函数的奇偶性与周期性高频考点+重点题型

专题07函数的奇偶性和周期性--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型
一、关键能力
在学习函数基本性质的过程中，学生能理解数学知识之间的联系，建构知识框架，形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，增强数学交流能力。

能够进一步提高数学运算能力，能有效借助运算方法解决实际问题，能够通过运算促进数学思维发展，养成程序化思考问题的习惯，形成一丝不苟、严谨求实的科学精神，在此过程中提高逻辑推理和数学运算能力。

二、教学建议
教学中，要结合231
,,,
y x y x y x y
x
====等函数，了解函数奇偶性的概念、图象和性质，并能判断一些简单函数的奇偶性（对一般函数的奇偶性，不要做深入讨论）。

函数各种性质的综合常常是命制高考数学试题的重要出发点和落脚点，在复习函数性质时应注意到数形结合思想、分类讨论、由特殊到一般（由一般到特殊）等数学思想方法的灵活运用。

三、自主梳理
1.函数的奇偶性
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
3.奇偶性常见结论
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.
4.函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).
(2)若f (x ＋a )＝
1
f （x ）
，则T ＝2a (a >0). (3)若f (x ＋a )＝－1
f （x ），则T ＝2a (a >0).
5.对称性的三个常用结论
(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称.
(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称.
(3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b ，0)中心对称. 四、真题感悟
1.（2021新高考1卷） 已知函数()()
322x x
x a f x -=⋅-是偶函数，则a =______.
2.（2021全国乙卷理）设函数1()1x
f x x
-=
+，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. ()11f x -- B. ()11f x -+ C. ()11f x +- D. ()11f x ++ 3.（2021全国甲卷理） 设函数()f x 的定义域为R ，
()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函
数，当[]
1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（ ） A. 94
-
B. 32
-
C.
74 D.
52
4（2021浙江卷）
. 已知函数2
1
(),()sin 4
f x x
g x x =+=，则图象为如图的函数可能是（ ）
A. 1()()4
y f x g x =+- B. 1()()4
y f x g x =-- C. ()()y f x g x =
D. ()
()
g x y f x =
5.（2020山东8）若定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞单调递减，且(2)0f =，则满足
(1)0xf x -≥的x 的取值范围是 （ ）
A ．[][)1,13,-+∞
B ．[][]3,10,1--
C ．[][)1,01,-+∞
D ．[]
[]1,01,3-
6.(2018全国卷Ⅱ)已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)-=+f x f x ． 若(1)2=f ，则(1)(2)(3)(50)++++=…f f f f
A ．50-
B ．0
C ．2
D ．50
五、高频考点+重点题型 考点一、奇偶性的判定
例1．下列四个函数中既是奇函数，又是增函数的是（ ） A ．()ln x
f x x
=
B ．32()f x x x =+
C ．()||f x x x =-
D ．)
()lg
f x x =-
对点训练1.（2021·四川成都市·石室中学高二期中（理））已知函数()2x
x
f x e e
x -=--，
若不等式()
()2
120f ax f ax +-≥对x R ∀∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(]0,e
B ．[]0,e
C ．(]0,1
D ．[]0,1
对点训练2.【2020年高考浙江】函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]上的图象可能是
对点训练3.(2021·湖北省丹江口市一中模拟)设f (x )＝e x ＋e －x ，g (x )＝e x －e －
x ，f (x )，g (x )的定义域均为R ，下列结论错误的是( )
A ．|g (x )|是偶函数
B ．f (x )g (x )是奇函数
C ．f (x )|g (x )|是偶函数
D ．f (x )＋g (x )是奇函数
4.【2020·全国Ⅱ卷】设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x ) A ．是偶函数，且在1(,)2
+∞单调递增
B ．是奇函数，且在11
(,)22
-
单调递减 C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增 D ．是奇函数，且在1
(,)2
-∞-单调递减
考点二、利用奇偶性求解析式
例2.（1）(2019·全国卷Ⅱ)设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x <0时，f (x )＝
( )
A ．e －
x －1 B ．e －
x ＋1 C ．－e －
x －1 D ．－e －
x ＋1
（2）（2019·北京高考真题（理））设函数f （x ）=e x +a e −x （a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则f （x ）=________
对点训练1.设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2
2()log (1)1
f x x ax a =++-+(a 为常数)，则不等式(35)2f x +>-的解集为（ ） A ．(),1-∞-
B ．()1,+-∞
C ．(),2-∞-
D ．()2,+-∞
对点训练2．设奇函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且f （1）0=，则不等式()()
f x f x x
--<的解集为( )
A ．(1-，0)(1⋃，)+∞
B ．(-∞，1)(0-⋃，1)
C ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞
D ．(1-，0)(0⋃，1)
考点三、利用奇偶性画函数图像
例3. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2－5x ，则不等式f (x －1)>f (x )的解集为________．
对点训练1．（2019·全国高考真题（理））函数3
222
x x
x y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．
C ．
D ．
对点训练2．（2021·安徽池州市·池州一中高三其他模拟（理））若定义在R 上的奇函数()f x 在()0,∞+上单调递增，且()20f =，则不等式()10xf x -≤的解集为（ ）
