(专题精选)初中数学方程与不等式之一元二次方程真题汇编附答案解析

（专题精选）初中数学方程与不等式之一元二次方程真题汇编附答案解析
一、选择题
1．如图，幼儿园计划用30m的围栏靠墙围成一个面积为100m2的矩形小花园（墙长为15m），则与墙垂直的边x为（）
A．10m或5m B．5m或8m C．10m D．5m
【答案】C
【解析】
【分析】
设与墙垂直的边长x米，则与墙平行的边长为（30﹣2x）米，根据矩形的面积公式结合矩形小花园的面积为100m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【详解】
设与墙垂直的边长x米，则与墙平行的边长为（30﹣2x）米，
根据题意得：（30﹣2x）x＝100，
整理得：x2﹣15x+50＝0，
解得：x1＝5，x2＝10．
当x＝5时，30﹣2x＝20＞15，
∴x＝5舍去．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则实数m的取值是( )
A．m＜1 B．m＞﹣1 C．m＞1 D．m＜﹣1
【答案】C
【解析】
试题解析：关于x的一元二次方程2x2x m0
-+=没有实数根，
()2
24241440
b a
c m m
∆=-=--⨯⨯=-<，
m>
解得： 1.
故选C．
3．已知直角三角形的两条边长分别是方程x2-14x+48=0的两个根，则此三角形的第三边是（）
A．6或8 B．107C．10或8 D．27
【答案】B
【解析】
【分析】
先解方程x 2-14x+48=0求得直角三角形的两条边长，再根据勾股定理即可求得结果.
【详解】
解：解方程x 2-14x+48=0得x 1=6，x 2=8
当8为直角边时，第三边10==
当8为斜边长时，第三边==故选B.
考点：解一元二次方程，勾股定理
点评：分类讨论问题是初中数学学习中的重点和难点，是中考的热点，尤其在压轴题中比较常见，一般难度较大，需特别注意.
4．将方程()22230x x x m n --=-=化为的形式，指出,m n 分别是（ ）
A ．1和3
B ．-1和3
C ．1和4
D ．-1和4 【答案】C
【解析】
【分析】
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
【详解】
移项得x 2-2x=3，
配方得x 2-2x+1=4，
即（x-1）2=4，
∴m=1，n=4．
故选C ．
【点睛】
用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）形如x 2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
（2）形如ax 2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x 2+px+q=0，然后配方．
5．八年级()1班部分学生去春游时，每人都和同行的其他每一人合照一张双人照，共照了双人照片36张，则同去春游的人数是（ ）
A ．9
B ．8
C ．7
D ．6
【答案】A
【解析】
【分析】
设同去春游的人数是x 人，由每人都和同行的其他每一人合照一张双人照且共照了双人照片36张，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】
解：设同去春游的人数是x 人， 依题意，得：1(1)362
x x -=， 解得：19x =，28x =-（舍去）．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．用配方法解方程2640x x ++=时，原方程变形为（ ）
A ．2(3)9x +=
B ．2(3)13x +=
C ．2(3)5x +=
D ．2(3)4x +=
【答案】C
【解析】
【分析】
方程整理后，配方得到结果，即可做出判断．
【详解】
解：方程配方得：x 2+6x+5+4-5=0，即（x+3）2=5．
故选：C ．
【点睛】
此题考查解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
7．某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x ，则根据题意可列方程为（ ） A ．144（1﹣x ）2=100 B ．100（1﹣x ）2=144 C ．144（1+x ）2=100 D ．100（1+x ）2=144
【答案】D
【解析】
试题分析：2013年的产量=2011年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可． 解：2012年的产量为100（1+x ），
2013年的产量为100（1+x ）（1+x ）=100（1+x ）2，
即所列的方程为100（1+x ）2=144，
故选D ．
点评：考查列一元二次方程；得到2013年产量的等量关系是解决本题的关键．
8．关于方程x 2﹣x +9＝0的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A ．有两个相等实根
B ．有两个不相等实数根
C ．没有实数根
D ．有一个实数根
【答案】C
【解析】
【分析】
找出方程a ，b 及c 的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断．
【详解】
这里a=1，，c=9，
∵△=b 2-4ac=32-36=-4＜0，
∴方程无实数根．
故选：C ．
【点睛】
此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
9．下列方程中，有实数根的是（ ）
A 0=
B 1+=
C 10=
D x - 【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质逐项分析即可．
【详解】
A ．∵x 2+2≥2， 0≥≠，故不正确；
B ．∵x-2≥0且2-x≥0，∴x=20=，故不正确；
C 0≥110≥≠，故不正确；
D ．∵x+1≥0，-x≥0，
∴-1≤x ≤0．
x -，
∴x+1=x 2，
∴x 2-x-1=0，
∵∆=1+4=5＞0，
∴x 1=12-，x 2=12
+（舍去），
x -有实数根，符合题意．
故选D ．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质，无理方程的解法，以及一元二次方程的解法，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
10．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（）A．x1≠x2B．x1+x2＞0 C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜0
【答案】A
【解析】
分析：A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＞0，由此即可得出x1≠x2，结论A正确；
B、根据根与系数的关系可得出x1+x2=a，结合a的值不确定，可得出B结论不一定正确；
C、根据根与系数的关系可得出x1•x2=﹣2，结论C错误；
D、由x1•x2=﹣2，可得出x1＜0，x2＞0，结论D错误．
综上即可得出结论．
详解：A∵△=（﹣a）2﹣4×1×（﹣2）=a2+8＞0，
∴x1≠x2，结论A正确；
B、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，
∴x1+x2=a，
∵a的值不确定，
∴B结论不一定正确；
C、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，
∴x1•x2=﹣2，结论C错误；
D、∵x1•x2=﹣2，
∴x1＜0，x2＞0，结论D错误．
故选A．
点睛：本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
11．一元二次方程x2＝－3x的解是（）
A．x＝0 B．x＝3 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝0，x2＝－3【答案】D
【解析】
【分析】
先移项，然后利用因式分解法求解．
【详解】
解：（1）x 2=-3x ，
x 2+3x=0，
x （x+3）=0，
解得：x 1=0，x 2=-3．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
12．某种植基地2016年蔬菜产量为100吨，2017年比2016年产量增长8.1%，2018年比2017年产量的增长率为x ，2018年底产量达到144吨，则x 满足（ ）
A ．100（1+x ）2＝144
B ．100（1+8.1%）（1﹣x ）＝144
C ．100（1+8.1%）+x ＝144
D ．100（1+8.1%）（1+x ）＝144 【答案】D
【解析】
【分析】
由题意知，2017年蔬菜产量为：100（1+8.1%），2018年蔬菜产量为：100（1+8.1%）（1+x ），然后根据2018年底产量达到144吨列方程即可.
【详解】
解：∵某种植基地2016年蔬菜产量为100吨，2017年比2016年产量增长8.1%， ∴2017年蔬菜产量为：100（1+8.1%），
∵2018年比2017年产量的增长率为x ，2018年底产量达到144吨，
∴2018年蔬菜产量为：100（1+8.1%）（1+x ）＝144，
故选D ．
【点睛】
本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程的应用，熟练掌握这些知识是解题的关键.
13．如图，过点()1,2C 分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线5y x =-+于A 、B 两点，若反比例函数(0)k y x x
=>的图象与ABC V 有公共点，则k 的取值范围是（ ）
A ．2524k ≤≤
B ．26k ≤≤
C ．24k ≤≤
D ．46k ≤≤
【答案】A
【解析】
【分析】
由点C的坐标结合直线AB的解析式可得出点A、B的坐标，求出反比例函数图象过点C时的k值，将直线AB的解析式代入反比例函数解析式中，令其根的判别式△≥0可求出k的取值范围，取其最大值，找出此时交点的横坐标，进而可得出此点在线段AB上，综上即可得出结论．
【详解】
解：令y＝−x＋5中x＝1，则y＝4，
∴B（1，4）；
令y＝−x＋5中y＝2，则x＝3，
∴A（3，2），
当反比例函数
k
y
x
=（x＞0）的图象过点C时，有2＝
1
k
，
解得：k＝2，
将y＝−x＋5代入
k
y
x
=中，整理得：x2−5x＋k＝0，
∵△＝（−5）2−4k≥0，
∴k≤25
4
，
当k＝25
4
时，解得：x＝
5
2
，
∵1＜5
2
＜3，
∴若反比例函数
k
y
x
=（x＞0）的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是2≤k≤
25
4
，
故选：A．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出反比例函数图象过点A、C时的k值以及直线与双曲线有一个交点时k的值．
14．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（）
A．方程有两个相等的实数根
B．方程有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【答案】B
【解析】
试题分析：先求出△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，即可判定方程有两个不相等的实数根．故答案选B.
