匹配滤波——精选推荐

1.5.
2. 匹配滤波器
最佳接收机还可以有另外的一种结构，即匹配滤波器。

为了说明匹配滤波器的基本原理，我们从这样一个直观的分析入手。

我们知道，通信系统的误码率与输出的信噪比有关，接收端输出信噪比越大，则系统的误码率越小。

因此，如果在每次判决前，输出的信噪比都是最大的，则该系统一定是误码率最小的系统。

遵从这种考虑原则，我们可以得到匹配滤波器的概念。

接收机通过匹配滤波器使输出信噪比最大。

一、匹配滤波器原理
假设线性滤波器的输入端是信号与噪声的叠加)()()(t n t x t s +=，且假设噪声)(t n 是
白噪声，其功率谱密度2
)(0N f P n =
，信号的频谱为)(f X 。

问题：设计一个滤波器使输出端的信噪比在某时刻0t 达到最大。

假设该滤波器的系统响应函数为)(f H ，系统冲击响应为)(t h ，则 输出信号)()()(0t n t s t y O += 其中，⎰
∞
∞
--=
τττd t h x t s )()()(0，)()()(f H f X f S o =
⎰
∞
∞
-=
df e f H f X t s ft
j o π2)()()(
所以在0t 时刻，信号的功率为2
00|)(|t s 输出噪声的功率谱密度2
0|)(|2
)(f H N f P o
n =
输出噪声平均功率为⎰
∞
∞
-=
df f H N Pn 2
0|)(|2
所以0t 时刻输出的信噪比为：
⎰
⎰
∞
∞
-∞
∞
-=
=
df
f H N df e
f H f X Pn
t s r ft j 2
02
22
000|)(|2
|
)()(||
)(|0
π
根据Schwarts 不等式，
⎰
⎰
⎰
∞
∞
-∞
∞
-∞
∞
-≤
df f Y df
f X df f Y f X 2
2
2
|)(||)(||)()(|
02
022
|)(|N E N df f X r s =
≤
⎰
∞
∞
-
当0
2*)()(ft j e f KX f H π-=时等式成立。

因此，如果设计一个滤波器，它的系统响应函数为 0
2*
)()(ft j e
f KX f H π-=时，滤波器输出信噪比最大。

二、匹配滤波器结构
我们再来看看，匹配滤波器的冲激响应)(t h 0
2*
)()(ft j e
f KX f H π-=
两边取傅立叶反变换，得到
*
0)()(t t Kx t h -=
如果输入信号)(t x 是实信号，则)()(0t t Kx t h -=
现在，我们把以上的结论用在数字通信上。

假设符号的传输速率
s
T 1，则在接收端同
样地我们需要每隔s T 时间进行一次判决，因此我们希望在每s T 时刻的输出信噪比最大，将上述的0t 用Ts 带入，我们得到匹配滤波器如下： )()(t T Kx t h s -=。

所以，匹配滤波器的结构如下：
例1、 假设某二进制通信系统的0、1信号对应的传输波形为)(),(21t s t s ，如下图示。

问：1、该系统的匹配接收机结构如何？
四、匹配滤波器与相关接收机的关系
由匹配滤波器的冲激响应函数)()(t T Kx t h s -=，当接收端输入为
)()()(1t n t x t s +=时，在相对于)(1t x 的匹配滤波器端输出信号
⎰
⎰
+-+=
-=
s
s
T s T d T t Kx n x d t h s t r 0
1110
)()]()([)()()(τττττττ
⎰
⎰
+-+
-+=s
s
T s s T d T t x Kn d T t x x K
1110
1)()()()(ττττττ
当s T t =时，得到
⎰
⎰
+=s
s
T T s d x n K
d x x K
T r 0
110
11)()()()()(ττττττ
dt t x t s K
s
T )()(10
⎰
= （相关接收机形式）
因此，在s T t =的取样点上，匹配滤波器与相关接收机的结果是等价的。