A ．(][),13,-∞-+∞
B ．(][],11,3-∞-
C ．[]
[]1,01,3-
D ．[]
[)1,03,-+∞
考点四、周期性判定与作用 例4．（1）已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且当x ∈(2，4)时，f (x )＝x 3－3x ，
则f (2 021)等于( )
A. 2
B. －18
C. 18
D. －2
（2）设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则当x ∈[1，2]时，f (x )＝________． 对点训练1.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，满足()()2f x f x +=，当[]0,1x ∈时，
()π
cos
2
f x x =，则函数()y f x x =-的零点个数是（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
对点训练2.已知定义域为R 的函数()f x 满足：①图象关于原点对称；②3()2f x f x ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
；③当30,4x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
时，2()log (1)f x x m =++.若2(2020)log 3f =，则m =（ ） A ．1-
B ．1
C ．2-
D ．2
对点训练3．（2021·江苏南通市·高三一模）已知()f x 是定义在R 上的函数，()22f =，且对任意的x ∈R ，都有()()33f x f x +≥+，()()11f x f x +≤+，若
()()1g x f x x =+-，则()2020g =（ ）
A ．2020
B ．3
C ．2
D ．1
考点五、函数的奇偶性、周期性、单调性综合应用
例5（1）定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (－x )，且f (x )＝f (x ＋6)，当x ∈[0，3]时，f (x )单
调递增，则f (x )在下列哪个区间上单调递减( )
A ．[3，7]
B ．[4，5]
C ．[5，8]
D ．[6，10] （2）已知函数f (x )＝e x －
1－e －x ＋
1，则下列说法正确的是( )
A ．函数f (x )的最小正周期是1
B ．函数f (x )是单调递减函数
C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝1轴对称
D ．函数f (x )的图象关于(1，0)中心对称 对点训练1．（多选题）（2020·全国高考真题（理））关于函数f （x ）=1
sin sin x x
+有如下四个命题：
A 、f （x ）的图象关于y 轴对称．
B 、f （x ）的图象关于原点对称．
C 、f （x ）的图象关于直线x =
2
π
对称． D 、f （x ）的最小值为2． 其中所有真命题的是（ ）．
对点训练2.函数()2cos x x x
f x -=的部分图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
对点训练3.(2021·河北模拟)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且在[－1,0]上单调递减．设a ＝f (－2.8)，b ＝f (－1.6)，c ＝f (0.5)，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A ．a >b >c
B ．c >a >b
C ．b >c >a
D ．a >c >b 巩固训练
一、单项选择题
1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A ．y ＝1＋x 2
B ．y ＝x ＋1x
C ．y ＝2x ＋1
2
x D ．y ＝x ＋e x ．
2．若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4) 的值是（ ） A. 1- B. 0 C. 1 D. 3．
3．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是（ ） A. 1- B.
1
3
C. 0
D. 3． 4．已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于________． 5．已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是（ ）
A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1)
D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0) 6．设定义在R 上的函数f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝13，若f (1)＝2，则f (99)＝________． A. 1 B. 2 C. 0 D. 13
2
． 二、多项选择题
7．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝－f (x )，且函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －3
4为奇函数，则以下结论正确的是（ ）
A ．函数f (x )是周期函数；
B ．函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－3
4，0对称； C ．函数f (x )为R 上的偶函数； D ．函数f (x )为R 上的单调函数．
8．已知f (x )是定义域为R 的奇函数，且函数f (x ＋2)为偶函数，则下列结论正确的是( ) A ．函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称 B ．f (4)＝0
C ．f (x ＋8)＝f (x )
D ．若f (－5)＝－1，则f (2019)＝－1 三、填空题
9．设奇函数f (x )的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f (1)≥1，f (2)＝2a －3
a ＋1
，
则a 的取值范围是________．
10．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2
x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R ．若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫
32，则a ＋3b 的值为________． 四、解答题
11．设f (x )＝e x ＋a e －
x (a ∈R ，x ∈R )． (1)讨论函数g (x )＝xf (x )的奇偶性；
(2)若g (x )是偶函数，解不等式f (x 2－2)≤f (x )．
12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，
x 2＋mx ，x <0是奇函数．
(1)求实数m 的值；
(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．
专题07函数的奇偶性和周期性--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型解析 四、真题感悟
1.（2021新高考1卷） 已知函数()()
322x x
x a f x -=⋅-是偶函数，则a =______.
