彭水苗族土家族自治县一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

彭水苗族土家族自治县一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知圆C 方程为222x y +=，过点(1,1)P -与圆C 相切的直线方程为（ ）
A ．20x y -+=
B ．10x y +-=
C ．10x y -+=
D ．20x y ++= 2． 命题：“若a 2+b 2=0（a ，b ∈R ），则a=b=0”的逆否命题是（ ）
A ．若a ≠b ≠0（a ，b ∈R ），则a 2+b 2≠0
B ．若a=b ≠0（a ，b ∈R ），则a 2+b 2≠0
C ．若a ≠0且b ≠0（a ，b ∈R ），则a 2+b 2≠0
D ．若a ≠0或b ≠0（a ，b ∈R ），则a 2+b 2≠0
3． 将函数y=cosx 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，所得函
数图象的一条对称轴方程是（ ）
A ．x=π
B ．
C ．
D ．
4． 下列说法正确的是（ ）
A.圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形；
B.棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体；
C.任何一个棱台都可以补一个棱锥使他们组成一个新的棱锥；
D.通过圆台侧面上的一点，有无数条母线.
5． 复数2
(2)i z i
-=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为（ ）
A ．43i -+
B ．43i +
C ．34i +
D ．34i -
【命题意图】本题考查复数的运算和复数的概念等基础知识，意在考查基本运算能力． 6． 直角梯形OABC 中,,1,2AB OC AB OC BC ===,直线:l x t =截该梯形所得位于左边图 形面积为，则函数()S f t =的图像大致为（ ）
7． 如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为
（ ）
A ．15
B ．
C ．15
D ．15
【命题意图】本题考查三视图和几何体体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力． 8． 设i 是虚数单位，则复数
21i
i
-在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9． 已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数
，，则由该观测的数据算得
的线性回归方程可能是( ) A
B
C D
10．已知复合命题p ∧（￢q ）是真命题，则下列命题中也是真命题的是（ ） A ．（￢p ）∨q B ．p ∨q C ．p ∧q D ．（￢p ）∧（￢q ）
11．数列{a n }是等差数列，若a 1+1，a 3+2，a 5+3构成公比为q 的等比数列，则q=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
12．已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，且120a =-，在区间()3,5内任取一个实数作为数列{}n a 的公差，则n S 的最小值仅为6S 的概率为（ ） A ．
15 B ．16 C ．314 D ．13
二、填空题
13．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，asinA=bsinB+（c ﹣b ）sinC ，且bc=4，则△ABC 的面积为 ．
14．直线2x+3y+6=0与坐标轴所围成的三角形的面积为 ．
15．已知||2=a ，||1=b ，2-a 与13b 的夹角为
3
π
，则|2|+=a b ． 16．设所有方程可以写成（x ﹣1）sin α﹣（y ﹣2）cos α=1（α∈[0，2π]）的直线l 组成的集合记为L ，则下列说法正确的是 ； ①直线l 的倾斜角为α；
②存在定点A ，使得对任意l ∈L 都有点A 到直线l 的距离为定值； ③存在定圆C ，使得对任意l ∈L 都有直线l 与圆C 相交； ④任意l 1∈L ，必存在唯一l 2∈L ，使得l 1∥l 2； ⑤任意l 1∈L ，必存在唯一l 2∈L ，使得l 1⊥l 2．
三、解答题
17．如图，四边形ABCD 与A ′ABB ′都是边长为a 的正方形，点E 是A ′A 的中点，AA ′⊥平面ABCD ． （1）求证：A ′C ∥平面BDE ；
（2）求体积V A ′﹣ABCD 与V E ﹣ABD 的比值．
18．已知椭圆C 的中心在坐标原点O ，长轴在x 轴上，离心率为，且椭圆C 上一点到两个焦点的距离之和为4．
（Ⅰ）椭圆C 的标准方程．
（Ⅱ）已知P、Q是椭圆C上的两点，若OP⊥OQ，求证：为定值．
（Ⅲ）当为（Ⅱ）所求定值时，试探究OP⊥OQ是否成立？并说明理由．
19．已知A、B、C为△ABC的三个内角，他们的对边分别为a、b、c，且
．
（1）求A；
（2）若，求bc的值，并求△ABC的面积．
20．已知A={x|x2+ax+b=0}，B={x|x2+cx+15=0}，A∪B={3，5}，A∩B={3}，求实数a，b，c的值．21．为了解某地区观众对大型综艺活动《中国好声音》的收视情况，随机抽取了100名
95%的把握认为“歌迷”与性别有关？
“超级歌迷”，已知“超级歌迷”中有2名女性，若从“超级歌21
3.841 6.635
附：K 2
=
．
22．设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 2sin a b A =． （1）求角B 的大小；
（2）若a =5c =，求．
23．（本小题满分12分）
两个人在进行一项掷骰子放球游戏中，规定：若掷出1点，甲盒中放一球；若掷出2点或3点，乙盒中 放一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放一球，前后共掷3次，设,,x y z 分别表示甲，乙，丙3个 盒中的球数.
