北师版九上数学2.4用因式分解法求解一元二次方程((课外培优课件))

11. 已知关于 x 的方程（2 x － m ）（ mx ＋1）＝（3 x ＋1）（ mx
－1）的一个根为0，求 m 的值和方程的另一个根.
解：将 x ＝0代入原方程，得－ m ＝－1，解得 m ＝1.
∴原方程为（2 x －1）（ x ＋1）＝（3 x ＋1）（ x －1）.
化简，得 x2－3 x ＝0.
解得 x1＝0， x2＝3.
∴ m ＝1，方程的另一个根为3.
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12. 解方程： x ｜ x ｜－4｜ x ｜＋3＝0.
解：①当 x ≥0时，原方程变形为 x2－4 x ＋3＝0.
解得 x1＝1， x2＝3，均符合题意.
②当 x ＜0时，原方程变形为 x2－4 x －3＝0.
这里 a ＝2， b ＝－7， c ＝－2，
∴ b2－4 ac ＝（－7）2－4×2×（－2）＝65.
−(−7）± 65
7± 65
∴x＝
＝
.
2×2
4
7＋ 65
7− 65
∴ x1＝
， x2＝
.
4
4
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（4）3
1
2
−
2
－5 −
1
2
解：因式分解，得 3 −
即 3 −
1
2
−
⁠
1）（ x －6）＝0或 x2－5 x －6＝0 .
⁠
6. （1）方程 x （ x －2）＝ x －2的解是 x1＝2， x2＝1 ；
（2）方程 x （ x －6）＋9＝0的解是 x1＝ x2＝3 .
⁠
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7. 用因式分解法解下列方程：
（1）5 x2＋4 x ＝0；
解：提取公因式，得 x （5 x ＋4）＝0.
是这个方程的两个根，求△ ABC 的周长（用因式分解法）.
（2）解：原方程化为 x2－[2 k ＋（ k ＋1）] x ＋2 k （ k ＋1）＝0.
因式分解，得（ x －2 k ）[ x －（ k ＋1）]＝0.
A. 解方程2 x2＝ x 时，将方程两边同时除以 x ，得 x ＝2
2
B. 解方程2 x ＋6 x ＝0时，将方程两边同时除以2 x ，得 x ＝－3
C. 解方程 x2＋1＝2 x 时，因式分解，得（ x ＋1）2＝0，解得 x1＝
x2＝－1
D. 解方程 x2＋2 x ＋1＝0时，因式分解，得（ x ＋1）2＝0，解得
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第二章
4
一元二次方程
用因式分解法求解一元二次方程
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1. 方程 x2－3 x ＝0的根是（ C ）
A. x1＝ x2＝0
B. x1＝ x2＝3
C. x1＝0， x2＝3
D. x1＝0， x2＝－3
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2. 下列解方程的过程正确的是（ D ）
4
解得 x1＝0， x2＝－ .
5
（2）（2 x ＋3）2－25＝0；
解：因式分解，得（2 x ＋3＋5）（2 x ＋3－5）＝0，
即4（ x ＋4）（ x －1）＝0.
解得 x1＝－4， x2＝1.
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（3）2 x2＋ x －6＝0；
解：因式分解，得（ x ＋2）（2 x －3）＝0.
解得 x1＝2＋ 7 ， x2＝2－ 7 .
又∵ x ＜0，∴ x ＝2－ 7 .
综上，原方程的解为 x1＝1， x2＝3， x3＝2－ 7 .
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13. （选做）已知关于 x 的一元二次方程 x2－（3 k ＋1） x ＋2 k2
＋2 k ＝0.
（1）求证： k 取任何实数值，该方程总有实数根；
方程两边开平方，得 x －2＝±5.
解得 x1＝7， x2＝－3.
（2）5 x2＝ x 来自百度文库4；
解：原方程整理，得5 x2－ x －4＝0.
因式分解，得（5 x ＋4）（ x －1）＝0.
4
解得 x1＝－ ， x2＝1.
5
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（3）2 x2－7 x ＝2；
解：原方程整理，得2 x2－7 x －2＝0.
＝72－ x2＝2 x ＋1，即 x2＋2 x －48＝0.∴（ x ＋8）（ x －6）＝
0.∴ x1＝－8， x2＝6.故答案为 x1＝－8， x2＝6.
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10. 如图，在▱ ABCD 中， AE ⊥ BC 于点 E ， AE ＝ EB ＝ EC ＝
a ，且 a 是一元二次方程 x2＋2 x －3＝0的根，则▱ ABCD 的周长
（1）证明：Δ＝[－（3 k ＋1）]2－4×1×（2 k2＋2 k ）＝ k2－2 k
＋1＝（ k －1）2.
∵ k 取任何实数值，恒有（ k －1）2≥0，∴Δ≥0.
∴ k 取任何实数值，该方程总有实数根.
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（2）若等腰三角形 ABC 的一边长 a ＝6，另外两边长 b ， c 恰好
是 4＋2 2 .
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【解析】∵ a 是一元二次方程 x2＋2 x －3＝0的根，∴ a ＝－3
（舍去）或 a ＝1.∵ AE ＝ EB ＝ EC ＝ a ，∴ BC ＝2， AB ＝
2 .∴▱ ABCD 的周长为2×（2＋ 2 ）＝4＋2 2 .故答案为4＋2
2.
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3
解得 x1＝－2， x2＝ .
2
（4）（ x －5）（ x ＋2）＝8.
解：原方程整理，得 x2－3 x －18＝0.
因式分解，得（ x ＋3）（ x －6）＝0.
解得 x1＝－3， x2＝6.
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8. 用适当的方法解下列方程：
（1）2（ x －2）2＝50；
解：原方程可化为（ x －2）2＝52.
x1＝ x2＝－1
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3. 一元二次方程 x2－4 x ＝12的根是（ B ）
A. x1＝2， x2＝－6
B. x1＝－2， x2＝6
C. x1＝－2， x2＝－6
D. x1＝2， x2＝6
4. 一元二次方程（ x －3）（ x －2）＝0的根是
x1＝3， x2＝
⁠
2 .
⁠
5. 以－1和6为根，且二次项系数是1的一元二次方程是 （ x ＋
5
2
＝0.
1
5
解得 x1＝ ， x2＝ .
6
2
－2＝0.
1
2
＋1
−
1
2
− 2 ＝0，
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9. 在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为 a ⊕ b ＝ a2－ b2，则
方程（4⊕3）⊕ x ＝2 x ＋1的解为 x1＝－8， x2＝6 .
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【解析】由题意，得4⊕3＝42－32＝7，∴（4⊕3）⊕ x ＝7⊕ x