初中八年级数学一元二次方程提高练习

初中数学一元二次方程提高练习
一、单选题（共12题；共24分）
1.已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则实数的值是（）
A. 0
B. 1
C. −3
D. −1
2.如果关于x的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是（）
A. B. 且 C. 且 D.
3.对于任意实数k，关于x的方程的根的情况为（）
A. 有两个相等的实数根
B. 没有实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 无法判定
4.下列命题正确的是（）
A. 若分式的值为0，则x的值为±2．
B. 一个正数的算术平方根一定比这个数小．
C. 若，则．
D. 若，则一元二次方程有实数根．
5.已知二次函数，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程的两根之积为（）
A. 0
B.
C.
D.
6.直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（）.
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 1个或2个
7.规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论
①方程x2+2x﹣8＝0是倍根方程；②若关于x的方程x2+ax+2＝0是倍根方程，则a＝±3；③若（x﹣3）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则n＝6m或3n＝2m；④若点（m，n）在反比例函数y＝的图象上，则关于x的方程mx2﹣3x+n＝0是倍根方程.上述结论中正确的有（）
A. ②
B. ①③
C. ②③④
D. ②④
8.一元二次方程配方后化为（）
A. B. C. D.
9.关于x的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程
同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；② ；③ ．其中正确结论的个数是（）
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
10.若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2﹣ab+b2=18，则+ 的值是（）
A. 3
B. ﹣3
C. 5
D. ﹣5
11.方程x2+ax+7=0和x2﹣7x﹣a=0有一个公共根，则a的值是（）
A. 9
B. 8
C. 7
D. 6
12.设是方程的两个实数根，则的值是( )
A. -6
B. -5
C. -6或-5
D. 6或5
二、填空题（共5题；共5分）
13.已知关于的一元二次方程，有下列结论：
①当时，方程有两个不相等的实根；
②当时，方程不可能有两个异号的实根；
③当时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．
以上4个结论中，正确的个数为________．
14.一元二次方程的解为________．
15.已知关于的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________．
16.若方程的根也是方程的根，则________.
17.设m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2018＝0的两个实数根，则m2＋3m＋n＝________.
三、计算题（共3题；共25分）
18.解方程：
（1）（x﹣4）2﹣3＝0；
（2）4（x﹣3）＝2x（x﹣3）.
19.解下列方程：
（1）3（5﹣x）2＝2（x﹣5）；
（2）x2﹣4x+2＝0.
20.已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值.
四、解答题（共2题；共10分）
21.阅读下面的例题：解方程x2﹣|x|﹣2＝0
解：当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）；
当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝1，（不合题意，舍去）x2＝﹣2；
∴原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2．
请参照例题解方程x2﹣|x﹣1|﹣1＝0．
22.某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查发现：在一段时间内，当销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．若商场要获得10000元销售利润，该玩具销售单价应定为多少元？售出玩具多少件？
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意得，
解得；
故答案为：B．
【分析】把x＝代入方程就得到一个关于m的方程，就可以求出m的值．
2.【答案】C
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，
∴△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，
解得k≤ 且k≠0，
故答案为：C．
【分析】根据关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，知△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，解之可得．3.【答案】B
【解析】【解答】解：，
，
不论k为何值，，
即，
所以方程没有实数根，
故答案为：B．
【分析】先根据根的判别式求出“△”的值，再根据根的判别式的内容判断即可．
4.【答案】D
【解析】【解答】A.当x=2时，分式无意义，故A选项不符合题意；
B.1的算数平方根还是1，不符合“一个正数的算术平方根一定比这个数小”，故B选项不符合题意；
C.可以假设b=2，a=1，满足，代入式子中，通过计算发现与结论不符，故C选项不符合题意；
D. ，当时，，一元二次方程有实数根，故D选项符合题意．
故本题选择D．
【分析】A选项：当x=2时，分式无意义；B选项：1的算数平方根还是1；C选项：可以让b=2，a=1，代入式子中即可做出判断；根据根的判别式可得到结论．
5.【答案】D
【解析】【解答】解：∵二次函数，
当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，
可知二次函数图像的对称轴为直线x=0，即y轴，
则，
解得：a=-2，
则关于x的一元二次方程为，
则两根之积为，
故答案为：D.
【分析】根据题意可得二次函数图像的对称轴为y轴，从而求出a值，再利用根与系数的关系得出结果.
6.【答案】D
【解析】【解答】∵直线不经过第二象限，
∴，
∵方程，
当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解，
当a<0时，方程为一元二次方程，
∵∆= ，
∴4-4a>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：D.
【分析】根据直线不经过第二象限，得到，再分两种情况判断方程的解的情况.
7.【答案】D
【解析】【解答】解：①x2+2x﹣8＝（x+4）(x-2)=0 ,∴x1=-4,x2=2, x1=-2x2, 不是倍根方程，错误；
②由题意得：2x12=2, ∴x1=±1，∴x1=1,x2=2,x1=-1,x2=-2, 则a＝x1+x2=±3, 正确；
③∵x1=3,x2=, 当x1=2x2时，3m=2n, 当x2=2x1时，n=6m, 错误；
④由题意得：n=, ∴mx2-3x+=0, ∴x1+x2=,x1x2=, 整理得：2x12-5x1x2+2x22
=0, ∴（x1-2x2）(2x1-x2)=0, ∴x1=2x2, 或x2=2x1，正确；
综上，正确的是②④ .
故答案为：D.
【分析】①用十字相乘法解一元二次方程直接验证即可；②先根据两根之积等于2，分两种情况讨论均符合“倍根方程”的条件；③分两种情况讨论，结合倍根方程的条件可得m和n的关系；④根据反比例函数式，求出m和n的关系，利用一元二次方程根与系数的关系列式整理即可求得两根之间的关系.
8.【答案】B
【解析】【解答】,
,
.
故答案为：B.
【分析】配方法的基本步骤，在方程两边加上一次项系数的一半的平方。