（1）求0x =，1y =，2z =的概率；
（2）记x y ξ=+，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望.
【命题意图】本题考查频离散型随机变量及其分布列等基础知识，意在考查学生的统计思想和基本的运算能力．
彭水苗族土家族自治县一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】A 【解析】
试题分析：圆心(0,0),C r =，设切线斜率为，则切线方程为1(1),10y k x kx y k -=+∴-++=
，由
,1d r k =∴=，所以切线方程为20x y -+=，故选A.
考点：直线与圆的位置关系． 2． 【答案】D
【解析】解：“且”的否定为“或”，因此其逆否命题为“若a ≠0或b ≠0，则a 2+b 2
≠0”；
故选D ． 【点评】此类题型考查四种命题的定义与相互关系，一般较简单，但要注意常见逻辑连接词的运用与其各自的
否定方法、形式．
3． 【答案】B
【解析】解：将函数y=cosx 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 得到
y=cos x
，再向右平移个单位得到
y=cos[（
x ）]，
由（
x ）=k π，得
x =2k π，
即
+2k π，k ∈Z ，
当k=0
时，
，
即函数的一条对称轴为，
故选：B
【点评】本题主要考查三角函数的对称轴的求解，利用三角函数的图象关系求出函数的解析式是解决本题的关键．
4． 【答案】C 【解析】
考
点：几何体的结构特征.
5． 【答案】A
【解析】根据复数的运算可知43)2()2(22
--=--=-=i i i i
i z ，可知z 的共轭复数为43z i =-+，故选A.
6． 【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得，当01t <≤时，()21
22
f t t t t =
⋅⋅=，当12t <≤时， ()1
12(1)2212f t t t =⨯⨯+-⋅=-，所以()2,0121,12
t t f t t t ⎧<≤=⎨-<≤⎩，结合不同段上函数的性质，可知选项C 符
合，故选C.
考点：分段函数的解析式与图象. 7． 【答案】C
【解析】还原几何体，由三视图可知该几何体是四棱锥，且底面为长6，宽2的矩形，高为3，且VE ^平面
ABCD ，如图所示，所以此四棱锥表面积
为1S =262创
?11
23+2
2622
创创?
15=，故选C ．
46
46
10
10
1
1
32
6
E V
D C
B
A
8．
【答案】B
【解析】因为
所以，对应的点位于第二象限 故答案为：B 【答案】B
9． 【答案】A
【解析】解：∵变量x 与y 正相关，
∴可以排除C，D；
样本平均数=3，=3.5，代入A符合，B不符合，
故选：A。

10．【答案】B
【解析】解：命题p∧（￢q）是真命题，则p为真命题，￢q也为真命题，
可推出￢p为假命题，q为假命题，
故为真命题的是p∨q，
故选：B．
【点评】本题考查复合命题的真假判断，注意p∨q全假时假，p∧q全真时真．
11．【答案】A
【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，
由a1+1，a3+2，a5+3构成等比数列，
得：（a3+2）2=（a1+1）（a5+3），
整理得：a32+4a3+4=a1a5+3a1+a5+3
即（a1+2d）2+4（a1+2d）+4=a1（a1+4d）+4a1+4d+3．
化简得：（2d+1）2=0，即d=﹣．
∴q===1．
故选：A．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．
12．【答案】D
【解析】
考点：等差数列．
二、填空题
13．【答案】．
【解析】解：∵asinA=bsinB+（c﹣b）sinC，
∴由正弦定理得a 2=b 2+c 2﹣bc ，即：b 2+c 2﹣a 2
=bc ， ∴由余弦定理可得b 2=a 2+c 2
﹣2accosB ，
∴cosA===，A=60°．可得：sinA=，
∵bc=4，
∴S △ABC =bcsinA==．
故答案为：
【点评】本题主要考查了解三角形问题．考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用，考查了三角形面积公式的应用，属于中档题．
14．【答案】 3 ．
【解析】解：把x=0代入2x+3y+6=0可得y=﹣2，把y=0代入2x+3y+6=0可得x=﹣3，
∴直线与坐标轴的交点为（0，﹣2）和（﹣3，0），
故三角形的面积S=×2×3=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查直线的一般式方程和三角形的面积公式，属基础题．
15．【答案】2
【解析】解析：本题考查向量夹角与向量数量积的应用．a 与b 的夹角为23
π
，1⋅=-a b ，
∴|2|+=
a b 2=．
16．【答案】 ②③④
【解析】解：对于①：倾斜角范围与α的范围不一致，故①错误； 对于②：（x ﹣1）sin α﹣（y ﹣2）cos α=1，（α∈[0，2π）），
可以认为是圆（x ﹣1）2+（y ﹣2）2
=1的切线系，故②正确；
对于③：存在定圆C ，使得任意l ∈L ，都有直线l 与圆C 相交，
如圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2
=100，故③正确；
对于④：任意l 1∈L ，必存在唯一l 2∈L ，使得l 1∥l 2，作图知④正确； 对于⑤：任意意l 1∈L ，必存在两条l 2∈L ，使得l 1⊥l 2，画图知⑤错误． 故答案为：②③④．
【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意直线方程、圆、三角函数、数形结合思想等知识点的合理运用．
三、解答题
17．【答案】
【解析】（1）证明：设BD交AC于M，连接ME．
∵ABCD为正方形，∴M为AC中点，
又∵E为A′A的中点，
∴ME为△A′AC的中位线，
∴ME∥A′C．
又∵ME⊂平面BDE，A′C⊄平面BDE，
∴A′C∥平面BDE．
（2）解：∵V E﹣ABD====V A′﹣ABCD．∴V A′﹣ABCD：V E﹣ABD=4：1．
18．【答案】
【解析】（I）解：由题意可设椭圆的坐标方程为（a＞b＞0）．
∵离心率为，且椭圆C上一点到两个焦点的距离之和为4．
∴，2a=4，解得a=2，c=1．
∴b2=a2﹣c2=3．
∴椭圆C的标准方程为．
（II）证明：当OP与OQ的斜率都存在时，设直线OP的方程为y=kx（k≠0），则直线OQ的方程为y=﹣x （k≠0），P（x，y）．
联立，化为，
∴|OP|2=x2+y2=，同理可得|OQ|2=，
∴=+=为定值．
当直线OP或OQ的斜率一个为0而另一个不存在时，上式也成立．
因此=为定值．
（III）当=定值时，试探究OP⊥OQ是否成立？并说明理由．
OP⊥OQ不一定成立．下面给出证明．
证明：当直线OP或OQ的斜率一个为0而另一个不存在时，则===，满足条件．
当直线OP或OQ的斜率都存在时，
设直线OP的方程为y=kx（k≠0），则直线OQ的方程为y=k′x（k≠k′，k′≠0），P（x，y）．
联立，化为，
∴|OP|2=x2+y2=，
同理可得|OQ|2=，
∴=+=．
化为（kk′）2=1，
∴kk′=±1．
∴OP⊥OQ或kk′=1．
因此OP⊥OQ不一定成立．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得交点坐标、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
19．【答案】
【解析】解：（1）∵A、B、C为△ABC的三个内角，且cosBcosC﹣sinBsinC=cos（B+C）=，
∴B+C=，
则A=；
（2）∵a=2，b+c=4，cosA=﹣，
∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2+bc=（b+c）2﹣bc，即12=16﹣bc，
解得：bc=4，
则S
=bcsinA=×4×=．
△ABC
【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．
20．【答案】
【解析】解：∵A∩B={3}，
∴9+3a+b=0，9+3c+15=0．
∴c=﹣8．
∴B={x|x2﹣8x+15=0}={3，5}，
∵A∪B={3，5}，A∩B={3}，
∴A={3}．
∴a2﹣4b=0，又∵9+3a+b=0
∴a=﹣6，b=9．
21．【答案】
100人中，“歌迷”有25人，从而完成2×2列联表如下：
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得：
K2==≈3.030
因为3.030＜3.841，所以我们没有95%的把握认为“歌迷”与性别有关．…
（Ⅱ）由统计表可知，“超级歌迷”有5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω={（a 1，a 2），（a 1，a 3），（a 2，a 3），（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 2，b 1），（a 2，b 2），（a 3，b 1），（a 3，b 2），（b 1，b 2）}其中a i 表示男性，i=1，2，3，b i 表示女性，i=1，2．
Ω由10个等可能的基本事件组成．…
用A 表示“任选2人中，至少有1个是女性”这一事件，则A={（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 2，b 1），（a 2，b 2），（a 3，b 1），（a 3，b 2），（b 1，b 2） }，事件A 由7个基本事件组成．
∴P （A ）= (12)
【点评】本题考查独立性检验的运用及频率分布直方图的性质，列举法计算事件发生的概率，涉及到的知识点较多，有一定的综合性，难度不大，是高考中的易考题型．
22．【答案】（1）6B π=
；（2）b =
【解析】1111]
（2）根据余弦定理，得
2222cos 2725457b a c ac B =+-=+-=，
所以b =考点：正弦定理与余弦定理．
23．【答案】
【解析】（1）由0x =，1y =，2z =知，甲、乙、丙3个盒中的球数分别为0，1，2， 此时的概率21
3111324P C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭. （4分）。