2021年广东省湛江市中考数学试卷

2021年广东省湛江市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）下列实数中，最大的数是（）
A．πB．√2C．|﹣2|D．3
2．（3分）据国家卫生健康委员会发布，截至2021年5月23日，31个省（区、市）及新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗51085.8万剂次，将“51085.8万”用科学记数法表示为（）
A．0.510858×109B．51.0858×107
C．5.10858×104D．5.10858×108
3．（3分）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7的概率是（）
A．1
12B．
1
6
C．
1
3
D．
1
2
4．（3分）已知9m＝3，27n＝4，则32m+3n＝（）
A．1B．6C．7D．12 5．（3分）若|a−√3|+√9a2−12ab+4b2=0，则ab＝（）
A．√3B．9
2
C．4√3D．9
6．（3分）下列图形是正方体展开图的个数为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC＝3，∠ABC的平分线交AC于点D，CD＝1，则⊙O的直径为（）
A．√3B．2√3C．1D．2
8．（3分）设6−√10的整数部分为a ，小数部分为b ，则（2a +√10）b 的值是（ ） A ．6
B ．2√10
C ．12
D ．9√10
9．（3分）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a ，b ，c ，记p =
a+b+c
2
，则其面积S =√p(p −a)(p −b)(p −c)．这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式．若p ＝5，c ＝4，则此三角形面积的最大值为（ ） A ．√5
B ．4
C ．2√5
D ．5
10．（3分）设O 为坐标原点，点A 、B 为抛物线y ＝x 2上的两个动点，且OA ⊥OB ．连接点A 、B ，过O 作OC ⊥AB 于点C ，则点C 到y 轴距离的最大值（ ） A ．1
2
B ．
√2
2
C ．
√32
D ．1
二、填空题：本大题7小题，每小题4分，共28分.
11．（4分）二元一次方程组{x +2y =−2
2x +y =2
的解为 ．
12．（4分）把抛物线y ＝2x 2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ．
13．（4分）如图，等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝4．分别以点B 、点C 为圆心，线段BC 长的一半为半径作圆弧，交AB 、BC 、AC 于点D 、E 、F ，则图中阴影部分的面积为 ．
14．（4分）若一元二次方程x 2+bx +c ＝0（b ，c 为常数）的两根x 1，x 2满足﹣3＜x 1＜﹣1，1＜x 2＜3，则符合条件的一个方程为 ．
15．（4分）若x +1
x =13
6且0＜x ＜1，则x 2−1
x
2= ．
16．（4分）如图，在▱ABCD 中，AD ＝5，AB ＝12，sin A =4
5．过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，则sin ∠BCE ＝ ．
17．（4分）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3．点D为平面上一个动点，∠ADB ＝45°，则线段CD长度的最小值为．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题6分，共18分.
18．（6分）解不等式组{2x−4＞3(x−2) 4x＞x−72
．
19．（6分）某中学九年级举办中华优秀传统文化知识竞赛．用简单随机抽样的方法，从该年级全体600名学生中抽取20名，其竞赛成绩如图：
（1）求这20名学生成绩的众数，中位数和平均数；
（2）若规定成绩大于或等于90分为优秀等级，试估计该年级获优秀等级的学生人数．20．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE＝AB．
（1）若AE＝1，求△ABD的周长；
（2）若AD=1
3BD，求tan∠ABC的值．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分。

21．（8分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与x轴、y轴分别
交于A、B两点，且与反比例函数y=4
x图象的一个交点为P（1，m）．
（1）求m的值；
（2）若P A＝2AB，求k的值．
22．（8分）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．