【答案】1 【解析】
【分析】利用偶函数的定义可求参数a 的值.
【详解】因为()()322x x x a f x -=⋅-，故()()
322x x f x x a --=-⋅-，
因为()f x 为偶函数，故()()f x f x -=， 时()()3
32
222x
x x x x
a x a --⋅-=-⋅-，整理得到()()12+2=0x x a --，
故1a =， 故答案为：1
2.（2021全国乙卷理）设函数1()1x
f x x
-=
+，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. ()11f x -- B. ()11f x -+ C. ()11f x +- D. ()11f x ++ 【答案】B
【解析】由题意可得12
()111x f x x x
-=
=-+++， 对于A ，()2
112f x x
--=
-不是奇函数； 对于B ，()2
11f x x
-=
+是奇函数； 对于C ，()2
1122
f x x +-=
-+，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D ，()2
112
f x x ++=+，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 故选：B
3.（2021全国甲卷理） 设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函
数，当[]
1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（ ） A. 94
-
B. 32
-
C.
74 D.
52
【答案】D 【解析】通过
()1f x +是奇函数和()2f x +是偶函数条件，可以确定出函数解析式
()222f x x =-+，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】因为
()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+Ⅱ；
因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+Ⅱ．
令1x =，由Ⅱ得：()()()024f f a b =-=-+，由Ⅱ得：()()31f f a b ==+， 因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，
令0x =，由Ⅱ得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()2
22f x x =-+．
思路一：从定义入手．
9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫
-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 511322=2222f f f f ⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
所以935
222
f f ⎛⎫
⎛⎫=-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T
=
．所以9135
2222
f f f ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫==-=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．
故选：D ．
4（2021浙江卷）
. 已知函数2
1
(),()sin 4
f x x
g x x =+=，则图象为如图的函数可能是（ ）
A. 1()()4
y f x g x =+- B. 1()()4
y f x g x =-- C. ()()y f x g x = D. ()
()
g x y f x =
【答案】D 【解析】
【分析】由函数的奇偶性可排除A 、B ，结合导数判断函数的单调性可判断C ，即可得解. 【详解】对于A ，()()21
sin 4
y f x g x x x =+-=+，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ；
对于B ，()()21
sin 4
y f x g x x x =--=-，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ；
对于C ，()()2
1sin 4y f x g x x x ⎛⎫==+
⎪⎝⎭，则212sin cos 4y x x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝
⎭，
当4x π=时，2102164y π
π⎛⎫'=++> ⎪⎝⎭，与图象不符，排除C. 故选：D.
5.（2020山东8）若定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞单调递减，且(2)0f =，则满足
(1)0xf x -≥的x 的取值范围是
（ ）
A ．[][)1,13,-+∞
B ．[][]3,10,1--
C ．[][)1,01,-+∞
D ．[]
[]1,01,3-
【答案】D
【解析】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =， 所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =， 所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)
(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，
所以由(10)xf x -≥可得：021012x x x <⎧⎨-≤-≤-≥⎩或或0
01212x x x >⎧⎨≤-≤-≤-⎩
或或0x =
解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[][]1,01,3-，故
选D ．
6.(2018全国卷Ⅱ)已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)-=+f x f x ． 若(1)2=f ，则(1)(2)(3)(50)++++=…f f f f
A ．50-
B ．0
C ．2
D ．50
【答案】C
【解析】∵()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，()()-=-f x f x ．且(0)0=f ．∵
(1)(1)-=+f x f x ，∴()(2)=-f x f x ，()(2)-=+f x f x ，∴(2)()+=-f x f x ，∴
(4)(2)()+=-+=f x f x f x ，
∴()f x 是周期函数，且一个周期为4，∴(4)(0)0==f f ，(2)(11)(11)(0)0=+=-==f f f f ，(3)(12)f f =+ =(12)(1)2f f -=-=-，∴(1)(2)(3)(50)120(49)(50)(1)(2)2+++⋅⋅⋅+=⨯++=+=f f f f f f f f ，故选C ．
五、高频考点+重点题型 考点一、奇偶性的判定
例1．下列四个函数中既是奇函数，又是增函数的是（ ） A ．()ln x
f x x
=
B ．32()f x x x =+
C ．()||f x x x =-
D ．)
()lg
f x x =-
【答案】D 【详解】
对于A ，定义域为()0,∞+，不关于原点对称，所以不具奇偶性，故A 错误； 对于B ，因为()12f =，()10f -=，所以()f x 为非奇非偶函数，故B 错误； 对于C ，因为()11f =-，()11f -=，所以()f x 不是增函数，故C 错误；
对于D ，定义域为R ， 因为(
)
))
()lg
lg lg f x x x f x ⎛⎫-===--=，
所以()f x 是奇函数，
))
()lg
lg
f x x x =-=，
令x μ=
为增函数，
lg y μ=也是增函数，
所以)
()lg f x x =-是增函数.
