点到直线的距离教案

3.3.3点到直线的距离
教学目标：
(一)知识目标：点到直线的距离公式.
(二)能力目标：理解点到直线距离公式的推导；点到直线距离公式的简单应用. (三)德育目标：认识事物之间在一定条件下的转化；用联系的观点看问题.
教学重点：
点到直线的距离公式.
教学难点：
理解点到直线距离公式的推导.
教学方法：
探究讨论式
在引入本节的研究问题：点到直线的距离公式之后，引导学生探究讨论点到直线距离的求解思路，一起分析探讨解决问题的各种途径，培养学生的发散性思维，进而逐一推导，培养学生研究问题、分析问题、解决问题的能力.
教学过程：(课前教师板书标题“点到直线的距离”)
课题导入：
前面两节课，我们一起研究学习了两直线平行和垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，逐步熟悉了利用代数手段研究几何问题的思想方法.这一节课，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点到直线的距离问题.
思考题：(引导学生探究、讨论；每一种方法都要总结方法)
求点(2,1)P 到直线:210L x y +-=的距离(
).
师：首先申明现成的公式暂时不能用，请大家想想看利用
我们学过的知识可以怎样解决这个问题？ 做做看…
(教师板书(2,1)P ，:210L x y +-=)
…师：点到直线的距离是怎么定义的？做好的举手示意
…(等到学生基本做好)师：答案是多少？…叫一个学生站起详细回答…师：还有没有其它方法？…好好想想，打开你的想象之门，看看还有没有其它的方法可以解决…同桌可以相互
启发…
师： 请大家总结一下⨯⨯⨯的解题方法，他是用什么方法解决这个问题的？是从哪个层面？
师：好了！大家的方法层出不穷，这个题就先到这儿
解法一：两点间距离法
解：过点P 作直线:210L x y +-=的垂线
1:20L x y -=，再求L 与1L 的交点21
(,)55
Q ，则点(2,1)P 到直
线:210L x y +-=的距离即为：
PQ =
解法二：最小值法
解：设(,)M x y 是直线:210L x y +-=上的任意
一点，
则12y x =-，得：
PM
===当2
5
x =
时，即21(,)55M 时，min
PM
=
，这个值就是点P 到直线L 的距离. 解法三：三角形法 解：设直线L 倾斜角为α，过点P 作PQ L ⊥于点Q ，过点P 作1//L y 轴交L 于点(2,3)A -，4AP =，在R t P Q A
∆中，cos cos PQ AP APQ AP α=⋅∠=⋅
=.
解法四：三角形法 解：设直线L 倾斜角为α，过点P 作PQ L ⊥于点Q ，
过点P 作1//L x 轴交L 于点(0,1)B ，2BP =，在R t P Q B ∆
中，cos sin PQ BP BPQ BP α=⋅∠=⋅
==
x
x
解法五：三角形法
解：设直线L 倾斜角为α，过点P 作直线1//L L ，有
1:250L x y +-=，L 与1L 距离即为所求.设1L 、L 与y 轴分
别交于点21,P Q ，则21(0,5),(0,1)P Q ，214P Q =，过点1Q 作11//PQ PQ
交L 于1P ，则1121211cos PQ PQ P Q P Q P ==⋅∠
21cos P Q α=⋅=
=解法六：面积法
解：过点P 作1//L x 轴交L 于点(0,1)B ，2BP =，过
点P 作2//L
y 轴交L 于点(2,3)A -，4AP =，在Rt ABP ∆中，
AB =，由三角形面积公式可知
d AB BP AP ⋅=⋅d ⇒=
. 解法七：向量法 解：由方向向量的知识得与直线L 垂直的向量(2,1)n =
.
在直线L 上任取一点(1,1)Q -，向量QP 在向量n
上的投影的绝对值就是点P 到直线L 的距离，有c o s
d Q P θ=⋅
，cos n QP n QP θ⋅=⋅⋅
，
n QP d n ⋅∴==
==. 进入主题：
师：对照思考题，我们一起来看一个更具一般性的问题.
在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为00(,)x y ,直线l 的方程是
++=0A x B y C ，求点P 到直线l 的距离.
师：点和直线都以字母形式给出，象刚才一样，有这么多方法，我们是能够解决，如果
每一次都这样求，会不会太麻烦？其中是否有一般性的结论？可以直接当公式来用.我们一起来推推看.师：首先大家说说解决这个问题有哪些思路？学生：刚才用到的两点间距离法、最小值法、三角形法、面积法、向量法应该都可以解决这个问题.师：很好！能够看清问题的本质，那我们就挑一种书本上没有详细解释的方法来试试…
…还有其它方法请同学们课后再思考一下.
解决方案：
方案一：
根据定义，点P到直线l的距离d是点P到直线l的垂线段的长.
解题思路：一求垂线PQ的方程，二求Q点坐标，三求PQ长度.
详细过程：设点P到直线l的垂线段为PQ，垂足为Q.先考虑0
A≠
由PQ l
⊥
00
:()
PQ
B
l y y x x
A
⇒-=-即
00
Bx Ay Bx Ay
-=-，
解方程组
00
Ax By C
Bx Ay Bx Ay
++=
⎧
⎨
-=-
⎩
2
00
22
B x ABy AC
x
A B
--
⇒=
+
即点Q 的横坐标，
222
0000
022
B x ABy A
C A x B x
x x
A B
----
∴-=
+
00
22
()
A Ax By C
A B
++
=-
+
00
0022
()
()
B Ax By C
B
y y x x
A A B
++
-=-=-
+
d
∴==；0
A=要验证过才行.