（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
（2）设猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65），y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．
23．（8分）如图，边长为1的正方形ABCD中，点E为AD的中点．连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，BF交AC于点G，求CG的长．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题10分，共20分。

24．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，∠ABC＝90°，点E、F分别在线段BC、AD上，且EF∥CD，AB＝AF，CD＝DF．
（1）求证：CF⊥FB；
（2）求证：以AD为直径的圆与BC相切；
（3）若EF＝2，∠DFE＝120°，求△ADE的面积．
25．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0），且对任意实数x，都有4x ﹣12≤ax2+bx+c≤2x2﹣8x+6．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年广东省湛江市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）下列实数中，最大的数是（）
A．πB．√2C．|﹣2|D．3
【分析】C选项，﹣2的绝对值是2，所以这4个数都是正数，B选项，√2＜2，即可得到最大的的数是π．
【解答】解：|﹣2|＝2，
∵2＜4，
∴√2＜2，
∴√2＜2＜3＜π，
∴最大的数是π，
故选：A．
2．（3分）据国家卫生健康委员会发布，截至2021年5月23日，31个省（区、市）及新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗51085.8万剂次，将“51085.8万”用科学记数法表示为（）
A．0.510858×109B．51.0858×107
C．5.10858×104D．5.10858×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：51085.8万＝510858000＝5.10858×108，
故选：D．
3．（3分）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7的概率是（）
A．1
12B．
1
6
C．
1
3
D．
1
2
【分析】画树状图，共有36种等可能的结果数，其中两枚骰子向上的点数之和为7的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图为：
共有36种等可能的结果数，其中两枚骰子向上的点数之和为7的结果有6种，
∴两枚骰子向上的点数之和为7的概率为6
36=
1 6
，
故选：B．
4．（3分）已知9m＝3，27n＝4，则32m+3n＝（）
A．1B．6C．7D．12【分析】分别根据幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则解答即可．【解答】解：∵9m＝32m＝3，27n＝33n＝4，
∴32m+3n＝32m×33n＝3×4＝12．
故选：D．
5．（3分）若|a−√3|+√9a2−12ab+4b2=0，则ab＝（）
A．√3B．9
2
C．4√3D．9
【分析】根据非负数的性质列方程求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：由题意得，a−√3=0，9a2﹣12ab+4b2＝0，
解得a=√3，b=3√3 2，
所以，ab=√3×3√3
2
=92．
故选：B．
6．（3分）下列图形是正方体展开图的个数为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图的特征解答即可．
【解答】解：由正方体的四个侧面和底面的特征可知，可以拼成正方体是下列三个图形：
故这些图形是正方体展开图的个数为3个．
故选：C．
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC＝3，∠ABC的平分线交AC于点D，CD＝1，则⊙O的直径为（）
A．√3B．2√3C．1D．2
【分析】如图，过点D作DT⊥AB于T．证明DT＝DC＝1，推出AD＝2DT，推出∠A＝30°，可得结论．
【解答】解：如图，过点D作DT⊥AB于T．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴DC⊥BC，
∵DB平分∠CBA，DC⊥BC，DT⊥BA，
∴DC＝DT＝1，
∵AC＝3，
∴AD＝AC﹣CD＝2，
