九年级下华东师大版反证法教案
数学九年级下华东师大版29.2反证法讲学稿
29.2反证法讲学稿内容：反证法课型：新授第1课时姓名________【学习目标】知识与能力：通过实例，体会反证法的含义情感、态度、价值观：在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性.【学习重难点】【学习过程】一．学前准备：1.自学课本80页到81页，写下疑惑摘要：2. 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°二、自学、合作探究1、用具体例子让学生体会反证法的思路思考：在△ABC中，已知AB＝c，BC＝a，CA＝b，且∠C≠90°.求证；a2＋b2≠c2.假设a2＋b2＝c2，则由勾股定理的逆定理可以得到∠C＝90°，这与已知条件∠C≠90°产生矛盾，因此，假设a2＋b2＝c2是错误的.所以a2＋b2≠c2是正确的.2、由上述的例子归纳反证法的步骤2．从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、巳证的定理、定义或已知条件矛盾；三、例题讲解例1．求证两条直线相交只有一个交点.例二．试证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行.四、学习体会五、自我测试1.求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么他们所对的边也不等.2.求证：一个五边形不可能有4个内角为锐角.六、板书设计七、自我提高1．“a<b”的反面应是（）A．a≠b B．a>b C．a=b D．a=b或a>b2．用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（）A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于cC．a⊥b D．a与b相交4．用反证法证明“若│a│<2，则a<4”时，应假设__________．5．请说出下列结论的反面:（1）d是正数; （2）a≥0; （3）a<5．6．如下左图，直线AB，CD相交，求证：AB，CD只有一个交点．证明：假设AB，CD相交于两个交点O与O′，那么过O，O′两点就有_____条直线，这与“过两点_______”矛盾，所以假设不成立，则________．7．完成下列证明．如上右图，在△ABC中，若∠C是直角，那么∠B一定是锐角．证明：假设结论不成立，则∠B是______或______．当∠B是____时，则_________，这与________矛盾；当∠B是____时，则_________，这与________矛盾．综上所述，假设不成立．∴∠B一定是锐角．8．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，•应先假设这个三角形中（）A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60° C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°10. 已知：如图，设点A、B、C在同一条直线l上.求证：经过A、B、C三点不能作一个圆.11. 三角形内角中至多有一个内角是钝角.12. 求证：圆内两条不是直径的弦不能互相平分.13.求证：一个三角形中不能有两个直角.八、学（教）后感。
华师版反证法
华师版反证法
反正法教案教学目标
(1)深化学生对”反证法”的掌握，进一步明确反证法证明命题的思路和步骤．
(2)能应用反证法证明一些简单的数学命题．
教学重点和难点
重点：对反证法证题的几个步骤的理解和掌握．
难点：反证法证题中在推理过程中发现矛盾．
教学过程设计
(一)复习提问：
想想大家在初中学过、用过的”反证法”是一种怎样的推理方法？它的
主要步骤是什幺？
(二)引入新课，教师总结提问．
同学们在初中学过、用过”反证法”．”反证法”是一种间接证法，对一
些从正面进行推理困难的命题，我们经常用”反证法”去进行证明．用”反证法”证明命题的步骤是：
(1)假设命题的结论不成立，我们假设命题的反面成立；
(2)从假设命题的反面成立出发，应用已知条件及公理、定理、法则进行推理，产生矛盾．(与已知条件矛盾，与已知的公理、定理矛盾，推理过程中自相矛盾)
(3)由矛盾判定假设不正确，从而推断命题的结论正确．
下面通过例题及练习带动同学们进一步掌握”反证法”
这样我们得到a＜b，与已知条件矛盾．例2 用反证法证。
29.2(第一课时)反证法的概念及其证题步骤课件 华东师大版课件
例3：若a，b，c是实数， A=2a-2b+ ，B=2b-2c+ ，C=2c-2a+ 。 3 6 2 求证：A、B、C中至少有一个的值大于0。 证明：假设A，B，C没有一个的值大于0； 则：A≤0，B≤0，C≤0； ∴A+B+C≤0············································ “至少有一个”的意思是：有一个或两个或三 · · · · ① 但 A+ B+C=2a-2b+ 2 +2b-2c+ 3 +2c-2a+ 6 个，而它的反面是“一个都没有”
B
A
C
于是∠ A+∠B+ ∠C= ∠ A +180°＞180°,
这与三角形的内角和等于180°相矛盾; ②当∠B是钝角，即∠B ＞ 90°时, ∠B+ ∠C ＞ 90° +90°=180°, 于是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ A+∠B+ ∠C ＞ ∠ A +180°＞180°,
综合① 和②知假设不成立,
所以∠B一定是锐角.
这与三角形的内角和等于180° 相矛盾;
2.反证法证明命题的步骤
例：垂直于同一条直线的两直线平行。 已知：如图，直线a⊥l，b⊥l，求证：a∥b。 证明：（反证法） a b 假设直线 a不平行b，那么 在平面内，a和b就应该 l 相交，设交点为P。 ∵a⊥l，b⊥l，而a和b相交于点 · P，那么经过一点P就有两条直 P 线和直线l垂直，这与“经过 一点有且只有一条直线和已知 直线垂直”相矛盾，故a和b相 交是错误的。 ∴ a∥ b
反设
、
归谬
结论
“趁热打铁”
反证法教案 (1)
反证法一、教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．二、教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程．三、教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法．四、教学过程：（一）复习准备：1．讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次）2．提出问题：平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆”．讨论如何证明这个命题？点，则O在AB的中垂线l上，O又在B C的中垂线m上，即O是l与m的交点．但∵A、B、C共线，∴l∥m(矛盾)∴过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆．（二）讲授新课：1．教学反证法概念及步骤：①练习：仿照以上方法，证明：如果a>b>0，那么ba②提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立．证明基本步骤：假设原命题的结论不成立→从假设出发，经推理论证得到矛盾→矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）．方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实．注：结合准备题分析以上知识．2．教学例题：①出示例1：求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分．分析：如何否定结论？→如何从假设出发进行推理？→得到怎样的矛盾？与教材不同的证法：反设AB、CD被P平分，∵P不是圆心，连结O P，则由垂径定理：O P⊥AB，O P⊥CD，则过P有两条直线与OP垂直（矛盾），∴不被P平分．（同上分析→板演证明，提示：有理②出示例2数可表示为/m n）=（m,n为互质正整数），/m n从而：2m n=，22(/)3=，可见m是3的倍数．3m n设m=3p（p是正整数），则222==，可见n也是3的倍数．39n m p这样，m, n就不是互质的正整数（矛盾）．=/m n数．③练习：如果1a+为无理数，求证a是无理数．提示：假设a为有理数，则a可表示为/p q（,p q为整数），即/=．a p q由1()/+=+，则1a p q qa+也是有理数，这与已知矛盾．∴a是无理数．3．小结：反证法是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．注意证明步骤和适应范围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题）．。
