四川省成都市2021 (1)-2021学年高一上学期期末调研考试数学试题(pdf)

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N 0 ) 1.
成都市2015~2016学年度上期期末学业质量监测
高一数学参考答案与评分标准
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.A ;
2.A ;
3.C ;
4.B ;
5.D ;
6.B ;
7.D ;
8.B ;
9.C ; 10.B ; 11.C ; 12.D .
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.{x |x >1} 或 (1,+ ∞ ) ; 14.- 3 ; 1
5.1.41,1.42,1.43都可; 1
6.[-1,3] . 三、解答题:(本大题共6小题,共70分 5
17.解:(Ⅰ)原式 = 3 + 1 +l g
10= 2. …………5分 4 4
(Ⅱ)原式 = s i n α-c o s α = t a n α-1= 2-1= 1 . …………10分 s i n α+2c o s α t a n α+2 2+2 4
18.解:(Ⅰ)∵f (x )是 R 上的奇函数,∴f (-x )+f (x )= 0
. ∴f (0)+f (0)= 0,f (0)= 0. ∵当x >0时,f (x )= x 3 -1,∴f (2)= 3 -1= 1 . 2 2
∴f (-2)= -f (2)= -1 . (Ⅱ)任取x 1,x 2 ∈ (0,+ ∞ ) 且x 1 >x 2.
…………6分 ∴f (x 1)-f (x 2)= x 3 -1- (x 3 -1)= x 3 -x 3 = 3(x 2 -x 1). 1 2 1 2 x 1x 2 ∵x 1 >x 2 >0,∴x 1x 2 >0,x 2 -x 1 <0.
∴f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (
x 2). ∴f (x )在 (0,+ ∞ ) 上是减函数. …………12分 19.解:(Ⅰ)将 N 0 = e 3,λ= 1,t = 4代入 N = N 0e -λt ,得 N = e 3·e -2 = e .
∴l n N =l n e = 2
…………6分 (Ⅱ)由 N = N 0e -λt ,得 N = e -λt . ∴ -λt =l n N ,∴t = -1l n N (或 1l n
N 0 ),其中0< N ≤ N 0. N 0 λ N 0 λ N 将 N = N 0
,λ= 1 代入,得 21 10 l g 2 0.3010
………… t = -10l n 2 = 10l n 2= 10×l g e = 10×0.4344≈7. 12分
3
3 3
( 20.解:(Ⅰ)由函数f (x )= A s i n (ωx +φ)+B (A >0,ω >0
,φ < π)图象的对称性,知 π 7π π
2 ……… 12+12= 2x 2. ∴x 2 =
3 . ⎧ω·π +φ= π 2分 ω= 2 由题意,得 ⎨ 12 2 ,即 { π. ω·7π+φ= 3π φ= 3 A B ⎩ 12 2
又 { + = 4 ,∴ {A = 3. -A +B = -2 B = 1 π
∴函数f (x )的解析式为f (x )= 3s i n (2x + 3
)+1. …………6分 (Ⅱ)y = g (x )= s i n x 1→C 1:y = 3s i n x 2→C 2:y = 3s i n (x + π) 3→C 3:y = 3s i n (x + π)+1 4→f (x )= 3s i n (2x + π)+1. 1.将g (x )= s i n x 图象上所有点横坐标不变,把纵坐标伸长为原来的3倍得到C 1; 2.
把C 1 的图象上所有点向左平移 π 个单位长度得到C 2; 3.
把C 的图象上所有点向上平移 3个单位长度得到C ; 2
1 3 , 1 ( )
4.把C 3 的图象上所有点纵坐标不变 把横坐标压缩为原来的 2
倍得到f x . (说明:变换方式不唯一.) …………12分 21.解:(Ⅰ)已知x +m >0的解为x >2或x <-2,∴ m = 2. …………3分 x -2 2
(Ⅱ)g (x )= f (2)=l o g x +2=l o g 1+x ,x ∈ (-1
,0)∪ (0,1). x a 2 2 a 1-x x
- 对g (x )定义域内任意的x 1,x 2 ∈ (-1
,0)∪ (0,1),x 1 +x 2 ≠0, 则 x 1 +x 2 1+x 1x 2 ∈ (-1,0)∪ (0,1). 1+x
1+x (1+x )(1+x ) ∵g (x 1)+g (x 2)=l o g a 1 1 +l o g a 2
=l o g a ( )( ) -x 1 1-x 2 1-x 1 1-x 2 1+x x + (x +x ) 1+
x 1 +x 2 x +x =l o g a 1 1 2 2)=l o g a 1+x 1x 2 = g ( 1 2 ), +x 1x 2 - x 1 +x 2 x +x x 1 +x 2
1+x 1x 2 1+x 1x 2 ∴g (x 1)+g (x 2)= g (11 2 ). …………7分 +x 1x 2 (Ⅲ)记h (x )= x +2= 1+
4 . x -2 x -2
在 (2,+ ∞)上h (x )>1且单调递减,在 (- ∞,-2)上0<h (x )<1
且单调递减. ①当a >1时,f (x )=l o g a x +2=l o g a (1+ 4 )在 (2,+ ∞)上恒为正, 1 2 1
1-
x -2 x -2
r ⎣2 ⎦ 2 在 (- ∞,-2
)上恒为负. ∵f (x )在区间 (a -4,r )上的值域为 (1,+ ∞),∴ (a -4,r )⊂ (2,+ ∞ ) .