故D 正确. 故选：D.
对点训练1.（2021·四川成都市·石室中学高二期中（理））已知函数()2x
x
f x e e
x -=--，
若不等式()
()2
120f ax f ax +-≥对x R ∀∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(]0,e
B ．[]0,e
C ．(]0,1
D ．[]0,1
答案：D 解：
()2x x f x e e x -=--的定义域为R 关于原点对称，
且()()2x
x f x e e x f x --=-+=-，
()f x ∴为R 上的奇函数，
又
()1
2x x
f x e e '=+
-，
而12x x e e +
≥， 当且仅当1
x
x e e =
，即
0x =时等号成立， 故()120x
x f x e e
'=+-≥恒成立，
故()f x 为R 上的增函数，
不等式()
()2
120f ax f ax +-≥对x R ∀∈恒成立，
即()()2
12f ax f ax ≥--对x R ∀∈恒成立， 即(
)
()2
21f ax f ax ≥-对x R ∀∈恒成立，
即221ax ax ≥-对x R ∀∈恒成立， 即2210ax ax -+≥对x R ∀∈恒成立， 当0a =时，不等式恒成立，
当0a ≠时，则()2
0240
a a a >⎧⎪
⎨∆=--≤⎪⎩ ， 解得：01a <≤， 综上所述：[]0,1a ∈. 故选：D.
对点训练2.【2020年高考浙江】函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]上的图象可能是
【答案】A
【解析】因为()cos sin f x x x x =+，则()()cos sin f x x x x f x -=--=-， 即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称， 据此可知选项CD 错误；
且x π=时，cos sin 0y ππππ=+=-<，据此可知选项B 错误，故选A 。

对点训练3.(2021·湖北省丹江口市一中模拟)设f (x )＝e x ＋e －
x ，g (x )＝e x －e －
x ，f (x )，g (x )的定义域均为R ，下列结论错误的是( )
A ．|g (x )|是偶函数
B ．f (x )g (x )是奇函数
C ．f (x )|g (x )|是偶函数
D ．f (x )＋g (x )是奇函数
【答案】D
【解析】f (－x )＝e －
x ＋e x ＝f (x )，f (x )为偶函数． g (－x )＝e －
x －e x ＝－g (x )，g (x )为奇函数．
|g (－x )|＝|－g (x )|＝|g (x )|，|g (x )|为偶函数，A 正确；f (－x )g (－x )＝f (x )[－g (x )] ＝－f (x )g (x )，
所以f (x )g (x )为奇函数，B 正确； f (－x )|g (－x )|＝f (x )|g (x )|， 所以f (x )|g (x )|是偶函数，C 正确； f (x )＋g (x )＝2e x ，
f (－x )＋
g (－x )＝2e －
x ≠－(f (x )＋g (x ))， 且f (－x )＋g (－x )＝2e －x ≠f (x )＋g (x )，
所以f (x )＋g (x )既不是奇函数也不是偶函数，D 错误，故选D. 4.【2020·全国Ⅱ卷】设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x ) A ．是偶函数，且在1(,)2
+∞单调递增
B ．是奇函数，且在11
(,)22
-
单调递减 C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增 D ．是奇函数，且在1
(,)2
-∞-单调递减
【答案】D
【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧
⎫≠±⎨⎬⎩⎭
，关于坐标原点对称，
又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，
()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；
当11,22x ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--， ()ln 21y x =+在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
上单调递增，()ln 12y x =-在11,22
⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递减，
()f x ∴在11,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递增，排除B ；
当1,2x ⎛⎫∈-∞-
⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛
⎫=----==+ ⎪--⎝⎭
，
2121x μ=+
-在1,2⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫
-∞- ⎪⎝⎭
上单调递减，D 正确。

总结：判断函数奇偶性的常用方法
(1)定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f (－x )＝±f (x )或其等价形式f (－x )±f (x )＝0是否成立．
(2)图象法：f (x )的图像关于原点对称，f (x )为奇函数；f (x )的图像关于y 轴对称，f (x )为偶函数。

(3)性质法：设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上： 奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 考点二、利用奇偶性求解析式
例2.（1）(2019·全国卷Ⅱ)设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x <0时，f (x )＝
( )
A ．e －
x －1 B ．e －
x ＋1 C ．－e －
x －1 D ．－e －
x ＋1
（2）（2019·北京高考真题（理））设函数f （x ）=e x +a e −x （a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则f （x ）=________ 【答案】（1）D （2）e x +e −x
;
【解析】（1）当x <0时，－x >0.因为当x ≥0时，f (x )＝e x －1，所以 f (－x )＝e －
x －1. 又因为 f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－e －
x ＋1.