华师大版九年级下册证明教案
第27章证明本章用逻辑推理的方法对以前曾用直观感知、操作说理得到的有关三角形、四边形的一些命题重新进行了研究。
通过对证明的方法与步骤的介绍，让学生充分地感受到用直观感知、操作说理的方法是研究几何图形属性的重要方法，而用逻辑推理的方法也是研究几何图形属性的重要方法。
一、教学目标：1．进一步了解证明的含义，理解证明的必要性，掌握证明的书写格式，能灵活地应用学得的公理、定理、定义进行逻辑推理。
2．理解逆命题、逆定理的概念，会识别互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立。
3．体会反证法的含义，了解使用反证法证明一个命题的步骤。
4．通过对欧几里得的介绍，感受几何的演绎体系对数学发展的价值。
二、教材特点：1. 限制内容：教材中用逻辑推理方法研究的几何图形仅限于三角形、四边形。
2. 控制难度：教材中所选例题、练习题和习题均经过挑选，难度适中。
3．重视分析：在许多命题的证明过程中，教材充分重视分析过程。
4．留有余地：教材为学生留下了一定的自行探索研究的空间，将一些难度适中的命题证明留给了学生自行完成，充分调动学生的学习积极性。
教材中的阅读材料、课题学习：中点四边形，都为学生留下自行探索、想象的空间。
三、知识结构图：四、课时安排：§27.1 证明的再认识---------------2课时§27.2 用推理方法研究三角形-------6课时§27.3 用推理方法研究四边形-------8课时复习-----------------------------2课时课题学习中点四边形--------------2课时五、教学建议：§27.1 证明的再认识1．本节首先回顾了探索几何图形性质的常用的两种方法：（1）通过看一看，画一画，比一比，量一量，算一算，想一想，猜一猜，并在实验、操作中对它们作出解释的方法。
（2）用逻辑推理的方法。
其次指出逻辑推理需要依据，我们试图用最少的几条基本事实作为逻辑推理的最原始的依据，从而根据全日制义务教育数学课程标准给出了本教材所规定的公理。
反证法教案
反证法教案教学目标：1.了解反证法的概念和基本思想。
2.通过反证法的实例演示，培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
3.能够应用反证法解决实际问题。
教学重点：1.明确反证法的概念和基本思想。
2.学会运用反证法解决实际问题。
教学难点：1.理解反证法的思想和方法。
2.运用反证法解决实际问题。
教学方法：1.讲授法。
2.案例分析法。
教学过程：一、引入教师可以通过以下问题引入反证法：1.当我们想证明一个命题时，有哪些方法可以使用？2.如果一个命题是假的，我们如何证明它是假的？二、讲解反证法的概念和基本思想1.反证法的概念反证法是一种证明方法，它是一种通过假设命题的反面，然后推出矛盾的方法，从而证明原命题是成立的。
2.反证法的基本思想反证法的基本思想是：如果一个命题是假的，那么它的反命题就是真的。
因此，我们可以假设原命题的反面是成立的，然后推导出矛盾，从而证明原命题是成立的。
三、案例演示教师可以通过以下实例演示反证法的应用：例1. 证明：根号2是无理数。
假设根号2是有理数，即根号2=a/b（a、b互质），则有2=a^2/b^2，即a^2=2b^2。
因此，a是偶数，设a=2k，则2b^2=a^2=4k^2，即b^2=2k^2。
因此，b也是偶数，与a、b互质矛盾。
因此，假设不成立，根号2是无理数。
例2. 证明：不存在最大的素数。
假设存在最大的素数p，那么p+1不是素数。
因为p+1是大于1的整数，所以它可以分解成若干个素数的积，即p+1=a1×a2×a3×…×an。
因为p是最大的素数，所以p 不可能是a1、a2、a3、…、an中的任何一个，因此，p+1不可能是素数，与假设矛盾。
因此，假设不成立，不存在最大的素数。
四、课堂练习教师可以让学生通过以下题目练习反证法的应用：1.证明：根号3是无理数。
2.证明：不存在两个相邻的自然数，它们的平方和是完全平方数。
3.证明：不存在有理数x和y，满足x^2=2y^2。
反证法初中教案
反证法初中教案教学目标：1. 让学生了解反证法的概念和基本步骤。
2. 培养学生运用反证法解决问题的能力。
3. 提高学生逻辑思维能力和创新意识。
教学重点：1. 反证法的概念和基本步骤。
2. 运用反证法解决问题的方法。
教学难点：1. 反证法的逻辑推理过程。
2. 灵活运用反证法解决实际问题。
教学准备：1. 反证法的课件和教学素材。
2. 练习题和案例分析。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾已学过的证明方法，如直接证明、综合法、演绎法等。
2. 提问：有没有同学听说过反证法？反证法是什么？二、新课讲解（20分钟）1. 介绍反证法的概念：反证法是一种从反面出发，通过假设结论不成立，然后推理出矛盾，从而证明结论成立的证明方法。
2. 讲解反证法的基本步骤：（1）假设结论不成立。
（2）从假设出发，推理出矛盾。
（3）由矛盾得出结论不成立，从而证明原结论成立。
三、案例分析（15分钟）1. 给出一个简单的案例，让学生运用反证法进行解答。
案例：证明：对任意正整数n，都有n²+n+41是质数。
证明：（1）假设存在一个正整数n，使得n²+n+41不是质数。
（2）那么n²+n+41至少有一个大于1且小于n²+n+41的因数。
（3）设这个因数为k，则1<k<n²+n+41。
（4）将k代入n²+n+41，得到n²+n+41=k。
（5）将n²+n+41=k代入原式，得到n²+n+41=n²+n+41-k。
（6）化简得到k=41。
（7）但41是质数，与假设矛盾。
（8）因此，假设不成立，原结论成立。
四、练习与讨论（10分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固反证法的应用。
2. 组织学生进行讨论，分享解题心得和经验。
五、总结与拓展（5分钟）1. 总结反证法的概念和基本步骤。
2. 强调反证法在数学研究和实际问题中的应用价值。
初三数学29. 1 几何问题的处理方法;29. 2 反证法知识精讲华东师大版
初三数学29. 1 几何问题的处理方法；29. 2 反证法知识精讲华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：§29. 1 几何问题的处理方法§29. 2 反证法二. 重点、难点：1. 重点：⑴进一步了解证明的含义，理解证明的必要性，掌握证明的书写格式，能灵活地应用所学的公理、定理、定义进行逻辑推理，提高演绎推理的能力．⑵掌握运用等腰三角形的判定和性质定理．⑶理解和掌握平行四边形、特殊平行四边形以及等腰梯形的性质定理和判定定理．会用逻辑推理的方法进行证明．⑷了解反证法的概念，掌握反证法证明几何命题的思想和步骤．2. 难点：⑴有些命题可以通过观察和实验得到，但也有些命题仅仅通过观察和实验是不够的，从而说明证明的必要性．所以理解证明的必要性和能够证明一个命题是本单元的重难点．⑵在证明过程中，如何添加适当的辅助线也是本单元的难点之一．三. 知识梳理：1. 研究几何图形性质的方法前面我们已经学习了许多几何图形的性质，在认识这些图形的性质时，常常采用量一量、算一算、猜一猜等方法，这是研究几何图形性质的一种基本方法．而本章是用逻辑推理的方法来推导图形的性质，逻辑推理的方法是研究数学的一个重要的基本方法．逻辑推理需要依据，常用的依据有公理、定理（如经过两点有且只有一条直线）、定义、性质（如等式性质、不等式性质）、等量代换等．2. 逻辑推理的依据－－－－公理、定理⑴公理：数学中有些命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，我们把这样的真命题叫做公理．公理是不需要证明的．⑵定理：一些命题从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，我们把这样的真命题叫做定理．3. 证明⑴一个命题是否正确，要经过逻辑推理，这个推理的过程叫做证明．