24a a a a =+={}n a 122()333n n n b b b S n N *=+++∈L {}n b n T 0d >38474724135a a a a a a +=+=⎧⎨=⎩47915a a =⎧⎨=⎩7423a a d -==()4421n a a n d n =+-=+2n ≥122333n n nb b b S =+++L 112121333n n n b b bS ---=+++L 1213n n n n nbS S a n --===+()213nn b n =+⋅()2n ≥1n =1133b S ==19b =()213nn b n =+⋅()n ∈*N ()()1213353213213n n n T n n -=⋅+⋅++-⋅++⋅L ()()23133353213213n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅++⋅L ()()231292333213nn n T n +-=+⋅+++-+⋅L ()19139213n --=+⋅-()1213n n ++⋅123n n +=-⋅13n n T n +=⋅【名师点睛】该题考查的是有关数列的通项公式以及求和问题，在求解的过程中，要明确递推公式的利用，要铭记等差数列和等比数列的通项公式的求法.第一问可先利用题中给出的条件，类比写出()111122n n S a n --+=≥，两式相减求得相邻两项的关系，从而确定出数列{}n a 是等比数列，再令1n =求得首项，最后利用等比数列的通项公式求得结果，对于{}n b ，利用题中条件求得首项，建立关于公差的等量关系式，从而求得结果；第二问涉及等差数列和等比数列对应项积构成新数列的求和方法——错位相减法，在求和的过程中，一定要明确整理之后的括号里的只有1n -项.错位相减法，若数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且公比为(1)q q ≠，求{}n n a b ⋅的前n 项和时，常用错位相减法求和.基本步骤是：列出和式，两边同乘以公比，两式相减并求和. 在写出n S 与n qS 的表达式时，要将两式“错项对齐”，便于准确写出n n S qS -的表达式.在运用错位相减法求和时需注意： ①合理选取乘数（或乘式）； ②对公比q 的讨论；③两式相减后的未消项及相消项呈现的规律； ④相消项中构成数列的项数.3．数列 {a n } 中，a 2n =a 2n−1+(−1)n ，a 2n+1=a 2n +n ，a 1=1，则 a 20= ． 【答案】 46【解析】由 a 2n =a 2n−1+(−1)n ，得 a 2n −a 2n−1=(−1)n ，由 a 2n+1=a 2n +n ，得 a 2n+1−a 2n =n ， 所以 a 2−a 1=−1，a 4−a 3=1，a 6−a 5=−1，⋯，a 20−a 19=1．a 3−a 2=1，a 5−a 4=2，a 7−a 6=3，⋯，a 19−a 18=9． 又 a 1=1， 累加得：a 20=46．【名师点睛】本题考查数列的通项公式的求法，累加法的应用，以及等差数列的求和公式，考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于基础题．数列可看作是自变量为正整数的一类函数，数列的通项公式相当于函数的解析式，所以我们可以用函数的观点来研究数列．解决数列与函数综合问题的注意点：（1）数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集，而不是某个区间上的连续实数，所以它的图象是一群孤立的点．（2）转化为以函数为背景的条件时，应注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是非常容易忽视的问题．（3）利用函数的方法研究数列中相关问题时，应准确构造函数，注意数列中相关限制条件的转化．4．等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +==(1)求数列{}n a 的通项公式.(2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和. 【解析】（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由得所以。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（八）数列
考纲原文
1．数列的概念和简单表示法
（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）.
（2）了解数列是自变量为正整数的一类函数.
2．等差数列、等比数列
（1）理解等差数列、等比数列的概念.
（2）掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式.
（3）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.
（4）了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.
高考预测
与2020年考纲相比没什么变化，而且这部分内容作为高考的必考内容，在2020年的高考中预计仍会以“两小或一大”的格局呈现.如果是以“两小”（选择题或填空题）的形式呈现，一般是一道较容易的题，一道中等难度的题，较易的题主要以等差数列、等比数列的定义、通项公式、性质与求和公式为主来考查；中等难度的题主要以数列的递推关系、结合数列的通项、性质以及其他相关知识为主来考查.如果是以“一大”（解答题）的形式呈现，主要考查数列的前n 项和与第n 项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项，前n 项和，有时与参数的求解，数列不等式的证明等加以综合.试题难度中等.
新题速递
1．在等比数列{}n a 中，已知5712411,8
a a a a a +==+，则5S 的值为 A ．1516 B ．3116 C ．1532 D ．3132
2．已知数列{}n a 满足：对任意的*n ∈N 均有133n n a pa p +=+-（p 为常数，0p ≠且1p ≠），若
{}2345,,,19,7,3,5,10,29a a a a ∈---，则1a 所有可能值的集合为_______________．
3．已知数列{}21n a n -的前n 项和为n S ，且1445
n n n S ++=. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）求数列{}n a 的前n 项和n T .
答案
3．【解析】（1）依题意，当1n =时，11645a +=，解得145
a =. 当2n ≥时，1445n n n S ++=①，11445
n
n n S --+=②， -①②得4215
n
n n a n =-，即4(21)5n n n a n =-⋅. 经检验，1n =也符合4(21)5n n n a n =-⋅，所以4(21)5
n
n n a n =-⋅. （2）依题意，23444413()5()(21)()5555
n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯③L ， 45⨯③，得2341444441()3()5()(21)()55555
n n T n +=⨯+⨯+⨯++-⋅④L ， ③-④得
23411444444422()2()2()2()(21)()55555555
n n n T n +=⨯+⨯+⨯+⨯++⨯---⨯L ， 化简可得，4
36(368)()5n n T n =-+.。