（2）若函数()x x
f x e ae -=+为奇函数,则()()()
,x x x x f x f x e ae e ae ---=-+=-+，
()()1 0x x a e e -++=对任意的x 恒成立，a=-1.
对点训练1.设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2
2()log (1)1
f x x ax a =++-+(a 为常数)，则不等式(35)2f x +>-的解集为（ ） A ．(),1-∞- B ．()1,+-∞
C ．(),2-∞-
D ．()2,+-∞
【答案】D 【详解】
()f x 为定义在R 上的奇函数，
因为当0x 时，2
2()log (1)1f x x ax a =++-+，所以(0)10f a =-=，
故1a =，2
2()log (1)f x x x =++在[0，)+∞上单调递增，根据奇函数的性质可知()f x 在R
上单调递增，
因为()12f =，所以()()112f f -=-=-，
由不等式(35)2(1)f x f +>-=-可得，351x +>-，解可得，2x >-，故解集为(2,)-+∞ 故选：D ．
对点训练2．设奇函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且f （1）0=，则不等式()()
f x f x x
--<的解集为( )
A ．(1-，0)(1⋃，)+∞
B ．(-∞，1)(0-⋃，1)
C ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞
D ．(1-，0)(0⋃，1)
【答案】D
【解析】由奇函数()f x 可知
()()2()
0f x f x f x x x
--=<，即x 与()f x 异号，
而f （1）0=，则(1)f f -=-（1）0=，
又()f x 在(0,)+∞上为增函数，则奇函数()f x 在(,0)-∞上也为增函数， 当01x <<时，()f x f <（1）0=，得()
0f x x
<，满足； 当1x >时，()f x f >（1）0=，得
()
0f x x
>，不满足，舍去； 当10x -<<时，()(1)0f x f >-=，得()
0f x x
<，满足； 当1x <-时，()(1)0f x f <-=，得
()
0f x x
>，不满足，舍去； 所以x 的取值范围是10x -<<或01x <<．故选：D ．
总结：与函数奇偶性有关的求解析式、求函数值、求参数值等问题及解题策略 (1)求函数的值：利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解．
(2)求函数解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．
(3)求解析式中的参数值：在定义域关于原点对称的前提下，利用f (x )为奇函数Ⅱf (－x )＝－f (x )，f (x )为偶函数Ⅱf (x )＝f (－x )，列式求解，也可利用特殊值法求解．对于在x ＝0处有定义的奇函数f (x )，可考虑列等式f (0)＝0求解．
考点三、利用奇偶性画函数图像
例3. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2－5x ，则不等式f (x －1)>f (x )的解集为________． 【答案】 (－2，3)
在同一坐标系中分别作出函数y ＝f (x )与y ＝f (x －1)的图象(将函数y ＝f (x )的图 象向右平移一个单位长度得到y ＝f (x －1)的图象)，根据对称性可得，两个函数分别交于点(－
2，6)，(3，－6)，由图象可得f (x －1)>f (x )的解集为(－2，3).