⑵证明的一般步骤：①根据题意，画出图形，图形要具有一般性，不能特殊化，并且在图形上标出必要的字母和符号；②根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证．③经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．4. 用推理方法研究三角形三角形中需要证明的定理很多，而定理的证明方法各有不同，学习时要注意以下方法：⑴通过图形的运动，将三角形拼在一起，找到证明斜边，直角边定理的途径；⑵通过对角平分线的两条定理的类比得出线段垂直平分线的两定理；⑶证明勾股定理逆定理时可用构造法证明；⑷学习概念时需用概念辨析法．在解答有关等腰三角形的问题时，需运用分类思想，不要出现漏解现象．5. 用推理方法研究四边形⑴学习平行四边形的判定和性质，可按边的关系、角的关系以及对角线的关系进行分类，在证明有关平行四边形问题时，要根据已知条件的特点，正确合理地使用平行四边形的判定和性质定理，可以用平行四边形知识证明的问题，不要再倒退到用三角形的全等来证明．⑵将矩形和菱形放在一起进行类比，可以更好地掌握矩形和菱形的特殊性质、学习三角形、等腰梯形的中位线时也要用类比的方法．⑶证明一个问题时，要从已知条件与求证结论两头入手，探索解题途径，建立沟通已知与求证的桥梁，最后用综合法写出证题过程，研究四边形时，一般通过作辅助线把它转化为三角形的有关问题来解决，同时要注意四边形知识的直接应用．由于各种特殊平行四边形概念交错，容易混淆，所以在判断时常常因为概念不清而出错．学习时要对平行四边形与特殊的平行四边形之间的从属关系等基本知识进行整理，弄清演变过程，使之结构化、系统化，并通过针对性的训练，加深理解内在关系，在应用中得到巩固．6. 反证法⑴反证法的概念：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而肯定命题成立，这样的证明方法叫做反证法．⑵反证法证明命题的一般步骤：①假设命题的结论的反面是正确的；②从这个假设出发，通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾；③由矛盾说明假设不成立，从而得到原命题的结论正确．反证法是当有的命题从已知条件出发，经过推理，很难得出结论时，从而想出的从问题的反面出发给出证明的一种方法．这里总结了反证法的一般步骤，要注意的是，若结论的反面不止一种情况，必须把各种可能情况全部列举出来，并逐一加以否定．【典型例题】例1. 已知：如图，点D在AC上，点E在AB上，BD和CE相交于点O，AB=AC，∠B=∠C．求证：BE=CD．分析：BE和CD分别在△BOE与△COD中，由已知条件不能直接证明△BOE≌△COD，但已知AB=AC，AB、BE及AC、CD分别在一条直线上，如果能证明AE=AD，就可得BE=CD．而AE、AD分别在△AEC和△ADB中，可由已知条件证得△AEC≌△ADB．∴△AEC≌△ADB（ASA）．∴AE=AD（全等三角形的对应边相等）．又∵AB=AC，∴BE=CD．例2. 等腰三角形一边上的高是另一边的一半，则顶角的度数为 ．分析：一般会填30°或120°，这是不完整的，原因是没有充分考虑一切可能的情形，出现漏解现象．我们遇到多解问题时，一定要分类讨论，要充分考虑一切可能的情形，避免出现漏解现象．正确解法：⑴如图，当底边上的高是腰长的一半时，CD=21AC ，∴∠ACB=120°．⑴ ⑵ ⑶ ⑷⑵如图，当一腰上的高是底边的一半时，BD=21AB ，可得∠ACB=120°． ⑶如图，当一腰上的高是另一腰的一半，且高在△ABC 的外部，即DB=21BC ，可得∠ACB=150°．⑷如图，当一腰上的高是另一腰的一半，且高在△ABC 的内部，DB=21BC ，∴∠C=30°． ∴正确解为30°、150°、120°．例3. 求证：等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半．分析：根据证明文字命题的一般步骤，先找出条件和结论，再画图写出已知和求证，最后写出证明．证明文字命题的一般步骤：⑴理解题意，找出命题的条件和结论；⑵根据题意正确画出图形；⑶根据条件结论，结合图形写出已知和求证；⑷探索证明思路，运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD ⊥AC ．求证：∠DBC=21∠A ． 证法一：用折半法，找出或作出较大角的一半的角，证明它与较小的角相等．作顶角平分线AE ．∵AE ⊥BC （等腰三角形“三线合一”）．∴∠EAC+∠C=180°－90°=90°．∴BD ⊥AC （已知），∴∠DBC+∠C=180°－∠BDC=180°－90°=90°．∴∠DBC+∠C=∠EAC+∠C ． ∴∠DBC=∠EAC ．∵∠EAC=21∠A ，∴∠DBC=21∠A ． 证法二：用加倍法，找出或作出等于较小角的两倍的角，证明它与较大的角相等． 如图，作∠DBF=∠DBC ，BF 交AC 于F ．由作法得∠FBC=2∠DBC ，即∠DBC=21∠FBC ．∴△BFD ≌△BCD （ASA ）． ∴∠BFD=∠C ．∴∠FBC=180°－∠BFD －∠C=180°－2∠C ．又∵∠C=∠B ，∴∠A=180°－∠B －∠C=180°－2∠C ．∴∠FBC=∠A （等量代换）．∵∠DBC=21∠FBC （已证），∴∠DBC=21∠A ．例4. 等腰三角形的两边长分别为4cm 和9cm ，则它的周长是 cm ．分析：要求三角形的周长，只要求出第三边的长即可，由于题目中的三角形是等腰三角形，第三边也就只能在4cm 和9cm 中选取，由三角形三边的关系可知，第三边不能为4cm ，故其周长即可确定．解：设第三边长为xm ，则9－4﹤x ﹤9+4，即5﹤x ﹤13．由于此三角形是等腰三角形，所以第三边的长为9cm ，即周长为22cm ．点拨：本题主要考查了等腰三角形的一些性质以及三角形中的有关概念，需要注意的是有关等腰三角形的问题往往需要进行讨论，但本题需要考虑到三角形三边的关系，4cm 只能作底边．例5. 如图，在△ABC 中，已知∠ABC 、∠ACD 的平分线交于点P ．求证：点P 到AB 、AC 的距离相等．分析：欲证点P 到AB 、AC 的距离相等，只需证PE=PF 即可．证明：如图，过点P 作PE ⊥AB 交BA 延长线于E ，过点P 作PF ⊥AC 于F ，过点P 作PG ⊥CD 于G ．∵点P 在∠ABC 的角平分线上，∴PE=PG ．∵点P 在∠ACD 的角平分线上，∴PF=PG ．∴PE=PF ．∴点P 到AB 、AC 的距离相等．例6. 已知：如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，EF 过点O ，且与AB 、CD 分别相交于点F 、E ．求证OE=OF ．分析：本题证法不惟一，但不论用何种证法，主要途径是平行四边形的性质．证法一：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD ，OA=OC ，∠ECO=∠FAO ． 又∵∠AOF=∠COE ，∴△AOF ≌△COE ．∴OE=OF ．证法二：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD ，OA=OC ． ∴OEOF OC OA ． ∴OE=OF ． 点拨：本题还可以用平行四边形的中心对称性来证明，请读者自己试一试．例7. 如图，在平行四边形ABCD 中CE 是∠DCB 的平分线，F 是AB 的中点，AB=6，BC=4，则AE ：EF ：FB 为（ ）A. 1：2：3B. 2：1：3C. 3：2：1D. 3：1：2分析：如图，应利用平行四边形的性质及其他图形的性质求解，由∠1=∠2，∠1=∠3，可得∠2=∠3．所以BE=BC=4．而AB=6，所以AE=2．故可求得AE=2，EF=1，BF=3．解：选B例8. 如图，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O 点，E 是AC 上一点，过点A 作AG ⊥EB ，垂足为G ，AG 交BD 于点F ．求证：OE=OF ．证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BOE=∠AOF=90°，BO=AO ．又∵AG ⊥EB ，∴∠1+∠3=90°=∠2+∠3．∴∠1=∠2．∴Rt △BOE ≌Rt △AOF ．∴OE=OF ．变式题：对上述命题，若点E 在AC 的延长线上，AG ⊥EB ，交EB 的延长线于点G ，AG 的延长线交DB 的延长线于点F ，其他条件不变（如下图），则结论“OE=OF ”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．