∴AD＝2DT，
∴∠A＝30°，
∴AB=
AC
cos30°
=
√3
2
=2√3，
故选：B．
8．（3分）设6−√10的整数部分为a，小数部分为b，则（2a+√10）b的值是（）A．6B．2√10C．12D．9√10
【分析】根据算术平方根得到3＜√10＜4，所以2＜6−√10＜3，于是可得到a＝2，b＝4−√10，然后把a与b的值代入（2a+√10）b中计算即可．
【解答】解：∵3＜√10＜4，
∴2＜6−√10＜3，
∵6−√10的整数部分为a，小数部分为b，
∴a＝2，b＝6−√10−2＝4−√10，
∴（2a+√10）b＝（2×2+√10）×（4−√10）＝（4+√10）（4−√10）＝6，
故选：A．
9．（3分）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古
希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c
2，
则其面积S=√p(p−a)(p−b)(p−c)．这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式．若p＝5，c＝4，则此三角形面积的最大值为（）
A．√5B．4C．2√5D．5
【分析】根据公式算出a+b的值，代入公式即可求出解．
【解答】解：∵p=a+b+c
2，p＝5，c＝4，
∴5=a+b+4
2，
∴a+b＝6，
∴a＝6﹣b，
∴S=√p(p−a)(p−b)(p−c) =√5(5−a)(5−b)(5−4)
=√5(5−a)(5−b)
=√5ab−25
=√5b(6−b)−25
=√−5b 2+30b −25 =√−5(b −3)2+20，
当b ＝3时，S 有最大值为√20=2√5． 故选：C ．
10．（3分）设O 为坐标原点，点A 、B 为抛物线y ＝x 2上的两个动点，且OA ⊥OB ．连接点A 、B ，过O 作OC ⊥AB 于点C ，则点C 到y 轴距离的最大值（ ） A ．1
2
B ．
√2
2
C ．
√32
D ．1
【分析】分别作AE 、BF 垂直于x 轴于点E 、F ，设OE ＝a ，OF ＝b ，由抛物线解析式可得AE ＝a 2，BF ＝b 2，作AH ⊥BH 于H ，交y 轴于点G ，连接AB 交y 轴于点D ，设点D （0，m ），易证△ADG ～△ABH ，所以DG BH
=AG AH ，即
m−a 2
b 2−a 2
=
a a+b
．可得m ＝ab ．再证
明△AEO ～△OFB ，所以
AE OF
=
EO BF
，即a 2b =
a b 2
，可得ab ＝1．即得点D 为定点，坐标为
（0，1），得DO ＝1．进而可推出点C 是在以DO 为直径的圆上运动，则当点C 到y 轴距离为此圆的直径的一半，即1
2时最大．
【解答】解：如图，分别作AE 、BF 垂直于x 轴于点E 、F ， 设OE ＝a ，OF ＝b ，由抛物线解析式为y ＝x 2， 则AE ＝a 2，BF ＝b 2，
作AH ⊥BH 于H ，交y 轴于点G ，连接AB 交y 轴于点D ， 设点D （0，m ）， ∵DG ∥BH ， ∴△ADG ～△ABH ， ∴
DG BH
=
AG AH
，即
m−a 2
b 2−a 2
=
a a+b
．
化简得：m ＝ab ． ∵∠AOB ＝90°， ∴∠AOE +∠BOF ＝90°， 又∠AOE +∠EAO ＝90°， ∴∠BOF ＝∠EAO ， 又∠AEO ＝∠BFO ＝90°， ∴△AEO ～△OFB ．
∴AE OF =EO BF ，
即
a 2b
=
a b 2
，
化简得ab ＝1．
则m ＝ab ＝1，说明直线AB 过定点D ，D 点坐标为（0，1）． ∵∠DCO ＝90°，DO ＝1，
∴点C 是在以DO 为直径的圆上运动，
∴当点C 到y 轴距离为1
2
DO =1
2
时，点C 到y 轴距离的最大．
故选：A ．
二、填空题：本大题7小题，每小题4分，共28分.
11．（4分）二元一次方程组{x +2y =−22x +y =2的解为
．
【分析】直接利用加减消元法求解可得问题的答案． 【解答】解：{x +2y =−2①
2x +y =2②，
①×2﹣②，得：3y ＝﹣6，即y ＝﹣2， 将y ＝﹣2代入②，得：2x +（﹣2）＝2， 解得：x ＝2， 所以方程组的解为{
x =2
y =−2
．
故答案为{x =2
y =−2
．
12．（4分）把抛物线y ＝2x 2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 y ＝2x 2+4x ．
【分析】可根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答．
【解答】解：把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2+1﹣3，即y＝2x2+4x
故答案为y＝2x2+4x．
