浙江专版)2014届高考数学二轮专题突破 第1部分 专题一 第4讲 不 等 式选择、填空题型

《创新方案》2014届高考数学（理科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分 专题一 第4讲 不 等 式选择、填空题型（以2013年真题和模拟题为例，含答案解析）一、选择题1．(2013·北京高考)设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( ) A ．ac >bc B.1a <1bC ．a 2>b 2D. a 3>b 3解析：选D 当c ＝0时，选项A 不成立；当a >0，b <0时，选项B 不成立；当a ＝1，b＝－5时，选项C 不成立；a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b ) ⎡⎢⎣⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋3b 24⎤⎥⎦>0，故选D.2．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52 B.72 C.154D.152解析：选A 由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2，故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，得a ＝52.3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，x 2－2x －2，x <1，若f (x 0)>1，则x 0的取值范围为( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪[1，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[1，＋∞)解析：选B ∵f (x 0)>1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0≥1，2x 0＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0<1，x 20－2x 0－2>1，解得x 0∈(－∞，－1)∪[1，＋∞)．4．设a >0，b >0.若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A ．8B ．4C ．1 D.14解析：选B 由题意知(3)2＝3a ·3b，解得a ＋b ＝1，又a >0，b >0，∴a ＋b ≥2ab ，可得2ab ≤1，即ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．∴1a ＋1b ≥21ab≥4，当且仅当a＝b ＝12时等号成立．∴1a ＋1b的最小值为4.5．(2013·威海模拟)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≥2，3x ＋y ≤5所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋2分成面积相等的两部分，则k 的值为( )A ．4B ．1C ．2D ．3解析：选B 作出二元一次不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，要使阴影部分被直线y ＝kx ＋2分成面积相等的两部分，则必有直线y ＝kx ＋2过线段BC 的中点M .由题意可知C (0,5)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，3x ＋y ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝12，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，所以中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，114，代入直线y ＝kx ＋2，解得k ＝1. 6．(2013·天津高考)设变量x, y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y－2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2解析：选A 约束条件对应的平面区域是一个三角形区域，当目标函数y ＝2x ＋z 经过可行域中的点(5,3)时，z 取得最小值－7.7．已知x >0，y >0，若2y x ＋8x y>m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C ．(－2,4)D ．(－4,2)解析：选D 因为x >0，y >0，所以2y x ＋8x y ≥216＝8，当且仅当x ＝22，y ＝2时取等号．要使原不等式恒成立，只需m 2＋2m <8，解得－4<m <2.8．已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k 的值为( )A ．0或－2B ．0或－12C ．－12D ．－2解析：选B 注意到直线kx －y ＋1＝0恒过点(0,1)，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，该平面区域是一个直角三角形区域．结合图形得知，直线kx －y ＋1＝0与y ＝2x 垂直或与直线x ＝0垂直，于是有k ＝0或k ＝－12.9．(2013·青岛模拟)定义区间(a ，b )，[a ，b )，(a ，b ]，[a ，b ]的长度均为d ＝b －a .用[x ]表示不超过x 的最大整数，记{x }＝x －[x ]，其中x ∈R .设f (x )＝[x ]·{x }，g (x )＝x －1，若用d 表示不等式f (x )<g (x )解集区间的长度，则当0≤x ≤3时，有( )A ．d ＝1B ．d ＝2C ．d ＝3D ．d ＝4解析：选 A f (x )＝[x ]·{x }＝[x ]·(x －[x ])＝[x ]x －[x ]2，由f (x )<g (x )得[x ]x －[x ]2<x －1，即([x ]－1)·x <[x ]2－1.