分析：结论“OE=OF ”仍成立，可通过证Rt △AOF ≌Rt △BOE 来证OE=OF ．解：结论“OE=OF ”仍成立，证明如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠AOF=∠BOE=90°，OA=OB ．∴在Rt △AFO 中，有∠F=90°－∠FAO ．又∵AG ⊥BE ，则在Rt △AGE 中，有∠E=90°－∠GAE ．∵∠FAO=∠GAE ，∴∠E=∠F ．∴Rt △AOF ≌Rt △BOE ．∴OE=OF ．例9. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，中位线EF 分别与BD 、AC 交于点G 、H ．若AD=6，BC=10，则GH= ．分析：灵活运用梯形及三角形的中位线性质，是解决此题的关键．EF 是梯形的中位线，则EG 是△BAC 的中位线，CF 是△DBC 的中位线，HF 是△DAC 的中位线，根据中位线的性质可解决此题．解：EG=21AD ，GF=21BC ，FH=21AD ， CH=EF －2EG=21（AD+BC ）－AD=21（BC －AD ）=2．例10. 如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的点，F 是CD 边上的点，且AE=AF ，AB=4．设△AEF 的面积为y ，EC 为x ，求y 与x 之间的函数关系式，并画出这个函数的图象．分析：求△AEF 的面积有多种方法，我们要由题目的条件出发，寻求一种既易于求出这个三角形的面积，又易于与EC 建立联系的方法．由于四边形ABCD 是正方形，它的边长都为4，EC 为x ，那么BE 是容易用x 的代数式表示的，这样，△ABE 、△ECF 的面积都容易用x 的代数式表示，而△ABE 与△ADF 是全等的，这样由正方形的面积减去上述三个三角形的面积求△AEF 的面积是较好的方法．解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD ，∠B=∠D=90°．又∵AE=AF ，∴△ABE ≌△ADF ．∴BE=DF ．∵BC ＝CD ，∴EC ＝FC ＝x ，BE ＝DF ＝4－x ．由图形可知，S △AEF =AB 2－2S △ABE －S △ECF =42－2×21×4×（4－x ）－21x 2， ∴y=－21x 2+4x ． ∵E 点在BC 边上，且与E 与C 重合时△AEF 不存在，∴x 的取值范围为0﹤x ≤4，它的图象如下．点拨：x 的取值要保证有合理的实际意义，由于x 的取值范围为0﹤x ≤4，所以，它的图象是抛物线的一部分，并且点（0，0）是空心圆点，点（4，8）是实心原点．例11. 用反证法证明：四边形中至少有一个角是钝角或直角．分析：根据题设与结论，写出已知、求证，然后按反证法的步骤进行证明．已知：四边形ABCD ．求证：四边形ABCD 中至少有一个角是钝角或直角．证明：假设四边形ABCD 中没一个角是钝角或直角，则∠A ＜90O ，∠B ＜90O ，∠C ＜90O ，∠D ＜90O ，于是∠A+∠B+∠C+∠D ＜90O ×4=360O ．这与四边形内角和是360O 相矛盾，所以四边形ABCD 中至少有一个角是钝角或直角．【模拟试题】（答题时间：60分钟）一、填空题（每题3分，共30分）1. 一个多边形的每个外角都等于72°，这个多边形是 边形，它的每个内角是 ．2. 等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分为15cm 和13cm 两部分，则此三角形的腰长 cm ，底边长 cm ．3. 命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题为 ．4. n 边形的外角和与内角和的度数之比为2：9，则边数为 ．5. 平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点O ，其周长为50cm ，且△AOB 的周长比△COB 的周长大9cm ，则AB= cm ，BC= cm ．6. 正方形的边长为5cm ，以它的对角线为边长的等边三角形的高为 cm ．7. 三角形的一条中位线将这个三角形分成的一个小三角形与一个梯形的面积之比等于 ．8. 等腰梯形的腰与上底相等，且等于下底的一半，这个等腰梯形的周长为50cm，则它的中位线长cm．9. 若菱形的边长为1cm，其中一内角为60°，则它的面积为．10. 兴威公园的一段甬路是用型号相同的五边形地砖拼铺而成的，是拼铺图案的一部分．如果每个五边形有3个内角相等，那么这3个内角都等于．二、选择题（每题3分，共24分）11. 如图，EA⊥AB，BC⊥AB，EA=AB，DE=AC，有下列判断：①BC=AD，②DE⊥AC，③∠C=45°，其中结论正确的是（）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③12. 下列命题中，正确的是（）A. 对角线相等的四边形是矩形B. 一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形C. 对角线互相垂直的四边形是菱形D. 一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形13. 如果顺次连结四边形各边中点组成的四边形是菱形，那么原来四边形的对角线（）A. 互相平分B. 相等C. 互相垂直D. 互相垂直平分14. 等腰梯形ABCD的对角线AC、BD相交于O，那么图形中全等三角形有（）A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对15. □ABCD中，AB=AC=6cm，P是BC边上一点，过点P，作PE∥CA，交AB于E，PF∥BA，交AC于F点，则四边形AEPF的周长为（）A. 8cmB. 10cmC. 12cmD. 14cm16. 平行四边形ABCD中，两条对角线AC、BD的长分别是12和8，则边AB的取值（）A. 0＜AB＜2B. 2＜AB＜10C. 4＜AB＜10D. 4＜AB＜2017. 矩形、菱形、正方形、等腰梯形、直角梯形中，是中心对称图形的个数是（）A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个18. 如图，四边形ABED与四边形AFCD都是平行四边形，AF和DE相交成直角，AG=3cm，DG=4cm，□ABED的面积是36cm2，则四边形ABCD的周长为（）A. 49cmB. 43cmC. 41cmD. 46cm三、解答题（22题10分，23题12分，其余每题8分，共46分）19. 如图，点E是正方形ABCD的边BC上的一点，延长AB到F，使BF=BE，连结并延长AE，交CF于G．求证：AG⊥CF．20. 已知：四边形ABCD 中，∠B=∠D=90°，∠A=135°，AD=23，BC=6，求四边形ABCD 的面积．21. 求证：对角线相等的平行四边形是矩形．22. 已知：如下图，AB=CD ，AD=BC ，DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ．（1）根据以上条件，你能得出哪些等式（如可以得出DE=BF ）？至少写出可得等式中的任意三个；（不同于DE=BF ）（2）证明你写出的关于线段相等的一个结论．23. 如下图，在平面直角坐标系中，点A 是动点且纵坐标为4，点B 是线段OA 上的一个动点，过点B 作直线MN 平行x 轴，设MN 分别交射线OA 与x 轴形成的两个角的平分线于点E 、F ．⑴求证：EB=BF ； ⑵当OAOB 为何值时，四边形AEOF 为矩形？并证明你的结论； ⑶是否存在点A 、B ，使四边形AEOF 为正方形？若存在，求点A 与点B 的坐标；若不存在，说明理由．参考答案 http://一、填空题：1. 五，108°2. 10；8（或332;326） 3. 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形4. 115. 17；86.625 7. 31 8. 18 9. 23cm 2 10. 120°二、选择题：11. A 12. D 13. B 14. C15. C 点拨：不妨取P 为BC 的中点．16. B 17. C 18. D三、解答题：19. 点拨：证Rt △FBC ≌Rt △EBA ，得∠F=∠BEA ．而∠BAE+∠BEA=90°，故∠BAE+∠F=90°．∴AG ⊥CF ．20. 点拨：作如图所示的辅助线，把四边形补成矩形，用矩形面积减去两个等腰直角△ADE 和△CDF 的面积．由题意，得ED=6232==AE ． 