对点训练1．（2019·全国高考真题（理））函数3
222
x x
x y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．
C ．
D ．
答案：B
【详解】设32()22x x x y f x -==+，则33
2()2()()2222x x x x
x x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又3
44
24(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；3
66
26(6)722
f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ． 对点训练2．（2021·安徽池州市·池州一中高三其他模拟（理））若定义在R 上的奇函数()f x 在()0,∞+上单调递增，且()20f =，则不等式()10xf x -≤的解集为（ ） A ．(]
[),13,-∞-+∞ B ．(][],11,3-∞-
C ．[][]1,01,3-
D ．[][)1,03,-+∞
答案：C
【详解】方法一、因为()10xf x -≤，所以()010x f x ≤⎧⎨-≥⎩或(
)0
10x f x ≥⎧⎨-≤⎩，
因为()f x 在()0,∞+上单调递增，且()20f =，
所以()00
1310012
x x x f x x ≥≥⎧⎧⇒⇒≤≤⎨
⎨-≤≤-≤⎩⎩，
因为()f x 在R 上为奇函数，
所以()f x 在(),0-∞上单调递增，且()20f -=，
因此()00
1010211
x x x f x x ≤≤⎧⎧⇒⇒-≤≤⎨
⎨-≥-≤-≤-⎩⎩，
综上：不等式()10xf x -≤的解集为[][]1,01,3-.
故选：C.
方法二、画出f(x −1)图像，即可解决问题
考点四、周期性判定与作用 例4．（1）已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且当x ∈(2，4)时，f (x )＝x 3－3x ，
则f (2 021)等于( )
A. 2
B. －18
C. 18
D. －2
（2）设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则当x ∈[1，2]时，f (x )＝________． 【答案】（1） B （2）log 2(3－x ). 【解析】（1） 因为f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，所以f (x )是周期为4的函数，所以f (2 021)＝f (505×4＋1)＝f (1)＝f (－3)，因为f (x )是奇函数，且当x ∈(2，4)时，f (x )＝x 3－3x ，所以f (－3)＝－f (3)＝－(33－3×3)＝－18，故f (2 021)＝－18. （2）当x ∈[1，2]时，x －2∈[－1，0]，2－x ∈[0，1]，又f (x )在R 上是以2为周期的偶函数，所以f (x )＝f (x －2)＝f (2－x )＝log 2(2－x ＋1)＝log 2(3－x ).
对点训练1.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，满足()()2f x f x +=，当[]0,1x ∈时，
()π
cos
2
f x x =，则函数()y f x x =-的零点个数是（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．5
【答案】A 【详解】
∵()()2f x f x +=，则函数()f x 是周期2T =的周期函数． 又∵函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且[]0,1x ∈时，()π
cos 2
f x x =， ∵当[)1,0x ∈-时，()()ππcos cos 22f x f x x x ⎛⎫
=-=-
= ⎪⎝⎭
，
令()0f x x -=，则函数()y f x x =-的零点个数即为函数()y f x =和()g x x =的图象交点个数，
分别作出函数()y f x =和()g x x =的图象，如下图，
显然()f x 与()g x 在[)1,0-上有1个交点，在0,1上有一个交点， 当1x >时，()1g x >，而()1f x ≤， 所以1x >或1x <-时，()f x 与()g x 无交点．
综上，函数()y f x =和()g x x =的图象交点个数为2，即函数()y f x x =-的零点个数是2． 故选：A
对点训练2.已知定义域为R 的函数()f x 满足：①图象关于原点对称；②3()2f x f x ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
；③当30,4x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
时，2()log (1)f x x m =++.若2(2020)log 3f =，则m =（ ） A ．1-
B ．1
C ．2-
D ．2
【解析】由①可知函数()f x 为奇函数，又33()22f x f x f x ⎛⎫
⎛
⎫=-=--
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
故3(3)()2f x f x f x ⎛
⎫+=-+= ⎪⎝
⎭，即函数()f x 的周期为3，
∴2
213
(2020)(1)log log 322
f f f m ⎛⎫===+= ⎪⎝⎭
，解得1m =.故选：B. 对点训练3．（2021·江苏南通市·高三一模）已知()f x 是定义在R 上的函数，()22f =，且对任意的x ∈R ，都有()()33f x f x +≥+，()()11f x f x +≤+，若