考点：一元二次方程根的判别式．
15．用配方法解方程2890x x ++=，变形后的结果正确的是( )
A ．()249x +=-
B ．()247x +=-
C ．()2425x +=
D ．()2
47x += 【答案】D
【解析】
【分析】
先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可.
【详解】 2890x x ++=，
289x x +=-，
2228494x x ++=-+，
所以()2
47x +=，
故选D.
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键.
16．方程x 2﹣9x +14＝0的两个根分别是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）
A ．11
B ．16
C ．11或16
D ．不能确定 【答案】B
【解析】
【分析】
先利用因式分解法解方程求出x 的值，再分情况讨论求解可得．
【详解】
∵x 2﹣9x +14＝0，
∴（x ﹣2）（x ﹣7）＝0，
则x ﹣2＝0或x ﹣7＝0，
解得x ＝2或x ＝7，
当等腰三角形的腰长为2，底边长为7，此时2+2＜7，不能构成三角形，舍去； 当等腰三角形的腰长为7，底边长为2，此时周长为7+7+2＝16，
故选：B ．
【点睛】
此题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
17．对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号max {a ，b }表示a 、b 中的较大的数，如：
max {2，4}＝4，按照这个规定，方程max {x ，﹣x }＝x 2﹣x ﹣1的解为（ ）
A ．或1
B ．1或﹣1
C ．1或1
D ．或﹣1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意应分为x>0和x<0两种情况讨论，并列出关于x 的分式方程求解，结合x 的取值范围确定方程max {x ，﹣x }＝x 2﹣x ﹣1的解即可．
【详解】
解：①当x ≥﹣x ，即x ≥0时，
∵max {x ，﹣x }＝x 2﹣x ﹣1，
∴x ＝x 2﹣x ﹣1，
解得：x ＝（1<0，不符合舍去）；
②当﹣x ＞x ，即x ＜0时，﹣x ＝x 2﹣x ﹣1，
解得：x ＝﹣1（1>0，不符合舍去），
即方程max {x ，﹣x }＝x 2﹣x ﹣1的解为或﹣1，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了解分式方程，有关实数、实数运算的新定义，掌握分式方程的解法是解题的关键．
18．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A ．x 2﹣2x ＝0
B ．x 2﹣2x +1＝0
C ．2x 2﹣x ﹣1＝0
D ．2x 2﹣x +1＝0
【答案】D
【解析】
【分析】
根据判别式即可求出答案．
【详解】
A.△＝4，故选项A 有两个不同的实数根；
B.△＝4﹣4＝0，故选项B 有两个相同的实数根；
C.△＝1+4×2＝9，故选项C 有两个不同的实数根；
D.△＝1﹣8＝﹣7，故选项D 没有实数根；
故选D ．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式，本题属于基础题型．
19．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（ ）
A ．231x y +=
B ．231x x +=
C ．20ax bx c ++=
D ．2112x x
+=
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义解答：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】
A 、x 2+3y ＝1，含有两个未知数，故不是一元二次方程；
B 、x 2+3x ＝1，是一元二次方程，故此选项正确；
C 、ax 2+bx +c ＝0，当a ≠0时，是一元二次方程，故C 错误；
D 、
2112x x
+=，是分式方程，故D 错误． 故选B ．
【点睛】 考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
20．若关于x 的方程2230x x m -+=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．98
m ≤
B ．98m <
C ．98m >
D ．98m = 【答案】B
【解析】
【分析】 若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b 2-4ac ＞0，建立关于m 的不等式，求出m
的取值范围．
【详解】 ∵方程有两个不相等的实数根，a=2，b=-3，c=m ，
∴△=b 2-4ac=（-3）2-4×2×m ＞0， 解得98
m <
． 故选：B ．
【点睛】 此题考查根的判别式，解题关键在于掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．。