过D 作DG ∥BC 于G ，则有DG=GC=BC －BG ．又BG=6，∴DG=6－6． 则有S 四边形ABCD =6×（6－6）－)66(216621--⨯⨯2=12． ∴四边形ABCD 的面积为12．21. 已知：在□ABCD 中，AC=DB （如图）．求证：□ABCD 是矩形．证明：∵AC=DB ，BC=CB ，AB=DC ，∴△ABC ≌△DCB ．∴∠ABC=∠DCB ．又AB ∥DC ，∴∠ABC+∠DCB=180°．∴∠ABC=90°． ∴□ABCD 是矩形．22. 点拨：AE=CF ，AF=CE ，∠ADE=∠CBF 等．证明略．23. ⑴证明：如图．∵OF 是∠AOx 的角平分线，∴∠1=∠2．∵MN 平行于x 轴，∴∠3=∠2．∴∠1=∠3．∴BO=BF ．同理可证BO=BE ．所以EB=BF ．⑵解：当21=OA OB 时，四边形AEOF 是矩形． ∴21=OA OB ，∴OB=AB ． 又∵BE=BF ，∴四边形AEOF 是平行四边形．∵OE 、OF 是角平分线，∴∠EOF=90°．∴四边形AEOF 是矩形．⑶解：存在点A 、B 使四边形AEOF 为正方形，如下图．∵MN 平行于x 轴，∴当A 点在y 轴时，即A 点坐标为（0，4）时，有OA ⊥EF ． 此时，取OA 的中点B （0，2），由（2）知四边形AEOF 是矩形．∴四边形AEOF 是正方形．∴存在A （0，4），B （0，2），使四边形AEOF 为正方形．。
初中反证法的教案
初中反证法的教案一、教学目标：1. 让学生了解反证法的概念和基本步骤。
2. 培养学生运用反证法解决问题的能力。
3. 提高学生逻辑思维能力和创新意识。
二、教学内容：1. 反证法的概念及步骤。
2. 反证法在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 反证法的概念和步骤。
2. 运用反证法解决实际问题。
四、教学方法：1. 讲授法：讲解反证法的概念、步骤及应用。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用反证法解决问题。
3. 小组讨论法：分组讨论，培养学生的合作意识和沟通能力。
4. 实践操作法：让学生动手实践，提高运用反证法解决问题的能力。
五、教学过程：1. 导入：引导学生回顾已学的直接证明方法，引出反证法。
2. 讲解反证法的概念和步骤：（1）反证法的定义：假设结论不成立，通过推理得出矛盾，从而证明结论成立。
（2）反证法的步骤：步骤一：假设结论不成立。
步骤二：从假设出发，推理得出矛盾。
步骤三：由矛盾得出结论成立。
3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用反证法解决问题。
例1：证明：对任意正整数n，n²+1是奇数。
解：假设存在一个正整数n，使得n²+1是偶数。
则n²+1=2k（k为正整数）。
则n²=2k-1。
因为2k是偶数，2k-1是奇数，所以n²是奇数。
但根据假设，n²+1是偶数，与n²是奇数矛盾。
因此，假设不成立，所以对任意正整数n，n²+1是奇数。
4. 小组讨论：分组讨论反证法的应用，分享解题心得。
5. 实践操作：让学生动手实践，运用反证法解决实际问题。
6. 总结与评价：总结反证法的概念、步骤及应用，评价学生的学习效果。
六、课后作业：1. 复习反证法的概念和步骤。
2. 完成课后练习，运用反证法解决问题。
3. 思考反证法在实际生活中的应用。
七、教学反思：本节课通过讲解反证法的概念、步骤及应用，让学生掌握了反证法的基本知识。
在案例分析和实践操作环节，学生能够积极运用反证法解决问题，提高了逻辑思维能力和创新意识。
初中 反证法教案
初中反证法教案教学目标：1. 理解反证法的概念和基本步骤；2. 能够运用反证法证明一些简单的数学命题；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 反证法的概念和基本步骤；2. 运用反证法证明简单命题的方法。
教学难点：1. 反证法的理解和运用；2. 证明过程中逻辑的严密性。
教学准备：1. 反证法的定义和示例；2. 相关的数学命题和证明题目。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾已学过的证明方法，如直接证明、归纳证明等；2. 提问：有没有同学听说过反证法？能否简单介绍一下？二、新课讲解（15分钟）1. 给出反证法的定义和基本步骤；2. 通过示例讲解反证法的运用过程；3. 强调反证法中的逻辑严密性。
三、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成一些简单的反证法证明题目；2. 引导学生思考证明过程中的关键步骤和逻辑关系。
四、巩固提高（15分钟）1. 让学生尝试证明一些较复杂的数学命题；2. 引导学生运用反证法解决实际问题。
五、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学的内容，总结反证法的概念和步骤；2. 强调反证法在数学证明中的重要性。
六、课后作业（课后自主完成）1. 进一步学习反证法的应用，尝试解决更多的数学问题；2. 总结反证法的优缺点，并与其他证明方法进行比较。
教学反思：本节课通过讲解反证法的概念和示例，使学生掌握了反证法的基本步骤和运用方法。
在课堂练习环节，学生能够独立完成一些简单的反证法证明题目，但对于较复杂的题目仍需进一步指导和启发。
在今后的教学中，应加强对学生逻辑思维能力的培养，提高他们运用反证法解决问题的能力。
同时，要注意引导学生比较反证法与其他证明方法的区别和优缺点，使他们在实际应用中能够灵活选用合适的证明方法。
初中数学初三数学下册《反证法》教案、教学设计
1.通过教师引导，让学生自主探究反证法的原理和步骤，培养学生的学习兴趣和自主学习能力。
2.通过小组讨论、合作学习，让学生在讨论和实践中掌握反证法的应用，提高学生团队协作能力和沟通能力。
3.设计不同难度层次的例题和练习题，让学生在解决问题的过程中，逐步掌握反证法，提高问题解决能力。
（三）情感态度与价值观
1.必做题：
a.请学生运用反证法证明勾股定理。
b.选取课本中一道几何证明题，要求学生使用反证法进行证明。
c.结合本节课的案例，自选一个数学问题，运用反证法求解，并详细说明解题过程。
2.选做题：
a.探索反证法在代数问题中的应用，如求解不等式、方程等，并给出至少两个例题的解答过程。
b.阅读相关数学资料，了解反证法在数学发展史上的重要地位和作用，撰写一篇简短的阅读心得。
1.教学内容：反证法的定义、步骤和注意事项。
2.教学方法：采用讲解、演示、举例等方式，让学生理解并掌握反证法的基本知识。
3.教学过程：
a.教师讲解反证法的定义，解释其基本原理。
b.教师通过具体例题，演示反证法的步骤，强调注意事项。
c.学生跟随教师思路，学习反证法的应用。
（三）学生小组讨论，500字
1.教学活动设计：将学生分成小组，针对几个典型的数学问题，讨论如何运用反证法进行求解。
3.关注学生个体差异，实现因材施教，提高教学质量。
4.激发学生对数学学习的兴趣，树立正确的数学观念，为学生的终身学习奠定基础。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
1.教学活动设计：以一个与学生生活息息相关的问题导入新课，如“一个数字谜语：一个三位数，它的百位数是3，十位数是它的一半，个位数是十位数的两倍。这个三位数是什么？”
14.反证法PPT课件(华师大版)
可知三角形ABC是直角三角形，且 ∠C=90°，这与已知条件∠C≠90°矛 盾。假设不成立，从而说明原结论a2 +b2 ≠ c2 成立。
A
b
c
Ca C
发现知识：
这种证明方法与前面的证明方法不同，它是第一假设结论 的反面成立，然后经过正确的逻辑推理得出与已知、定理、公 理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。象这样的证明方法叫 做反证法。
5、求证：两条直线相交只有一个交点。 已知：如图两条相交直线a、b。 求证：a与b只有一个交点。
证明：假设a与b不止一个交点，
不妨假设有两个交点A和A’。
因为两点确定一条直线，即经过 a
● A，
点A和A’的直线有且只有一条，这与
●
A
与已知两条直线矛盾,假设不成立。
所以两条直线相交只有一个交 b
点。
我们可以把这种说理方法应用到数学问题上。
复习回顾
如图，在△ABC中，AB=c， BC=a，AC=b,如果∠C=90°， A a、b、c三边有何关系？为什 么？
b
c
解析： 由∠C=90°可知是直角
三角形，根据勾股定理可知 a2 +b2 ＝c2 .