∵f (x )在 (2,+ ∞)上单调递减, 2≤a -4<r ⎧6≤a <r +4 r
14 16 ∴ {f (r )= 1 ⇒ ⎨1+r 4- = a ⇒{ = 5⇒a -r = 5 . a -4= 2 ⎩ a =2 a = 6
②当0<a <1时,f (
x )在 (-6
∞,-2)上恒为正,且单调递增, ∴ (a -4,r )⊂ (- ∞,-2) . a -4<r ≤-2 ⎧a -4<r ≤-2
⎧r = -2 11-
41
∴ {
f (a -4)= 1 ⇒ ⎨ 1+a 4- = a ⇒ ⎨ 7- 41⇒a -r = 2 . r = -2 6 ⎩ = -2 ⎩a = 2 综上,a -r = 16或 …………12分
22.解:(Ⅰ) 5 f (x )
= 2π= 4 ........................................................... 1 函数 的最小正周期为T π
π = π+ π , 2 分 = 2 +1
(k ∈Z ) ........................ 2 由 2x k 2 解出对称轴方程为x k 分 (Ⅱ)①当t ∈ ⎡-2,- 3 ⎫ 时,在区间 [
t ,t +1] 上,M (t )= f (t )= s i n πt , ⎣ 2 ⎭ 2
m (t )= f (-1)= -1. πt
∴g (t )= M (t )-m (t )= 1+s i n 2 . ②当t ∈ ⎡- 3,-1⎫ 时,在区间 [t ,t +1] 上,
⎣ 2 ⎭ π πt
M (t )= f (t +1)= s i n ⎡ (t +1)⎤ = c o s 2 ,m (t )= f (-1)= -1. ∴g (t )= M (t )-m (t )= 1+c
o s πt . ③当t ∈ [-1,0] 时,在区间 [t ,t +2 ]
上, M (t )= f (t +1)= s i n ⎡ π(t +1)⎤ 1 πt ,m (t )= f (t )= s
i n πt . ⎣2 ⎦ = c o s 2 2 ∴g (t )= M (t )-m (t )= c
o s πt -s i n πt . 2 2 ⎧c o s πt -s i n πt ,t ∈ [-1,0]
, , ()
2 πt ⎡
3 ⎫ ∴当t ∈ [-20] 时 函数g t = ⎨1+c o s 2,t ∈ ⎣- 2,-1⎭ 1+s i n πt ,t ∈ ⎡-2,- 3 ⎫
. …………7分 πx ⎩
2 ⎣ 2 ⎭ (Ⅲ)∵f (x )= s i n 2 的最小正周期T = 4,
∴M(t+4)=M(t),m(t+4)=m(t).
∴g(t+4)=M(t+4)-m(t+4)=M(t)-m(t)=g(t).
画出函数g (t )的部分图象,如图. {2k -x (x <k ) 2
⎛ 1 [ ) 存在 2 ( ] 使得 (2)= (1)成立,
∴g (t )是周期为4的函数. …………8分
∴研究函数g (t )的性质,只须研究函数g (t )在t ∈ [-2,2] 时的性质即可.
仿(Ⅱ),可得 πt 3 ⎧1+s i n 2,t ∈ ⎡-2,- ⎫ ⎣ 2 ⎭
πt 3 1+c o s 2,t ∈ ⎡- ,-1⎫ ⎣ 2 ⎭ πt πt () c o s 2 -s i n 2,t ∈ [-1,0) g t = ⎨ 1 s i n πt ,t ∈ ⎡0,1 ⎫ .
- 2 ⎣ 2 ⎭ 1-c o s πt ,t ∈ ⎡1,1⎫
πt 2 πt ⎣2 ⎭
⎩ s i n 2 -c o s 2
,t ∈ [1,2]
函数g (t )的值域为 ⎡
⎤ . …………9分
⎣1- 2 2⎦
已知 2k -5g (t )≤0有解,即 2k ≤5g (t )m a x = 5
2⇒k ≤5. x ∈ 4,+ ∞ , x ∈ - ∞,4 , h x …H …x ……10分 即 H (x )在 [4,+ ∞ ) 的值域是h (
x )在 (- ∞,4] 的值域的子集. ∵h (x )= 2 x -k = 2x -k (x ≥k ), ①当k ≤4时,∵h (x )在 (- ∞,k ) 上单调递减,在 ∴h (x )m i n = h (k )= 1
.
[k ,4] 上单调递增, ∵ H (x )= x x -k +2k -8在 ∴ H (x )m i n = H (4)= 8-2
k . [4,+ ∞ ) 上单调递增, ∴8-2k ≥1,即k ≤ 7 . …………11分 ②当4<k ≤5时,∵h (x )在 (- ∞,4] 上单调递减, ∴h (x )m i n =
h (4)= 2k -4 . ∵ H (x )= x x -k +2k -8在 ∴ H (x )m i n = H (k )= 2
k -8. [4,k ] 上单调递减,在 (k ,+ ∞ ) 上单调递增, ∴ {4<k ≤5k -4⇒{4<k ≤5⇒k = 5. …………12分 2k -8≥2 5≤k ≤6 7 ⎤
综上,实数k 的取值范围是 ⎝- ∞,2 ⎦ ∪ {5} . 若对任意。