左边写成平方形式，右边合并。

然后直接开平方法。

即可选出答案。

9.【答案】D
【解析】【解答】解法一：因为关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，由韦达定理得，所以同号；同理为同号。

根据
得均为负整数，因此结论①正确；又由题意得，，则，，故结论②正确；因为均为负整数，则它们均小于等于。

设，
，则分别为的二次函数，其图象开口向上，与横轴的交点坐标均小于或等于且为整数，因此当时，。

当时，
，即，故结论③正确。

应选D。

解法二：设的两个整数根为、，
的两个整数根为、，
则，，
由题意得：，，
∴，，
∴，，，，∴①正确；
∵的两个整数根为、，
∴，即，
∴，同理：。

∴
，∴②正确；
∵、为负整数，∴、，
∴，∵，，
∴，∴
，∴，
同理：，即，
∴，∴③正确；
故答案为：D.
【分析】根据题意以及一元二次方程根与系数，可得出两个整数根都是负数，可对①作出判断；利用一元二次方程根的判别式，可对②作出判断；利用一元二次方程根与系数进行解答，可对③作出判断，综上所述，可得出答案。

10.【答案】D
【解析】【解答】解：∵a、b为方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根，
∴a+b=3，ab=p，
∵a2﹣ab+b2=（a+b）2﹣3ab=32﹣3p=18，
∴p=﹣3．
当p=﹣3时，△=（﹣3）2﹣4p=9+12=21＞0，
∴p=﹣3符合题意．
+ = = = ﹣2= ﹣2=﹣5．
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可求出a+b=3，ab=p，再把a2﹣ab+b2=18利用完全平方公式变形，从而求出p的值，然后把要求的式子通分，再把a+b、ab的值代入求解.
11.【答案】B
【解析】【解答】设该公共根为x=b，
由题意可知：b2+ab+7=0，
b2-7b-a=0
∴（a+7）b+7+a=0
∵a+7≠0，
∴b=-1
∴x=-1代入x2-7x-a=0，
a=1+7=8
故答案为：B．
【分析】设两方程的公共根是x=b，然后根据方程根的定义，将这个公共根分别代入两个方程得b2+ab+7=0 ①，b2-7b-a=0 ②，①-②得（a+7）b+7+a=0，然后根据方程有根得出a+7≠0，从而得出b的值，即x的值，将x的值随便代入题干中的某一个方程即可算出a的值。

12.【答案】A
【解析】【解答】∵x1，x2是方程x2-2x-1=0的两个实数根，
∴x1+x2=2，x1∙x2=-1
∴=
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系解答。