Ca
C
探究新知
问题： 若将上面的条件改为“在
△ABC中，AB=c，BC=a， AC=b,∠C≠90°”，请问结论a2 +b2 ≠ c2 成立吗？请说明理由。
与定理，定义， 公理矛盾
假设不 成立
教学重难点
教学重点：运用反证法进行推理论证. 教学难点：
理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”.
情景导入
一、问题情境 小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿 了。小华对婷婷说：“昨天晚上下雨了。”
初中数学初三数学下册《反证法》优秀教学案例
在讲授新知环节，我首先详细解释反证法的定义，并通过具体实例演示反证法的步骤。在讲解过程中，注重让学生理解反证法的核心思想——通过假设命题不成立，从而推导出矛盾，进而证明原命题成立。
（三）学生小组讨论
在学生小组讨论环节，我将设计几个具有挑战性的问题，让学生分组进行讨论。这些问题涵盖反证法在不同类型的数学题目中的应用，旨在培养学生的逻辑推理能力和团队协作能力。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学学习的兴趣，培养他们勇于探索、积极进取的学习态度。
2.使学生认识到反证法在数学学习中的重要性，体会数学的严谨性和美妙，增强学生的数学素养。
3.通过反证法的学习，培养学生面对困难时，勇尝试、坚持不懈的品质。
4.引导学生学会尊重他人意见，善于合作交流，培养良好的团队精神和沟通能力。
在本章节的教学过程中，教师将始终关注学生的全面发展，注重知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观的有机结合，使学生在轻松愉快的氛围中学习数学，提高他们的数学素养和综合素质。通过本章节的学习，学生将更加深入地理解反证法的内涵，为今后的数学学习和人生发展奠定坚实基础。
三、教学策略
（一）情景创设
为了让学生更好地理解和掌握反证法，我将创设贴近学生生活的情景，激发他们的学习兴趣。例如，可以通过讲述一个侦探故事，让学生扮演侦探，寻找线索，解决问题。在这个过程中，引导学生体会反证法在推理过程中的作用，使他们在情景体验中自然地接纳反证法。
3.小组合作，促进交流
案例中注重小组合作，让学生在互动交流中共同解决问题。这种教学策略有助于培养学生的团队协作能力、沟通能力，以及尊重他人意见的良好品质。
4.反思与评价，提高自我认知
在教学过程中，引导学生进行反思与评价，使他们在总结经验教训的基础上，不断提高自我认知。此外，实施多元化的评价方式，关注学生的全面发展，激发他们的学习信心。
2022年华师大版《反证法》公开课教案
【根本目标】1.理解反证法.2.会用反证法证明较简单的题.【教学重点】用反证法证明几何命题.【教学难点】反证法中渗透“正难那么反〞的思想.一、创设情景，导入新课出示多媒体，展示《路旁苦李》的故事的动画场景，引入反证法的课题.二、师生互动，探究新知活动1反证法的步骤.教师给出问题：如果你当时也在场，你会怎么办？五戎是怎么判断李子是苦的？你认为他的判断正确吗？学生讨论交流，选代表发言.如果李子不是苦的，路旁的人很多，早就没有这么多李子.教师出示，假设a2+b2≠c2〔a≤b≤c〕,那么△ABC不是直角三角形，你能按照刚刚五戎的方法推理吗？∠C是直角，那么a2+b2=c2，而a2+b2≠c2，这是不可能的，即△ABC不是直角三角形.【教师归纳】先假设结论的反面是正确的；然后经过演绎推理，推出与根本领实、已证定理、定义或条件相矛盾；从而说明假设不成立，进而得出原命题正确.即：一、反设；二、推理得矛盾；三、假设不成立，原命题正确.活动2用反证法证明.教材P116例5.【教师活动】原命题结论的反向是什么？按照假设可以得到矛盾吗？【学生活动】独立完成，交流成果，发言展示.教材P116例6.【教师活动】△ABC至少有一个内角小于或等于60°的反向是什么？按照假设可以推出矛盾吗？【学生活动】独立完成，交流成果，发言展示.【教学说明】在几何命题中涉及到有“至少〞“至多〞“唯一〞时，直接不易证明，可考虑反证法.三、随堂练习，稳固新知完成练习册中本课时对应的课后作业局部,教师巡视并及时点评，主要是证明格式是否标准.四、典例精析，拓展新知例求证：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.【教师活动】〔1〕你首选的是哪一种证明方法？〔2〕如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？〔3〕能不用反证法证明吗？你准备怎样证明？要求按问题解决的四个步骤进行：理解题意〔画出图形，写出求证〕；制订方案〔选择证明方法，找出证明思路〕；执行方案〔写出证明过程〕.【学生活动】讨论交流后独立完成.五、运用新知，深化理解.完成教材P117练习第1、2题.六、师生互动，课堂小结这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的根底上，教师总结.完成练习册中本课时对应的课后作业局部.反证法是一种重要的证题方法，也是初中数学的难点，如何突破这一难点，并为学生更好地理解和掌握是需要教师精心设计的.在教学时应注意三个思维障碍：1.思维方向的转换，不能总用直接法；2.证明步骤存在障碍；3.归谬起点推证存在障碍.为使学生更好地理解并掌握反证法，应积极引导学生克服上述思维上的障碍，并通过有关题目训练，使学生掌握反证法.教师在教学中应强调当结论的反面不止一种情况时，应穷举；“归谬〞这一步应包含“归导〞与“揭谬〞两个层次.第1课时变量与函数【知识与技能】了解变量与常量，初步理解函数的概念.【过程与方法】经历函数概念的探索过程，感悟变量.【情感与态度】鼓励探索方式的多样化，培养激发学生学习的兴趣.【教学重点】重点是理解函数的意义，并会根据具体问题探究相应的函数关系式.【教学难点】难点是对函数意义的准确理解.一、创设情境，导入新知活动一：乘热气球探测高空气象用热气球探测高空气象，热气球从海拔1800 m处的某地升空，在一段时间内，它匀速上升.它上升过程中到达的海拔高度h(m)与上升时间t(min)的关系记录如下表：观察上表：〔1〕这个问题中，有哪几个量？〔2〕热气球在升空过程中平均每分钟上升的高度是多少？〔3〕你能求出上升3min\,6min时气球到达的海拔高度吗？【教学说明】学生通过思考问题，为新知识建立铺垫.活动二：用电负荷曲线图S市某日自动测量仪记下的用电负荷曲线如以下图.看图答复〔1〕这个问题中，涉及哪几个量？〔2〕任意给出这天中的某一时刻x，能找到这一时刻的负荷y〔×103兆瓦〕是多少吗？〔3〕这一天的用电顶峰、用电低谷时负荷各是多少？它们是在什么时刻到达的？活动三：汽车刹车距离汽车在行驶过程中，由于惯性的作用刹车后仍将滑行一段距离才能停住，刹车距离是分析事故原因的一个重要因素.某型号的汽车在平整路面上的刹车距离s〔m〕与车速v〔km/h〕之间有以下经验公式：s＝v2/256〔1〕式中涉及哪几个量？〔2〕当刹车时速v分别是40、80、120km/h时，相应的滑行距离s分别是多少？【教学说明】教师在学生答复的根底上，进一步引导学生从中发现数学问题：哪些是常量，哪些是变量.从而为引出函数概念做铺垫.二、达成共识，构建新知新知探究：函数的概念［交流］：在活动一至三中，哪些量是常量？哪些量是自变量？哪些变量是因变量？与同伴交流.一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.如果当x=a时，y=b,那么b叫做当自变量为a时的函数值.引导发现：热气球上升后到达的海拔高度h是自变量时间t的函数；用电负荷y是自变量时间t的函数；制动距离s是自变量车速v的函数.引导练习：1.说出以下各个过程中的变量与常量：〔1〕铁的质量m〔g〕与体积V〔cm3〕之间的关系式是m＝ρV.