()()1g x f x x =+-，则()2020g =（ ）
A ．2020
B ．3
C ．2
D ．1
4．D
【详解】因为对任意的x ∈R ，都有()()33f x f x +≥+，()()1g x f x x =+-， 所以()()()33113g x x g x x +++-≥+-+，即()()3g x g x +≥. 又对任意的x ∈R ，()()11f x f x +≤+，
所以()()()11111g x x g x x +++-≤+-+，即()()1g x g x +≤， 所以()()()()321g x g x g x g x ≤+≤+≤+，即()()1g x g x ≤+， 所以()()1g x g x +=，从而()g x 是周期为1的周期函数. 又()()22121g f =+-=，所以()()202021g g ==. 故选：D 总结：
1.求解与函数的周期性有关的问题，一定注意周期性的功能，是把远离原点的函数相关性质转化到原点附近研究．
2.周期性的判定：
（1）通过递推关系式判断，（2）如果发现一个函数的图象具有两个对称性，那么这个函数一定具有周期性．
考点五、函数的奇偶性、周期性、单调性综合应用
例5（1）定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (－x )，且f (x )＝f (x ＋6)，当x ∈[0，3]时，f (x )单
调递增，则f (x )在下列哪个区间上单调递减( )
A ．[3，7]
B ．[4，5]
C ．[5，8]
D ．[6，10] （2）已知函数f (x )＝e x －
1－e －x ＋
1，则下列说法正确的是( )
A ．函数f (x )的最小正周期是1
B ．函数f (x )是单调递减函数
C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝1轴对称
D ．函数f (x )的图象关于(1，0)中心对称
答案（1）B （2）D
解析（1）依题意知，f (x )是偶函数，且是以6为周期的周期函数．因为当x ∈[0，3]时，
f (x )单调递增，所以f (x )在[－3，0]上单调递减．根据函数周期性知，函数f (x )在[3，6]
上单调递减．又因为[4，5]⊆[3，6]，所以函数f (x )在[4，5]上单调递减． （2）函数f (x )＝e x －
1－e －x ＋1
，即f (x )＝e x －1－1e
x －1，可令t ＝e x －
1，即有y ＝t －1t ，由y ＝t －1t 在
t ＞0单调递增，t ＝e x
－1在R 上单调递增，可得函数f (x )在R 上为增函数，则A ，B 均错误；
由f (2－x )＝e 1－
x －e x －1，可得f (x )＋f (2－x )＝0，即有f (x )的图象关于点(1，0)对称，则C 错误，D 正确．故选D ．
对点训练1．（多选题）（2020·全国高考真题（理））关于函数f （x ）=1
sin sin x x
+有如下四个命题：
A 、f （x ）的图象关于y 轴对称．
B 、f （x ）的图象关于原点对称．
C 、f （x ）的图象关于直线x =
2
π
对称． D 、f （x ）的最小值为2． 其中所有真命题的是（ ）． 答案：BC
【详解】对于命题A ，1
52622f π⎛⎫=+=
⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫
-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫
-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；
对于命题B ，函数()f x 的定义域为{}
,x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，
()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛
⎫-=-+
=--=-+=- ⎪-⎝
⎭，
所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题C ，
11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+
⎪ ⎪⎛⎫
⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭
， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫
+=++=+
⎪ ⎪⎛⎫
⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭
，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫
-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以，函数()f x 的图象关于直线2
x π=
对称，命题③正确；
对于命题D ，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1
sin 02sin f x x x
=+<<， 命题D 错误. 故答案为：BC
对点训练2.函数()2cos x x x
f x
-=的部分图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【详解】根据题意，()2cos x x x
f x
-=，必有cos 0x ≠，则有2x k ππ≠+，
在区间(),ππ-上，有2
x π
≠±
，排除C ， 在区间()0,1上，()2
2
10x x x x x x -=-=-<，cos 0x >，()0f x <，排除BD. 故选：A.