13．（4分）如图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4．分别以点B、点C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB、BC、AC于点D、E、F，则图中阴影部分的面积为4﹣π．
【分析】阴影部分的面积等于△ABC的面积减去空白处的面积即可得出答案．
【解答】解：等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴AB＝AC=√2
2BC＝2√2
∵BE＝CE=1
2BC＝2，
∴阴影部分的面积S＝S△ABC﹣S扇形BDE﹣S扇形CEF=1
2
×2√2×2√2−45π×2
2
360
×2＝4﹣π，
故答案为4﹣π．
14．（4分）若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c为常数）的两根x1，x2满足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3，则符合条件的一个方程为x2﹣2＝0（答案不唯一）．
【分析】根据一元二次方程的定义解决问题即可，注意答案不唯一．
【解答】解：∵若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c为常数）的两根x1，x2满足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3，
∴满足条件分方程可以为：x2﹣2＝0（答案不唯一），
故答案为：x2﹣2＝0（答案不唯一）．
15．（4分）若x+1
x
=136且0＜x＜1，则x2−1
x2
=−6536．
【分析】根据题意得到x−1
x＜0，根据完全平方公式求出x−
1
x，根据平方差公式把原式
变形，代入计算即可．
【解答】解：∵0＜x＜1，
∴x＜1 x，
∴x−1
x＜0，
∵x+1
x
=136，
∴（x+1
x）
2=169
36，即x
2+2+1
x2
=169
36，
∴x2﹣2+1
x2
=169
36
−4，
∴（x−1
x）
2=25
36，
∴x−1
x
=−56，
∴x2−1
x2
=（x+1x）（x−1x）=136×（−56）=−6536，
故答案为：−65 36．
16．（4分）如图，在▱ABCD中，AD＝5，AB＝12，sin A=4
5．过点D作DE⊥AB，垂足为E，
则sin∠BCE＝．
【分析】过点B作BF⊥EC于点F，根据DE⊥AB，AD＝5，sin A=DE
AD
=45，可得DE＝4，
根据勾股定理可得AE＝3，再根据平行四边形的性质可得AD＝BC＝5，AB＝CD＝12，BE＝AB﹣AE＝12﹣3＝9，根据tan∠CEB＝tan∠DCE，可得EF＝3BF，再根据勾股定理可得BF的长，进而可得结果．
【解答】解：如图，过点B作BF⊥EC于点F，
∵DE⊥AB，AD＝5，sin A=DE
AD
=45，
∴DE＝4，
∴AE =√AD 2−DE 2=3，
在▱ABCD 中，AD ＝BC ＝5，AB ＝CD ＝12， ∴BE ＝AB ﹣AE ＝12﹣3＝9， ∵CD ∥AB ，
∴∠DEA ＝∠EDC ＝90°，∠CEB ＝∠DCE ， ∴tan ∠CEB ＝tan ∠DCE ， ∴
BF EF
=
DE CD
=
412
=1
3
，
∴EF ＝3BF ，
在Rt △BEF 中，根据勾股定理，得 EF 2+BF 2＝BE 2， ∴（3BF ）2+BF 2＝92， 解得，BF =9√10
10，
∴sin ∠BCE =BF BC =9√10
105=9√10
50
． 故答案为：
9√1050
．
17．（4分）在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝3．点D 为平面上一个动点，∠ADB ＝45°，则线段CD 长度的最小值为 √5−√2 ．
【分析】根据∠ADB ＝45°，AB ＝2，作△ABD 的外接圆O ，连接OC ，当O 、D 、C 三点共线时，CD 的值最小．将问题转化为点圆最值．可证得△AOB 为等腰直角三角形，OB ＝OA =√2，同样可证△OBE 也为等腰直角三角形，OE ＝BE ＝1，由勾股定理可求得OC 的长为√5，最后CD 最小值为OC ﹣OD =√5−√2． 【解答】解：如图所示．
∵∠ADB ＝45°，AB ＝2，作△ABD 的外接圆O （因求CD 最小值，故圆心O 在AB 的右侧），连接OC ，
当O 、D 、C 三点共线时，CD 的值最小． ∵∠ADB ＝45°， ∴∠AOB ＝90°，
∴△AOB 为等腰直角三角形， ∴AO ＝BO ＝sin45°×AB =√2．
∵∠OBA＝45°，∠ABC＝90°，
∴∠OBE＝45°，作OE⊥BC于点E，
∴△OBE为等腰直角三角形．
∴OE＝BE＝sin45°•OB＝1，
∴CE＝BC﹣BE＝3﹣1＝2，
在Rt△OEC中，
OC=√OE2+CE2=√1+4=√5．
当O、D、C三点共线时，
CD最小为CD＝OC﹣OD=√5−√2．
故答案为：√5−√2．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题6分，共18分.