〔ρ是铁的密度〕〔2〕长方形的长为2cm，它的面积为S〔cm2〕与宽a〔cm〕的关系式是S=2a.2.函数y=3x-5，当x=2时，y= 1 .三、运用新知，深化理解1.寄一封质量在20g以内的市内平信，需邮资0.80元，那么寄x封这样的信所需邮资y 〔元〕.试用含x的式子表示y，并指出其中的常量和变量.2.在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律.如果弹簧原长10 cm，每1 kg重物使弹簧伸长0.5 cm，怎样用含有重物质量m〔kg〕的式子表示受力后的弹簧长度y〔cm〕？【教学说明】通过新课的讲解以及学生的练习，充分做到讲练结合，让学生更好地稳固新知识.通过本环节的讲解与训练，让学生对利用新知识解决一些简单问题有更加明确的认识，同时也尽量让学生明白知识点不是孤立的，需要前后联系，才能更好地处理一些新问题.【参考答案】1.解：根据题意，得y=0.8x，所以0.8是常量，x、y是变量.2.y=0.5m+10四、师生互动，课堂小结掌握函数的概念，能根据问题背景确定函数关系式，会确定自变量的取值范围.一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.如果当x=a时，y=b,那么b叫做当自变量为a时的函数值.【教学说明】引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，从而将本节知识点进行很好的回忆以加深学生的印象，同时使知识系统化.1.课本第23页练习1、2.2.完成练习册中相应的作业.函数第一课时主要讲的是函数及其有关概念，它是所有函数的根底.这节课是通过三个活动理解函数这一概念，在上课过程中对三个问题进行分析，分析问题中的变化过程，进而得知常量、变量、自变量、因变量，通过观察和计算发现因变量与自变量之间的对应关系，从而理解函数概念.情景设置激发学生学习兴趣，表达学生是数学学习的主人，教师是组织者、引导者与合作者.。
福建省泉州市泉港三川中学九年级数学下册 29.2反证法教案 华东师大版
教学目标：1.使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法.2.培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力.教学重点：反证法证题的步骤.教学难点：理解反证法的推理依据及方法.教学方法：讲练结合教学.教学过程：一、提问：师：通过预习我们知道反证法，什么叫做反证法？生：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.师：本节将进一步研究反证法证题的方法，反证法证题的步骤是什么？生：共分三步：（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从假设出发，经过推理，得出矛盾；（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.师：反证法是一种间接证明命题的基本方法。
在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。
例如：在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,如果∠C=90°，a、b、c三边有何关系？为什么？解析：由∠C=90°可知是直角三角形，根据勾股定理可知a2 +b2 ＝c2二、探究问题：若将上面的条件改为“在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,∠C≠90°”，请问结论a2 +b2 ≠ c2 成立吗？请说明理由。
探究：假设a2 +b2 ＝c2，由勾股定理可知三角形ABC是直角三角形，且∠C=90°，这与已知条件∠C ≠90°矛盾。
假设不成立，从而说明原结论a2 +b2 ≠ c2 成立。
这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。
象这样的证明方法叫做反证法。
三、应用新知例１：在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠∠ C证明：假设，∠B ＝∠C则AB＝AC这与已知AB≠AC矛盾．假设不成立．∴∠B ≠∠ C小结：反证法的步骤：假设结论的反面不成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确例2已知：如图有a、b、c三条直线，且a//c,b//c. 求证：a//b证明：假设a与b不平行，则可设它们相交于点A。
反证法说课稿
反证法说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是“反证法”。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析“反证法”是数学中一种重要的证明方法，它在解决某些数学问题时具有独特的作用。
本节课是在学生已经掌握了直接证明的方法，如综合法和分析法的基础上，进一步学习一种间接证明的方法。
通过本节课的学习，不仅可以丰富学生的证明方法，提高学生的逻辑思维能力，还能为后续学习高等数学打下坚实的基础。
本节课的教材内容主要包括反证法的概念、反证法的一般步骤以及反证法的应用举例。
教材通过具体的例子，引导学生逐步理解反证法的思想和方法，注重培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二、学情分析学生在之前的学习中已经掌握了一定的逻辑推理能力和证明方法，但对于反证法这种间接证明的方法可能会感到陌生和难以理解。
因此，在教学过程中，要通过具体的例子，引导学生逐步体会反证法的思想，帮助学生克服学习中的困难。
同时，学生在学习过程中可能会出现对反证法的逻辑推理过程不够严谨，或者在假设和推理过程中出现错误的情况。
针对这些问题，需要在教学中加强对学生的引导和训练，提高学生的逻辑思维能力和严谨性。
三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解反证法的概念，掌握反证法的一般步骤。
（2）能够运用反证法证明一些简单的数学命题。
2、过程与方法目标（1）通过对具体问题的分析和解决，培养学生的逻辑思维能力和推理能力。
（2）让学生经历反证法的探索过程，体会反证法的思想方法。
3、情感态度与价值观目标（1）通过对反证法的学习，激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。
（2）培养学生的辩证唯物主义观点，认识事物之间的相互联系和相互转化。
四、教学重难点1、教学重点（1）理解反证法的概念和一般步骤。
（2）掌握运用反证法证明数学命题的方法。
2、教学难点（1）理解反证法的逻辑原理，特别是如何正确地提出反设。
2022年精品 《反证法》优秀教案