对点训练3.(2021·河北模拟)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且在[－1,0]上单调递减．设a ＝f (－2.8)，b ＝f (－1.6)，c ＝f (0.5)，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A ．a >b >c
B ．c >a >b
C ．b >c >a
D ．a >c >b
【答案】D
【解析】因为偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为2.所以a ＝f (－2.8)＝f (－0.8)，b ＝f (－1.6)＝f (0.4)＝f (－0.4)，c ＝ f (0.5)＝f (－0.5)．因为－0.8<－0.5<－0.4，且函数f (x )在[－1,0]上单调递减，所以a >c >b .故选D ． 总结：函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略
(1)函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性。

(2)周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解。

(3)单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解。

巩固训练
一、单项选择题
1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A ．y ＝1＋x 2
B ．y ＝x ＋1x
C ．y ＝2x ＋1
2x D ．y ＝x ＋e x ．
答案： D
解析： 令f (x )＝x ＋e x ，则f (1)＝1＋e ，f (－1)＝－1＋e －
1，即f (－1)≠f (1)，f (－1)≠－f (1)，所以y ＝x ＋e x 既不是奇函数也不是偶函数，而①，②，③依次是偶函数、奇函数、偶函数． 2．若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4) 的值是（ ） A. 1 B. 0 C. 1 D. 3． 答案： A
解析： 由f (x )是R 上周期为5的奇函数知 f (3)＝f (－2)＝－f (2)＝－2， f (4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1， ∴f (3)－f (4)＝－1．
3．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是（ ）
A. 1-
B. 1
3
C. 0
D. 3． 答案： B
解析： 依题意b ＝0，且2a ＝－(a －1)， ∴a ＝13，则a ＋b ＝13
．
4．已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于________． 答案：3
解析：由已知可得，－f (1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (1)＝4，两式相加解得，g (1)＝3． 5．已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是（ ）
A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1)
D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0) 答案：C
解析：将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )
的图像，如图，观察图像可知，函数f (x )的图像关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．
6．设定义在R 上的函数f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝13，若f (1)＝2，则f (99)＝________． A. 1 B. 2 C. 0 D. 13
2
． 答案： D
解析： 由f (x )·f (x ＋2)＝13得f (x ＋2)＝13f x ，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝13
f x ＋2＝f (x )．
∴f (x )是以4为周期的周期函数．
∴f (99)＝f (25×4－1)＝f (－1)＝13f 1＝13
2．
二、多项选择题
7．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝－f (x )，且函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －3
4为奇函数，则以下结论正确的是（ ）
A ．函数f (x )是周期函数；
B ．函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－3
4，0对称； C ．函数f (x )为R 上的偶函数； D ．函数f (x )为R 上的单调函数． 答案： ABC
8．已知f (x )是定义域为R 的奇函数，且函数f (x ＋2)为偶函数，则下列结论正确的是( ) A ．函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称 B ．f (4)＝0
C ．f (x ＋8)＝f (x )
D ．若f (－5)＝－1，则f (2019)＝－1
答案 BCD
解析 根据题意，f (x )是定义域为R 的奇函数，则f (－x )＝－f (x )，又由函数f (x ＋2)为偶函数， 则函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，则有f (－x )＝f (4＋x )，则有f (x ＋4)＝－f (x )，即f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，则函数f (x )是周期为8的周期函数；据此分析选项： 对于A ，函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，A 错误；
对于B ，f (x )是定义域为R 的奇函数，则f (0)＝0，又由函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，则f (4)＝0，B 正确；
对于C ，函数f (x )是周期为8的周期函数，即f (x ＋8)＝f (x )，C 正确； 对于D ，若f (－5)＝－1，则f (2019)＝f (－5＋2024)＝f (－5)＝－1，D 正确． 三、填空题
9．设奇函数f (x )的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f (1)≥1，f (2)＝2a －3a ＋1
，
则a 的取值范围是________． 答案： ⎝
⎛⎦⎤－1，23 10．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2
x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R ．若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫
32，则a ＋3b 的值为________． 答案：－10
解析：因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12，且f (－1)＝f (1)，故f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12，从而1
2b ＋212＋1＝－1
2
a ＋1，即3a ＋2
b ＝－2．① 由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋2
2，即b ＝－2a ．②
由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10． 四、解答题
11．设f (x )＝e x ＋a e －
x (a ∈R ，x ∈R )． (1)讨论函数g (x )＝xf (x )的奇偶性；
(2)若g (x )是偶函数，解不等式f (x 2－2)≤f (x )．
解 (1)a ＝1时，f (x )＝e x ＋e －
x 是偶函数，所以g (x )＝xf (x )是奇函数； a ＝－1时，f (x )＝e x －e －
x 是奇函数，所以g (x )＝xf (x )是偶函数．
a ≠±1，由f (x )既不是奇函数又不是偶函数，得g (x )＝xf (x )是非奇非偶函数．
(2)当g (x )是偶函数时，a ＝－1，f (x )＝e x －e －
x 是R 上的单调递增函数，于是由f (x 2－2)≤f (x )得x 2－2≤x ，即x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2． 12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，
x 2＋mx ，x <0是奇函数．
(1)求实数m 的值；
(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解：(1)设x <0，则－x >0，
所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x ．又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2． (2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，
结合f (x )的图像知⎩
⎪⎨⎪⎧
a －2>－1，
a －2≤1，
所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．。