方案二：直接用两点间距离公式推导.
解题思路：设出Q坐标，列出满足条件，由距离公式求出距离.
详细过程：设点
11
(,)
Q x y，则
11
10
10
(0)
Ax By C
y y B
A
x x A
++=
⎧
⎪
-
⎨=≠
⎪-
⎩
101000
1010
()()()
()()0
A x x
B y y Ax By C
B x x A y y
-+-=-++
⎧
⇒⎨
---=
⎩
(1)
(2)
(1)(2)平方相加2222222
101000
()()()()()
A B x x B A y y Ax By C
⇒+-++-=++
2
2200
101022
()
()()
Ax By C
x x y y
A B
++
⇒-+-=
+
d
⇒=0
A=也满足.
方案三：过点P分别作x、y轴的平行线，交已知直线于R，S两点，从而构成一个直角三角形，用勾股定理求出RS，再利用三角形等积求d.
解题思路：一求R 、S 坐标，二求PR 、PS ，三求RS 长度，四求距离d .
详细过程：设0,0A B ≠≠，这时l 与x 轴、y 轴都相交.过P 作x 轴的平行线，交l 于点
10(,)R x y ；作y 轴的平行线，交l 于点02(,)S x y .由
100200
Ax By C Ax By C ++=++=得
0012,By C Ax C
x y A B
----=
=
0001Ax By C PR x x A ++⇒=-=
；0002Ax By C
PS y y B
++=-=
00RS By C ++，由三角形面积公式d RS PR PS ⋅=⋅
得=
d ；0,0A B ≠≠也满足.
方案四：利用向量的有关知识推导.
解题思路：一找直线l 的垂直向量n ，二在直线l 上任取点Q ，三求向量QP 在向量n
上
的投影的绝对值即为所求.
详细过程：设0,0A B ≠≠，由方向向量的知识得与直线l 垂直的向量(,)n A B =
.
在直线l 上任取一点(,)Q x y ，向量QP 在向量n
上的投影的绝对值就是点P 到直线l 的距离，有cos d QP θ=⋅ ，cos n QP n QP θ⋅=⋅⋅
，
n QP d n ⋅∴==
=； (因为++=0Ax By C ，所以--=Ax By C )0,0A B ≠≠也满足. 方案五：三角函数法.
解题思路：构造一个易求斜边的直角三角形，利用斜边与直角边的关系求出直角边即点到
直线的距离
作y 轴的平行线PM 交直线l 于点01(,)M x y ，满足010Ax By C ++=01Ax C
y B
+⇒=-
0001Ax By C
PM y y B
++∴=-=
，记MPQ β∠=，则始终有cos cos βα=，
而2
2
22222
1
1cos 1tan 1B A A B B αα
==
=
+++
，cos α∴=，
cos PQ PM β∴=⋅
=
；0,0A B ≠≠也满足.
方案六：最小值法.
解题思路：在直线上任取一点(,)Q x y ，则min d PQ =. 详细过程：设0,0A B ≠≠，
在直线l 上任取一点(,)Q x y ，满足
++=0Ax By C +⇒=-
Ax C
y B
，
则PQ =
当""2b
x a
=-
时，
min
d PQ ==
⇒=
d 0,0A B ≠≠也满足.
结论：点P 00(,)x y 到直线l ：++=0Ax By C
的距离公式为=
d .
注意细节：假如P 在直线上呢？0d =照样适用；当A=0或B=0时，该公式也适用，当然此时可以不用该公式而直接求出距离.若知点P 00(,)x y 和直线l ：=1x x ，则点P 到直线l
的距离10d x x =-；若知点P 00(,)x y 和直线l ：=1y y ，则点P 到直线l 的距离10d y y =-.师：有了这个公式，求点到直线的距离就十分方便了. 下面我们通过例题来熟悉一下这个公式.
例题讲解：
例1.求点(1,2)P -到下列直线的距离：(1)2100x y +-=；(2)32x =.
解：d =25(1)33
d =
--=. 例 2.已知点(,6)A a 到直线342x y -=的距离d 取下列各值，求a 的值：(1)4d =；(2)4d >
解：(1)4d =2a ⇒=或46
3a =
；
(2) 4d =
>2a ⇒<或463
a >
. 巩固练习：(其中3，4，5为备用题)
1.求原点到下列直线的距离：(1)32260x y +-=；(2)x y =.
答案：(1)(2)0.
2.求点(1,1)B -到直线y =. 答案：
12
. 3.求点(,)P m n m --到直线1x y
m n
+=的距离.
4.点P 为直线32260x y +-=上的任意一点，O 为坐标原点，求OP 的最小值.
答案：5.点(,)P x y 到直线512130x y -+=和直线3450x y -+=的距离相等，则点P 的坐标应满足什么关系式？
答案：3256650740x y x y -+=+=或. 师：好了，今天的课就到这儿，我们小结一下.
课堂小结：
通过本节课的学习，要求大家理解点到直线距离公式的推导过程，并能简单应用公式解决问题；使用点到直线的距离公式时，应该注意以下几点：①若给出的直线方程不是一般式，
则应先把方程化为一般式再用公式；②若点在直线上，有0
d=，公式仍然适用；③点P到平行于坐标轴的特殊直线的距离要能直接写出来.
课后作业：
名师1个课时；公式的推导(一题多解)(做书上)；书本54页13，15，16(做作业本上).
板书设计：。