反证法一、教学目标1．核心素养通过学习反证法，初步形成根本的数学抽象和逻辑推理能力．2．学习目标了解反证法的思考过程、特点．3．学习重点了解间接证明的一种根本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点．4．学习难点根据问题特点，结合反证法的思考过程、特点，选择适当的证明方法．二、教学设计〔一〕课前设计1．预习任务任务1预习教材m≠0与椭圆W：错误!＋2＝1相交于A、C两点，O是坐标原点．1当点B的坐标为0,1，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；2当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．【知识点：反证法的应用；数学思想：转换与化归】解：1因为四边形OABC为菱形，那么AC与OB相互垂直平分．由于O0,0，B0,1，所以设点A错误!，代入椭圆方程得错误!＋错误!＝1，那么t＝±错误!，故|AC|＝2错误! 2证明假设四边形OABC为菱形，因为点B不是W的顶点，且AC⊥OB，所以≠0由错误!消并整理得1＋422＋8m＋4m2－4＝0[6分]设A1，1，C2，2，那么错误!＝－错误!，错误!＝·错误!＋m＝错误!所以AC的中点为M错误![8分]因为M为AC和OB的交点，且m≠0，≠0，直线OB的斜率为－错误!，因为·错误!＝－错误!≠－1，所以AC与OB不垂直．[10分]所以OABC不是菱形，与假设矛盾．所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形．探究型多维突破11 二次函数f＝a2＋b＋ca>0的图象与轴有两个不同的交点，假设fc＝0，且001证明：错误!是函数f的一个零点；2试用反证法证明错误!>c【知识点：反证法的应用；数学思想：转换与化归】证明：1∵f图象与轴有两个不同的交点，∴f＝0有两个不等实根1，2，∵fc＝0，∴1＝c是f＝0的根，又12＝错误!，∴2＝错误!错误!≠c，∴错误!是f＝0的一个根．即错误!是函数f的一个零点．2假设错误!错误!0，由00，知f错误!>0与f错误!＝0矛盾，∴错误!≥c，又∵错误!≠c，∴错误!>c12．数列{a n}满足：a1＝错误!，错误!＝错误!，a n a n＋1错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!b>b t，那么只能有2b＝b r＋b t成立．＋1∴2·错误!错误!－1＝错误!错误!r－1＋错误!错误!t－1，两边同乘以3t－121－r，化简得3t－r＋2t－r＝2·2－r3t－由于r∠B，那么a>b〞的结论的否认应该是A．ab〞的否认应为“a＝b或a180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，那么∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°正确顺序的序号排列为____________．【知识点：反证法】8．解：③①②9．用反证法证明质数有无限多个的过程如下：假设______________．设全体质数为1、2、…、n，令＝12…n＋1显然，不含因数1、2、…、要么是质数，要么含有______________的质因数．这说明，除质数1、2、…、之外，还有质数，因此原假设不成立．于是，质数有无限多个．n【知识点：反证法】解：质数只有有限多个除1、2、…、n之外10．a，b，c∈0,1．求证：1－ab，1－bc，1－ca不能同时大于14【知识点：反证法的应用；数学思想：转换与化归】证法1：假设1－ab、1－bc、1－ca都大于14∵a、b、c都是小于1的正数，∴1－a、1－b、1－c都是正数1－a＋b2≥1－ab＞14＝12，同理1－b＋c2＞12，1－c＋a2＞12三式相加，得1－a＋b2＋1－b＋c2＋1－c＋a2＞32，即32＞32，矛盾所以1－ab、1－bc、1－ca不能都大于14证法2：假设三个式子同时大于14，即1－ab>14，1－bc>14，1－ca>14，三式相乘得：1－ab1－bc1－ca>143①12．因为01，用反证法证明方程f＝0没有负数根．【知识点：反证法的应用；数学思想：转换与化归】证明：假设方程f＝0有负数根，设为00≠－1．那么有01，∴0<a0<1，∴0<－错误!<1解上述不等式，得错误!<0<0<0矛盾．故方程f＝0没有负数根．数学视野直接论证与间接论证，正论证是用为真的判断来确定某一判断的真实性或虚假性的思维过程根据论证的目的,论证可分为证明与反驳,证明是用为真的判断来确定某一判断的真实性的思维过程,反驳是用为真的判断来确定某一判断的虚假性的思维过程根据论证方式,论证可分为演绎论证、归纳论证和类比论证根据论证的方法,论证可分为直接论证和间接论证;直接论证又可以分为直接证明和直接反驳,间接论证也可以分为间接证明和间接反驳。
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教学内容反证法课型新授课课时执教
教学目标通过具体例子，使学生体会反证法证明命题的方法，了解反证法的步骤，能初步应用反证法证明一些简单的命题。
教学重点体会反证法证明命题的思路方法，用反证法证明简单的命题.
教学难点体会反证法证明命题的思路方法，用反证法证明简单的命题
教具准备投影仪，胶片．
教学过程教师活动学生活动
（一）情境导入思考：在△ABC中，已知AB＝c，BC＝a，CA＝b，且∠C
≠90°。
求证；a2＋b2≠c2。
有些命题想从已知条件出发，经过推理，得出结论
是很困难的，因此，人们想出了一种证明这种命题的方
法，即反证法。
假设a2＋b2＝c2，则由勾股定理的逆定理可以得到
∠C＝90°，这与已知条件∠C≠90°产生矛盾，因此，
假设a2＋b2＝c2是错误的。
所以a2＋b2≠c2是正确的。
学生自主探
究,发现用以
前的证明方法
不能很好的说
明问题，激发
探究热情。
并
通过该例，初
步感知反证法
的基本步骤。
(二)归纳反证法的步骤1．假设命题的结论的反面是正确的；
2．从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、巳
证的定理、定义或已知条件矛盾；
3．由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论是正
确的。
对照上面的问
题归纳三个步
骤。
(三)例题探究
例1．已知：如图，设点A、B、
C在同一条直线l上。
求证：经过A、B、C三点不
能作一个圆。
分析：按照反证法的步骤，先假设过A、B、C三点
可以作一个圆，然后由这个假设出发推下去，得出矛盾．
证明：假设过A、B、C三点可以作圆，设这个圆的圆心
为O，显然A、B、C三点在这个圆上，所以OA＝OB＝OC，
由线段的垂直平分线的判定定理可以知道，O点既在线
段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线
l2上，也就是说，O点是l1和l2的交点，这与“过一点
有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾。
所以，过同一条直线上的三点不能作圆。
例2．求证；在一个三角形中，至少有一个内角小
于或等于60°。
师生共同研究
证法，如何反
设，如何归谬，
如何下结论。
学生独立完
成。
已知；△ABC。
求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°。
证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°，即
∠A＞60°、∠B＞60°、∠C＞60°。
于是∠A＋∠B＋
∠C＞60°＋60°＋60°＝180°，这与三角形的内角和
等于180°矛盾。
所以三角形中至少有一个内角小于或等于60°。
练习：
用反证法证明下列各题：
1．在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们
所对的角也不等。
2．在一个梯形中，如果同一条底边上的两个内角不相
等，那么这个梯形是等腰梯形吗?请证明你的猜想。
分组练习。
（四）小结与作业
通过本节课的学习，同学们体会了在证明命题另一
种方法，即反证法，它是当有的命题从已知条件出发，
经过推理，很难得出结论时，人们想出的一种证明命题
的方法，希望同学们能运用这种方法证明一些简单的命
题。
谈谈反证法的
思想，及如何
应用。
（五）板书设计
(六)教学后记。