18．（6分）解不等式组{2x−4＞3(x−2) 4x＞x−72
．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x﹣4＞3（x﹣2），得：x＜2，
解不等式4x＞x−7
2，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x＜2．
19．（6分）某中学九年级举办中华优秀传统文化知识竞赛．用简单随机抽样的方法，从该年级全体600名学生中抽取20名，其竞赛成绩如图：
（1）求这20名学生成绩的众数，中位数和平均数；
（2）若规定成绩大于或等于90分为优秀等级，试估计该年级获优秀等级的学生人数． 【分析】（1）根据条形统计图，计算众数、中位数和平均数； （2）利用样本估计总体思想求解可得．
【解答】解：（1）由列表中90分对应的人数最多，因此这组数据的众数应该是90， 由于人数总和是20人为偶数，将数据从小到大排列后，第10个和第11个数据都是90分，因此这组数据的中位数应该是90， 平均数是：
80×2+85×3+90×8+95×5+100×2
2+3+8+5+2
=90.5；
（2）根据题意得： 600×
8+5+2
20
=450（人）， 答：估计该年级获优秀等级的学生人数是450人．
20．（6分）如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，作BC 的垂直平分线交AC 于点D ，延长AC 至点E ，使CE ＝AB ．
（1）若AE ＝1，求△ABD 的周长； （2）若AD =1
3
BD ，求tan ∠ABC 的值．
【分析】（1）连接BD ，设BC 垂直平分线交BC 于点F ，再根据线段垂直平分线的性质求解即可；
（2）设AD＝x，则BD＝CD＝3x，AC＝4x，由勾股定理可表示出AB＝2√2x，从而可计
算出tan∠ABC=AC
AB
=4x
2√2x
=√2．
【解答】解：（1）如图，连接BD，设BC垂直平分线交BC于点F，∴BD＝CD，
C△ABD＝AB+AD+BD
＝AB+AD+DC
＝AB+AC，
∵AB＝CE，
∴C△ABD＝AC+CE＝AE＝1，
故△ABD的周长为1．
（2）设AD＝x，
∴BD＝3x，
又∵BD＝CD，
∴AC＝AD+CD＝4x，
在Rt△ABD中，AB=√BD2−AD2=√(3x)2−x2=2√2x．
∴tan∠ABC=AC
AB
=4x
2√2x
=√2．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分。

21．（8分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与x轴、y轴分别
交于A、B两点，且与反比例函数y=4
x图象的一个交点为P（1，m）．
（1）求m的值；
（2）若P A＝2AB，求k的值．
【分析】（1）把P（1，m）代入反比例函数解析式即可求得；
（2）分两种情况，通过证得三角形相似，求得BO的长度，进而即可求得k的值．
【解答】解：（1）∵P （1，m ）为反比例函数y =4x
图象上一点， ∴代入得m =4
1
=4， ∴m ＝4；
（2）令y ＝0，即kx +b ＝0， ∴x =−b
k ，A （−b k ，0）， 令x ＝0，y ＝b ， ∴B （0，b ）， ∵P A ＝2AB ，
由图象得，可分为以下两种情况： ①B 在y 轴正半轴时，b ＞0， ∵P A ＝2AB ，
过P 作PH ⊥x 轴交x 轴于点H ， 又B 1O ⊥A 1H ，∠P A 1O ＝∠B 1A 1O ， ∴△A 1OB 1∽△A 1HP ， ∴
A 1
B 1A 1P
=
A 1O A 1H
=
B 1O PH =1
2
，
∴B 1O =1
2PH ＝4×1
2=2， ∴b ＝2， ∴A 1O ＝OH ＝1， ∴|−b k
|＝1， ∴k ＝2；
②B 在y 轴负半轴时，b ＜0，过P 作PQ ⊥y 轴， ∵PQ ⊥B 2Q ，A 2O ⊥B 2Q ，∠A 2B 2O ＝∠AB 2Q ， ∴△A 2OB 2△PQB 2， ∴
A 2
B 2PB 2=
13=
A 2O PQ
=
B 2O B 2Q
，
∴AO ＝|−b
k |=1
3PQ =1
3，B 2O =1
3B 2Q =1
2OQ ＝|b |＝2， ∴b ＝﹣2， ∴k ＝6，
综上，k ＝2或k ＝6．
22．（8分）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒． （1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
（2）设猪肉粽每盒售价x 元（50≤x ≤65），y 表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y 关于x 的函数解析式并求最大利润．
【分析】（1）设猪肉粽每盒进价a 元，则豆沙粽每盒进价（a ﹣10）元，根据商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列出方程，解方程即可；