因此，如果我们说相关接收机是最佳接收机，那么匹配滤波器也是最佳的。

即最佳接收机的形式可以是相关接收机形式、也可以是匹配滤波器形式。

在实际应用中，由于匹配滤波器只要实现相应的系统响应，就可以实现最佳接收，而 相关接收机要实现乘法、积分运算，因此在实际应用中，经常是匹配滤波器的结构。

由于相关接收机在理论分析方面的方便，因此在理论分析中，经常用相关接收机的形 式。

但是，这两者是等价的。

1.5.3. 相关接收机的性能分析
由上面所讲的相关接收机的理论，我们可以知道，最佳的判决准则最终是由下式决定：
⎰>⎰--
--s
T i s
T m dt
t x t y N i dt
t x t y N m e
X P e
X P 0
2
00
2
0)]()([1)]()([1
)()(
两边取对数，得到
)(ln )]()([1)(ln )]()([(10
2
2
i T i m T m X P dt t x t y N X P dt t x t y N s
s
+--
>+--⎰
⎰
假设符号出现是等概的，我们可以得到如下最佳判决规则：
⎰
⎰
--
>--s
s
T i T m dt t x t y N dt t x t y N 0
2
2
)]()([1)]()([(1，判为m X ，m i ≠
我们在第一、二节讲信号空间概念时，曾经讲到两个信号间的距离
2
/12
2121]
|)()(|[|)()(|⎰-=-=b
a dt t x t x t x t x d
假设发送信号},...2,1),({M i t x i =组成的信号空间可以由正交函数集}...2,1),({N i t f i =张成，则
∑==
N
k k ik
i t f s
t x 1
)()(，即信号)(t x i 可以由空间中的点],...,[21iN i i s s s 表示。

同理，接收信号)(t y 也可以在正交集中展开，
即∑∑∑===-
++
=
+=N
k k k
N
k k k
N
k k ik
i t f n
t n t f n
t f s
t n t x t y 1
1
1
)()()()()()()(
)()(1
t o t f r
N
k k k
+=
∑=
我们可以证明，∑=-
=N
k k k
t f n
t n t 1
)()()(ο与k r 是不相关的，即从)(t ο中是不知道任何
关于)(t x i 的信息的，因此它对判决的结果没有影响。

[证明可以参见Proakis 的《数字通信》书P237]。

****
)]([)]([)]([])([t o n E t o n E t o s E r t o E k k ik k =+=
∑⎰
=-
=
N
i j k
i
T k t f n
n E d f n t n E s
1
)()()()]()([τττ
0)(2
1)(2
100=-
=
t f N t f N k k *****
因此，上述的信号间距离也可以变成接收信号点与星座图中各个星座间的距离： 2
/1122
/12
)(]
|)()(|[|)()(|⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-=-=∑⎰=N k ik k b
a i i s r dt t x t y t x t y d
其中，k ik k n s r +=，k n 是高斯型的噪声。

其中，0)()]([][0
==⎰
s
T k k dt t f t n E n E
⎰⎰
=
s s
T T m k m k dtd f t f n t n E n n E 0
)()()]()([][τττ ⎰
⎰
-=s
s
T m k T d t d f t f t N 0
00
)()()(2
1τττδ
mk N δ02
1=
其中， ⎩⎨⎧≠==k
m k m mk
1
δ
所以，k n 是均值为0，方差为02
1N 的高斯变量。

相应的判决准则可以变成如下：
)(ln )]()([1)(ln )]()([(10
2
2
i T i m T m X P dt t x t y N X P dt t x t y N s
s
+--
>+--⎰
⎰
等价于
)(ln )()(ln )(01
2
01
2
i N
k ik k
m N
k mk k
X P N s r
X P N s r
--<
--∑∑==
对于等概传输的系统来说，就变成了如下：
∑∑==-<
-N
k ik k
N
k mk k
s r
s r
1
2
1
2
)()(，判为m X （准则二）
一、二进制最佳接收机的性能
1、 2PSK 信号的最佳接收机性能 我们知道，2PSK 信号)()(10t s t s -=， 假设t f t g t s c π2cos )()(0-= 则)()(00t f s t s = 其中，t f t g E t f c g
π2cos )(2)(=
，2/0g E s =
我们定义符号能量g T s E dt t s E s
2
1)(0
2
0=
=⎰
，
所以，s E s -=0。

它们的信号距离s E d 2m in =
假设经过相关接收机（或匹配滤波器后），每个抽样时刻输出
k i k n s r +=，i=0,1
其中，s E s s -=-=10，k n 是均值为0，方差为02
1N 的高斯变量。

根据准则二，这里条件为N=1（一维信号空间）
2
12
0)()(s r s r k k -<-，判为0。

根据上述的准则，我们可以得到错误判决的概率：
)
()|)(()()|)((112
201002102
X P n s r n n s s P X P n s r n s s n P P k k k k k k k k
e +=>+-++=+->= 即（图示） )()()()(10X P E n P X P E n P P s k s k e >
+>=
=
)0(2
1)0(2
1>++>+-k s k s n E P n E P
其中， 0
2
1
)(N n k k
e
N n f -=
π
所以，2PSK 相干最佳接收系统的误码率为 ⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛
=0
m i n
200221
2N d
Q N E e r f c
N E Q P s s e 例题1，一2PSK 通信的接收系统如图示，在每码元期间，2PSK 信号或为 t f t g c π2cos )(，或为t f t g c π2cos )(-（等概出现）。