当x ∈[0,1)时，[x ]＝0，不等式的解为x >1，不合题意；当x ∈[1,2)时，[x ]＝1，不等式为0<0，无解，不合题意；当x ∈[2,3]时，[x ]>1，所以不等式([x ]－1)x <[x ]2－1等价于x <[x ]＋1，此时恒成立，所以此时不等式的解为2≤x ≤3，所以不等式f (x )<g (x )解集区间的长度为d ＝1.10．已知log 12(x ＋y ＋4)<log 12(3x ＋y －2)，若x －y <λ恒成立，则λ的取值范围是( )A ．(－∞，10]B ．(－∞，10)C ．[10，＋∞)D ．(10，＋∞)解析：选C 已知不等式等价于不等式x ＋y ＋4>3x ＋y －2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <3，3x ＋y －2>0，其表示的平面区域如图中的阴影部分(不含区域边界)所示．设z ＝x －y ，根据其几何意义，显然在图中的点A处，z 取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，3x ＋y －2＝0，得A (3，－7)，故z <3－(－7)＝10，所以λ≥10.二、填空题11．记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域为D .若直线y ＝a (x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是________．解析：画出可行域，易知直线y ＝a (x ＋1)过定点(－1,0)，当直线y ＝a (x ＋1)经过x ＋3y ＝4与3x ＋y ＝4的交点(1,1)时，a 取得最小值12；当直线y ＝a (x ＋1)经过x ＝0与3x ＋y ＝4的交点(0,4)时，a 取得最大值4.故a的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4 12．某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为________元．解析：设租A 型车x 辆，B 型车y 辆，租金为z ，则⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y ≥900，y －x ≤7，y ＋x ≤21，x ，y ∈N ，画出可行域(图中阴影区域中的整数点)，则目标函数z ＝1 600x ＋2 400y 在点N (5,12)处取得最小值36 800.答案：36 80013．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋7－a x ＋1，a ∈R .若对于任意的x ∈N *，f (x )≥4恒成立，则a的取值范围是________．解析：∵f (x )＝x 2＋ax ＋7－a x ＋1，且f (x )≥4对于任意的x ∈N *恒成立，∴当x ≠1时，a ≥－x 2－4x ＋3x －1＝－x －1x －3x －1＝－x ＋3恒成立，即a ≥(－x ＋3)max .∵x ∈N *且x ≠1，∴(－x ＋3)max ＝1，∴a ≥1；当x ＝1时，f (1)＝82＝4≥4恒成立，∴a ≥1，即a 的取值范围是[1，＋∞)．答案：[1，＋∞)14．(2013·合肥模拟)若正数a ，b 满足a ＋2b ＝3，且使不等式12a ＋1b －m >0恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：依题意得，12a ＋1b ＝13(a ＋2b )⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋1b ＝13×⎣⎢⎡⎦⎥⎤52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋2＝32，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝3，b a ＝a b，即a ＝b ＝1时取等号，因此12a ＋1b 的最小值是32，依题意得，实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，32.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－∞，3215．(2013·北京高考)已知点A (1，－1)，B (3,0)，C (2,1)．若平面区域D 由所有满足AP ＝λAB＋μAC (1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P 组成，则D 的面积为________．解析：设点P (x ，y )，由AP ＝λAB＋μAC ，得(x －1，y ＋1)＝λ(2,1)＋μ(1,2)，故⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2λ＋μ，y ＋1＝λ＋2μ，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2x －y －33，μ＝－x ＋2y ＋33，由1≤λ≤2,0≤μ≤1得，⎩⎪⎨⎪⎧1≤2x －y －33≤2，0≤－x ＋2y ＋33≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x －y －3≤6，－3≤x －2y －3≤0.画出可行域如图中阴影部分所示，点B (3,0)到直线x －2y ＝0的距离d ＝|3|1＋4＝355，点B ，N 之间的距离|BN |＝5，故阴影部分的面积为3.答案：316．(2013·浙江高考)设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x4－x3＋ax＋b≤(x2－1)2，则ab ＝________.解析：由于不等式0≤x4－x3＋ax＋b≤(x2－1)2，即－x4＋x3≤ax＋b≤x3－2x2＋1，记f(x)＝x3－2x2＋1，g(x)＝－x4＋x3，显然f(x)－g(x)＝x4－2x2＋1＝(x2－1)2，所以当x≥0时，f(x)≥g(x)，当且仅当x＝1时取得等号，而f′(x)＝3x2－4x，g′(x)＝－4x3＋3x2，f′(1)＝g′(1)＝－1，因此，当y＝ax＋b为f(x)与g(x)在x＝1处有公切线时，才能使0≤x4－x3＋ax＋b≤(x2－1)2恒成立，此时a＝f′(1)＝－1，b＝1(切点为(1,0))，所以ab＝－1.答案：－1。