（2）由题意得，当x ＝50时，每天可售出100盒，当猪肉粽每盒售价x 元（50≤x ≤65）时，每天可售[100﹣2（x ﹣50）]盒，列出每天销售猪肉粽的利润y 与猪肉粽每盒售价x 元的函数关系式，根据二次函数的性质及x 的取值范围求利润的最大值． 【解答】解：（1）设猪肉粽每盒进价a 元，则豆沙粽每盒进价（a ﹣10）元， 则
8000a
=
6000
a−10
，
解得：a ＝40，经检验a ＝40是方程的解， ∴猪肉每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元， 答：猪肉每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元； （2）由题意得，当x ＝50时，每天可售出100盒，
当猪肉粽每盒售价x 元（50≤x ≤65）时，每天可售[100﹣2（x ﹣50）]盒， ∴y ＝x [100﹣2（x ﹣50）]﹣40×[100﹣2（x ﹣50）]＝﹣2x 2+280x ﹣8000， 配方，得：y ＝﹣2（x ﹣70）2+1800， ∵x ＜70时，y 随x 的增大而增大，
∴当x ＝65时，y 取最大值，最大值为：﹣2（65﹣70）2+1800＝1750（元）．
答：y 关于x 的函数解析式为y ＝﹣2x 2+280x ﹣8000（50≤x ≤65），且最大利润为1750元． 23．（8分）如图，边长为1的正方形ABCD 中，点E 为AD 的中点．连接BE ，将△ABE 沿BE 折叠得到△FBE ，BF 交AC 于点G ，求CG 的长．
【分析】延长BF 交CD 于H ，连接EH ．证明△EDH ∽△BAE ，推出ED AB
=
DH EA
=1
2
，推
出DH =1
4
，CH =34
，由CH ∥AB ，推出
CG GA
=
CH AB
=3
4
，可得结论．
【解答】解：延长BF 交CD 于H ，连接EH ． ∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB ∥CD ，∠D ＝∠DAB ＝90°，AD ＝CD ＝AB ＝1， ∴AC =√AD 2+CD 2=√12+12=√2，
由翻折的性质可知，AE ＝EF ，∠EAB ＝∠EFB ＝90°，∠AEB ＝∠FEB ， ∵点E 是AD 的中点， ∴AE ＝DE ＝EF ， ∵∠D ＝∠EFH ＝90°， 在Rt △EHD 和Rt △EHF 中， {EH =EH ED =EF
， ∴Rt △EHD ≌Rt △EHF （HL ）， ∴∠DEH ＝∠FEH ， ∴∠HEB ＝90°， ∴∠DEH +∠AEB ＝90°， ∵∠AEB +∠ABE ＝90°， ∴∠DEH ＝∠ABE ， ∴△EDH ∽△BAE ，
∴ED AB =DH EA
=12， ∴DH =14，CH =34，
∵CH ∥AB ，
∴CG GA =CH AB
=34， ∴CG =37AC =3√27．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题10分，共20分。

24．（10分）如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ≠CD ，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别
在线段BC 、AD 上，且EF ∥CD ，AB ＝AF ，CD ＝DF ．
（1）求证：CF ⊥FB ；
（2）求证：以AD 为直径的圆与BC 相切；
（3）若EF ＝2，∠DFE ＝120°，求△ADE 的面积．
【分析】（1）先判断出∠DFE ＝2∠EFC ，同理判断出∠AFE ＝2∠BFE ，进而判断出2∠BFE +2∠EFC ＝180°，即可得出结论；
（2）取AD 的中点O ，过点O 作OH ⊥BC 于H ，先判断出OH =12（AB +CD ），进而判断出OH =12AD ，即可得出结论；
（3）先求出∠CFE ＝60°，CE ＝2√3，再判断出四边形CEMD 是矩形，得出DM ＝2√3，
过点A作AN⊥EF于N，同理求出AN=2√3
3，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵CD＝DF，
∴∠DCF＝∠DFC，
∵EF∥CD，
∴∠DCF＝∠EFC，
∴∠DFC＝∠EFC，
∴∠DFE＝2∠EFC，
∵AB＝AF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∵CD∥EF，CD∥AB，
∴AB∥EF，
∴∠EFB＝∠AFB，
∴∠AFE＝2∠BFE，
∵∠AFE+∠DFE＝180°，
∴2∠BFE+2∠EFC＝180°，
∴∠BFE+∠EFC＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∴CF⊥BF；
（2）证明：如图1，取AD的中点O，过点O作OH⊥BC于H，∴∠OHC＝90°＝∠ABC，
∴OH∥AB，
∵AB∥CD，
∴OH∥AB∥CD，
∵AB∥CD，AB≠CD，
∴四边形ABCD是梯形，