二、填空题
13.【答案】①③④
【解析】【解答】解：根据题意，∵一元二次方程，
∴；
∴当，即时，方程有两个不相等的实根；故①符合题意；
当，解得：，方程有两个同号的实数根，则当时，方程可能有两个
异号的实根；故②不符合题意；
抛物线的对称轴为：，则当时，方程的两个实根不可能都小于1；故③符合题意；
由，则，解得：或；故④符合题意；
∴正确的结论有①③④；
故答案为：①③④．
【分析】由根的判别式，根与系数的关系进行判断，即可得到答案．
14.【答案】x= 或x=2
【解析】【解答】
当x－2=0时,x=2,
当x－2≠0时,4x=1,x= ,
故答案为:x= 或x=2．
【分析】根据一元二次方程的解法解出答案即可．
15.【答案】m≤5且m≠4
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有实数根，
∴△= ≥0且≠0，
解得：m≤5且m≠4，
故答案为：m≤5且m≠4．
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得到△≥0且二次项系数≠0，然后求出两不等式的公共部分即可．
16.【答案】-5
【解析】【解答】解：∵ x2-3x+1=0, ∴x2=3x-1,
∴x4+ax2+bx+c=(3x-1)2+ax2+bx+c=0,
∴9x2-6x+1+ax2+bx+c=0,
∴(9+a)x2+(b-6)x+c+1=0,
∵ x2-3x+1=0,
∵x1+x2= , ∴3a+b=-21,
∵x1x2==1, ∴a=c-8,
∴3a+b=a+b+2a=a+b+2(c-8)=a+b+2c-16=-21,
∴a+b+2c=-21+16=-5.
故答案为：-5.
【分析】由x2-3x+1=0得x2=3x-1, 代入x4+ax2+bx+c=0中把x4降次，再根据根与系数的关系列式，求出a、
b、c的关系，再将原式变形即可求值.
17.【答案】2016
【解析】【解答】解：由题意得：m+n=-2, m2＋2m－2018＝0 ,即m2＋2m=2018
则m2＋3m＋n＝m2+2m+m+n =2018-2=2016.
故答案为：2016.
【分析】因为m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2018＝0的两个实数根，则m、n代入方程满足方程，由根与系数的关系求得m+n的值，则原式经过简单变形值可求.
三、计算题
18.【答案】（1）解：（x﹣4）2﹣3＝0，
（x﹣4）2＝3，
∴x1＝+4，x2＝﹣+4
（2）解：4（x﹣3）＝2x（x﹣3），
（4﹣2x）（x﹣3）＝0，
∴x1＝2，x2＝3.
【解析】【分析】（1）将常数项移到方程的右边，利用直接开平方法将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求出原方程的解；
（2）将方程的右边整体移到方程的左边，将方程的左边利用提公因式的方法分解因式，然后根据两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求出原方程的解.
19.【答案】（1）解：∵3（5﹣x）2＝2（x﹣5），
∴3（5﹣x）2﹣2（x﹣5）＝0，
则（x﹣5）（3x﹣17）＝0，
∴x﹣5＝0或3x﹣17＝0，
解得x＝5或x＝；
（2）解：∵x2﹣4x＝﹣2，
∴x2﹣4x+4＝﹣2+4，即（x﹣2）2＝2，
则x﹣2＝，
∴x＝2± .
【解析】【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用配方法求解可得.
20.【答案】解：设方程的两个根为，其中为整数，且≤ ，则方程
的两根为，由题意得
，
两式相加得，
即，
所以或
解得或
又因为所以
；或者，
故，或29.
【解析】【分析】利用根与系数关系，设出一个方程的根，表示出另一方程的根，根据根与系数关系，列出等量关系，求出两根，进而a + b + c = − 3 ，或29.
四、解答题
21.【答案】解：当x﹣1≥0即x≥1时，原方程化为x2﹣（x﹣1）﹣1＝0，即x2﹣x＝0，
解得x1＝0，x2＝1，
∵x≥1，∴x＝1；
当x﹣1＜0即x＜1时，原方程化为x2+（x﹣1）﹣1＝0，即x2+x﹣2＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝1
∵x＜1，∴x＝﹣2，
∴原方程的根为x1＝1，x2＝﹣2．
【解析】【分析】将方程化为关于x的一元二次方程，求出方程的解得到x的值，即为|x﹣1|的值，利用绝对值的代数意义即可求出x的值，即为原方程的解．
22.【答案】解：设该玩具的销售单价应定为元
根据题意，得
解得
当时，件，当时，件.
答：该玩具的销售单价定为元时，售出500件；或售价定为元时售出200件.
【解析】【分析】根据题意找出相等的关系量，购进时的单价是30元，销售单价定为x 元时，一件的利润是( x − 30 )，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，得到销售的数量是600-10（x-40），得到等式，求出x的值，该玩具销售单价和数量.。