二进制码元宽度为ms T 1=， 载频MHz f 10=，)(t g 是矩形波，加性宽带白高斯噪声)(t n 的双边功率谱密度为 2
0N ，问
1、如何设计)(f H ，使得在（1）处T 抽样时刻的信噪比最大，请写出滤波器的传
递函数)(f H 表示式。

2、请写出在（1）处T 时刻的瞬时信号功率值及信噪比。

3、若在T 时刻的抽样值为V ，请写出在等概情况下的最佳判决门限及判决公式（判
决准则）。

4、请详细推导上述解调器的误码率公式。

c
2、 2FSK 信号的最佳接收机性能 2FSK 的两个发送信号为： 0——)(2cos )()(110t f E t f t g t s s =
=π
1——t f t g t s 212cos )()(π==)(2t f E s
可见，2FSK 信号是二维信号，它们的距离是s E d 2m in =。

经过相关接收机或（匹配滤波器）后， ],[21n n E r s k +==],[21k k r r （发送0）
或],[21n E n r s k += （发送1） 判决的准则是：
2
1222
1112
0222
011)()()()(s r s r s r s r k k k k -+-<-+-，判为0
其中，0,11021201====s s E s s s
根据上述的准则，我们可以得到错误判决的概率： 判决0错误的概率：
))()(()(2
22
12
22
100s s E n n E n n P X P P -
++<+=
)(2
112s E n n P >-=
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛
==
-∞⎰
020
21212
10
2
N E Q dy e
N s N y
E s
π 同理，可以得到判决1错误的概率为
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛
=
=00121N E Q P P s 所以，2PSK 最佳接收机的误码率为 ⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛
=0
m in
2002221
N d
Q N E erfc N E Q P s s e 3、 2ASK 信号的最佳接收机性能
2ASK 信号形式)(2cos )()(,0)(10t f E t f t g t s t s s c ===π
因此，2ASK 信号是一维信号。

判决准则变成：
2
12
0)()(s r s r k k -<-，判为0。

其中，00=s
k k n r = （发0时）
k s k n E r += （发1时）
根据上述的准则，我们可以得到错误判决的概率： 判决0错误的概率：
)2
1(2
1)|)((212
2
0s k k k s k k
E n P n r E r r P P >
=
=-
>=
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=
=
⎰
∞-002
421221
1
2
10
2
N E e r f c
N E Q dy e
N s
s E N y
s π 同理，01P P =
所以，2ASK 系统的性能为：
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛
=00421
2N E erfc N E Q P s s e 2ASK 信号的最小距离为s E d =m in
所以，⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛
=02
m in 2N d Q P e 4、 二进制最佳接收机系统的性能总结
由以上的分析可以看到，对于二进制等概传输系统的误码率为 ⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛
=02
m in 2N d Q P e ，其中min d
是星座图中的最小距离。

1.5.4. 二进制最佳接收机与非最佳结构的区别
b E 与s E 的区别：
b E ：表示平均每比特信号的能量
s E ：表示平均每个符号的能量，当采用二元通信时，由于每个符号所携带的信息比特
为1比特，因此每比特能量与每符号能量是等价的。

但是，当采用多（M ）进制通信时，由于每个符号传输所携带的信息比特数为M 2
log ，因此每符号能量不等于每比特能量，两者
相差M R 2
log
=倍，即b s RE E =，R 称为编码率。

在后续章节中，我们将讲述纠错编码，
在纠错编码中，可能是1个比特被编成n 个比特，然后进行传输，因此此时每比特能量比每
符号能量大。

为了比较数字通信系统的性能好坏，我们需要一个统一的比较量。

由于数字通信系统的性能与信噪比直接相关，因此在比较各种数字通信系统时，经常采用0/N E b （每比特信噪比）这个参数作为衡量性能的标准。

一、最佳系统与普通接收机的区别 普通接收机（第六章）
最佳2PSK 的接收机
两者之间的差别在普通接收机并没有充分利用码元时间内的信号，而只是取了其中的一个点作为判决，而最佳接收机充分利用了整个码元时间内的信号（信息）。

在理想情况下（即信道是无限宽的），两者是等价的。

但是在实际应用中，最佳接收机比普通接收机性能好。

（请好好思考这个问题）
在书第六章中，非最佳接收机的性能由N
S r =
信噪比来体现。

其中，B
N a a
r n
02
2
22/2=
=
σ
（是信号经过带通后的信噪比）
例如，2PSK 普通接收系统的误码率为()r erfc
P e 2
1=
2PSK 最佳接收系统的误码率⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=021N E erfc P s e N
S B N S N ST N E T
s ===00
而非最佳系统的B N N 0=，这里B 是带通的带宽。