∴点H是BC的中点，即OH是梯形ABCD的中位线，
∴OH=1
2（AB+CD），
∵AB＝AF，CD＝DF，
∴OH=1
2（AF+DF）=
1
2AD，
∵OH⊥BC，
∴以AD为直径的圆与BC相切；
（3）如图2，
由（1）知，∠DFE＝2∠EFC，
∵∠DFE＝120°，
∴∠CFE＝60°，
在Rt△CEF中，EF＝2，∠ECF＝90°﹣∠CFE＝30°，∴CF＝2EF＝4，
∴CE=√CF2−EF2=2√3，
∵AB∥EF∥CD，∠ABC＝90°，
∴∠ECD＝∠CEF＝90°，
过点D作DM⊥EF，交EF的延长线于M，
∴∠M＝90°，
∴∠M＝∠ECD＝∠CEF＝90°，
∴四边形CEMD是矩形，
∴DM＝CE＝2√3，
过点A作AN⊥EF于N，
∴四边形ABEN是矩形，
∴AN＝BE，
由（1）知，∠CFB＝90°，
∵∠CFE＝60°，
∴∠BFE＝30°，
在Rt△BEF中，EF＝2，
∴BE＝EF•tan30°=2√3 3，
∴AN=2√3 3，
∴S△ADE＝S△AEF+S△DEF
=12EF •AN +12EF •DM
=12EF （AN +DM ）
=12×2×（2√33
+2√3） =8√33．
25．（10分）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点（﹣1，0），且对任意实数x ，都有4x
﹣12≤ax 2+bx +c ≤2x 2﹣8x +6．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若（1）中二次函数图象与x 轴的正半轴交点为A ，与y 轴交点为C ；点M 是（1）中二次函数图象上的动点．问在x 轴上是否存在点N ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）令4x ﹣12＝2x 2﹣8x +6，解之可得交点为（3，0），则二次函数必过（3，0），又过（﹣1，0），则把两点坐标代入解析式可得y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a ，又ax 2﹣2ax ﹣3a ≥4x ﹣12，整理可得ax 2﹣2ax ﹣4x +12﹣3a ≥0，所以a ＞0且△≤0，则可得a ＝1，从而求得二次函数解析式；
（2）由题意可得A （3，0），C （0，﹣3），设点M 坐标为（m ，m 2﹣2m ﹣3），N （n ，0）．根
据对角线的不同可分三类情况建立方程组讨论求解即可：①AC 为对角线则有{x A +x C =x M +x N y A +y C =y M +y N ；②AM 为对角线则有{x A +x M =x C +x N y A +y M =y C +y N
；③AN 为对角线则有{x A +x N =x C +x M y A +y N =y C +y M
． 【解答】解：（1）不妨令4x ﹣12＝2x 2﹣8x +6，解得：x 1＝x 2＝3，
当x ＝3时，4x ﹣12＝2x 2﹣8x +6＝0．
∴y ＝ax 2+bx +c 必过（3，0），
又∵y ＝ax 2+bx +c 过（﹣1，0），
∴{a −b +c =09a +3b +c =0，解得：{b =−2a c =−3a
， ∴y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a ，
又∵ax 2﹣2ax ﹣3a ≥4x ﹣12，
∴ax 2﹣2ax ﹣3a ﹣4x +12≥0，
整理得：ax 2﹣2ax ﹣4x +12﹣3a ≥0，
∴a ＞0且△≤0，
∴（2a +4）2﹣4a （12﹣3a ）≤0，
∴（a ﹣1）2≤0，
∴a ＝1，b ＝﹣2，c ＝﹣3．
∴该二次函数解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3．
（2）令y ＝x 2﹣2x ﹣3中y ＝0，得x ＝3，则A 点坐标为（3，0）；
令x ＝0，得y ＝﹣3，则点C 坐标为（0，﹣3）．
设点M 坐标为（m ，m 2﹣2m ﹣3），N （n ，0），
根据平行四边对角线性质以及中点坐标公式可得：
①当AC 为对角线时，{x A +x C =x M +x N y A +y C =y M +y N
， 即{3+0=m +n 0−3=m 2−2m −3+0
，解得：m 1＝0（舍去），m 2＝2， ∴n ＝1，即N 1（1，0）．
②当AM 为对角线时，{x A +x M =x C +x N y A +y M =y C +y N
， 即{3+m =0+n 0+m 2−2m −3=−3+0
，解得：m 1＝0（舍去），m 2＝2， ∴n ＝5，即N 2（5，0）．
③当AN 为对角线时，{x A +x N =x C +x M y A +y N =y C +y M
， 即{3+n =0+m 0+0=−3+m 2−2m −3
，解得：m 1＝1+√7，m 2＝1−√7， ∴n =√7−2或﹣2−√7，
∴N 3（√7−2，0），N 4（﹣2−√7，0）．
综上所述，N 点坐标为（1，0）或（5，0）或（√7−2，0）或（﹣2−√7，0）．。