因此，只有当带通带宽T
B 1=
时，第六章所述的接收机才与最佳接收机性能一样。

然而，实际系统中，带通滤波器的带宽要求信号完全通过（即对信号不造成失真）。

假设基带信号波形为矩形的话，则T /1是基带信号频谱的第一个零点，如果带通滤波
器带宽为T
B 1=
，则信号的失真太大，达不到实际接收系统的带通要求。

因此，实际
系统的性能肯定要比最佳接收系统的性能差。

最佳接收系统相当于是最小带通带宽的接收机，因此进入判决的噪声也小。

接收系统为了让信号尽可能通过，因此在接收机前端的带通滤波器带宽适当放大，而相关接收机相当于将信号全部通过，噪声进行再次的滤波，因此性能自然得到改善。

1.5.5. 多进制最佳接收机的性能(*选修内容)
1.5.6. 最佳基带系统
一、理想信道下的最佳基带系统 什么是理想信道？
理想信道就是对信号衰减为1，噪声为加性高斯白噪的信道模型。

问题的提出：在理想信道下，我们来考虑整个通信系统的传输部分，如何使整个系统传输最优。

接收系统的最优化并不等于整个系统的最优化。

即局部最优并不等于全局最优。

我们知道，通信系统中的干扰除了信道中的噪声外（不可避免的），同时还可能有码间干扰。

最佳接收机只解决了信道干扰的最佳接收，因此如果整个传输系统被设计成无码间干扰，且又符合最佳接收的条件，则我们可以预见整个系统的性能将达到最佳。

即基带传输系统既符合码间干扰又符合最佳接收机结构形式，则我们可以预见这样设计的基带传输系统是最佳的基带系统。

即最佳基带传输系统的传递函数
)()()()(f G f C f G f H r T =要满足无码间干扰条件，又要符合最佳接收机形式。

因为是理想信道，信道的传递函数是常数，所以
)()()(f G f G f H R T =要满足奈奎斯特无码间串扰条件。

如果我们令接收滤波器fT j T R e f G f G π2*)()(-=，则
接收机与发射机形成匹配形式，可以保证判决时信噪比最大。

因此综合以上结果，设计最佳基带系统应按2步设计： 1、根据频谱的要求设计无码间干扰系统的传递函数)(f H 2、令)()(f H f G T =，fT
j R e
f H f G π2)()(-=
举例1，
假设某二元通信系统的信息速率为1200bits/s ，采用基带传输，已知信道的带宽为1200Hz ，请设计最佳通信方式，并画出系统框图和必要的设计参数。

解：为了适应信道的带宽要求，必须设计在900Hz 带宽内无码间干扰的传输系统，根据无码间干扰的准则，我们可以得到整个系统的传递函数应为1=α的升余弦函数。

因此
]cos 1[2)(s s
fT T f H π+=
)()(f H f G T =，fT j R e f H f G π2)()(-=
二、非理想信道下的最佳基带系统
非理想信道下的最佳基带系统设计与理想信道下一样，只不过由于信道非理想，通常在设计无码间干扰传递函数前，先对信道进行理想化，这在实际系统中一般用均衡技术解决。

然后按照理想信道的最佳基带传输系统进行设计。

本章小结：
要求掌握的内容：
1、概念（信号空间、噪声空间、似然函数、先验概率、后验概率、符号能量、比特能量）
2、最佳接收准则（MAP 准则、最大似然准则）
3、最佳接收机的两种结构（相关接收机、匹配滤波器）
4、二进制最佳接收机的性能分析
5、最佳基带传输系统的设计
最佳接收机的性能分析实际上是一个数学问题，问题就是已知
n x y +=，且x 是一个二元的随机变量，取+V 、-V 的概率分别为p ，1-p 。

问y 判决错误的概率是多少？
y 是信号经过接收机接收后，在T 时刻的抽样值，它由两部分组成，信号+噪声。

因此，分析这样的系统时，可以信号归信号、噪声归噪声进行分析。

补充：通信系统的仿真
假设我们要通过计算机仿真的方法来验证我们推导的2PSK 最佳接收系统性能公式 )(21
0N E erfc P b
e
源产生：（随机产生二进制数据，且-1、1等概）
sign(randn(1,1000)) 一次产生1000个随机等概的-1、+1信号。

Randn(1,N) 产生N 个均值为0，方差为1的高斯分布随机变量的样本。

此时Eb = 1;
噪声：sqrt(N0)*randn(1,N)，均值为0，方差为N0
判决：>0，判决为1；<0判决为0
统计误码：即将1000个源输入，得到1000个输出，比较两者的差异的个数。

误码率=误码个数/总传输比特数。

现在，要作出Eb/N0与Pe 的图，改变不同的N0就可以得到不同Eb/N0下的Pe 值。