曲线运动

曲线运动
曲线运动
曲线运动
定义：物体运动的轨迹是曲线的运动叫做曲线运动。

要点：①受力特点：F合工Q F合的方向与速度v的方向一定不在同一条直线上，且受合外力指向轨迹凹侧;
②轨迹特点：轨迹一定是曲线；
③速度特点：速度的大小可能是变化的，也可能是不变的，但速度方向一定是时刻改变的；
小船渡河
（1）渡河时间最短
船头正对河岸行驶，即v船垂直河岸渡河，此时船速全部用来渡河，而不去平衡水速，故
渡河时间t
垂直渡河
前提条件：v船＞v水
船速的水平分速度要去平衡水速, 竖直分速度用来垂直渡河, 故渡河时间t
最小位移渡河
①当v船＞v水时，垂直渡河位移最小，即最小位移s min d ;
②当v船Wv水时，船速的水平分速度无法
平衡水速使船垂渡河，故以v水矢量末端为圆心，以
v船矢量的大小为半径作圆，过v水矢量起点作圆的切线，则切线方向为v合方向，最小位移
合运动的轨迹判断
①两个匀速直线运动的合运动为匀速直线运动或静止；
②一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动是匀变速运动。

当两者共线时为匀变速直线运动，不共线时为匀变速曲线运动；
③两个匀变速直线运动的合运动可能是匀变速运动、匀速直线运动或静止。

若合速度与合加速度不在同一条直线上时，则为匀变速曲线运动；若合速度与合加速度在同一条直线上且合加速度不为零时，则为匀变速直线运动；若合速度与合加速度在同一条直线上且合加速度为零时，则为匀速直线运动或静止。

平抛运动
定义：水平抛出的物体只在重力作用下的运动叫平抛运动。

要点：① 受力特点：只受重力；
②运动特点：水平初速度不为零且加速度为重力加速度；
③运动规律：水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动；
④做平抛运动的物体，在相等时间内速度的增量相等，方向竖直向下，为匀变速运动。

公式：
（1 ）速度公式
水平分速度：v x v0
竖直分速度：V y gt
t时刻的速度大小和方向：V t- 1v X V y2,tan g~，为V与水平方向夹角
V x V o
位移公式
水平分位移：s x v0t
竖直分位移：s y 1gt 2
t 时刻的位移大小和方向：
s 2 2 S
x
S y , tan
S y s x
2：，为S 与水平万向夹角
平抛运动的轨迹
由 S x V °t 、S y
1
gt
2
可得：
2
g 2 y
2 x
2v
平抛运动小结论
运动时间只取决于下落高度，与初速度无关；
水平位移与下落高度和与初速度有关，与其他因素无关；
落地速度与下落高度和与初速度有关，与其他因素无关；
如图所示，速度偏转角为
a ，位移偏转角为B,则：tan
如图所示，将速度vt 方向进行反向延长，交 0A 于点B ， 圆周运动 定义：质点在以某点为圆心半径为 r 的圆周上运动，即质点运动时其轨迹是圆周的运动叫 圆周运动
要点：①如图所示，在任意位置对做圆周运动的物体进行受力分析，物体受重力 mg 和绳拉
力T ，合力为F 合。

将合力F 合进行正交分解，分解为沿绳方向分力
Fn 和垂直绳方向分力 F T
（与速度v 在同一条直线上）。

根据牛顿第二定律，Fn 将产生一个与之同向的向心加速度 （法
向加速度）an ，F T 将产生一个与之同向的切向加速度
a T 由于an 与速度v 在同一条直线上，
故an 可以改变速度v 的大小，而a T 与速度v 垂直，故不能改变速度 v 的大小，但可以改变速 度v 的方向。

因此，向心加速度（法向加速度） an 只负责改变速度方向，切向加速度
a T 只负
责改变速度大小。

当切向加速度
a T =0时，质点做匀速圆周运动。

②做圆周运动的物体合力不一定指向圆心， 只有做匀速圆周运动的物体合力才时时刻刻 指向圆心
匀速圆周运动
定义：做圆周运动的物体，若在任意相等的时间里通过的弧长相等，则该物体做匀速圆周运动。

要点：圆周运动的物理量及相互关系
a =2tan ; 0
则OB=AB,即B 点为OA 中点
向心加速度与向心力
定义：质点做匀速圆周运动时，它的任一点的加速度都是沿半径指向圆心的，这个加速度叫做向心加速度，常用字母 a 表示;
所受合外力叫向心力，用 F 表示。

十2
公式：F ma m m
2
r r
要点：①向心力是按力的作用效果来命名的。

它不是具有确定性质的某种力，相反，任何性质的力都可以提供向心力；
②向心力不是真实存在的力，它可以是某几个力的合力，也可以由某个力的分力提供。

变速圆周运动
定义：做圆周运动的物体，若在任意相等的时间里通过的弧长不相等，则该物体做变速圆周运动。

要点：① 变速圆周运动是在变力作用下的圆周运动，合外力的方向既不指向圆心也不沿运动方向，而是可分解为指向圆心的 向心力和沿运动方向的切向力；
②变速圆周运动临界情况分析
4 2 mr —7-
T 2
离心运动
定义：做圆周运动的物体，在径向合外力突然消失或不足以提供所需的向心力时，将逐渐远离圆心运动，这种运动叫做离心运动。

要点：①当向心力不足时，物体做远离圆心的曲线运动；
②当向心力消失时，物体沿切线方向做直线运动；
③当向心力过大时，物体做向心运动。

课后作业
1、下列关于曲线运动的说法中，正确的是（ D ）
6、如图所示，内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，两个质量相同的小球 壁分别在如图所示的水平面内做匀速圆周运动，则
（ A ）
A .做曲线运动的物体的加速度一定是变化的
B •做曲线运动的物体其速度大小一定是变化的
C •做匀速圆周运动的物体，所受的合外力不一定时刻指向圆心
D •骑自行车冲到圆弧形桥顶时，人对自行车座子压力减小，这是由于失重原
成的
2、如图所示，一物体在水平恒力作用下沿光滑的水平面做曲线运动，当物体从
M 点运
点时，其速度方向恰好改变了
90 °，则物体从 M 点到N 点的运动过程中，物体动能将
（C ）
A •不断增加
B •不断减少
C •先减少后增加
D •先增加后减小
3、下列关于运动和力的叙述中，正确的是
（ C ）
A ・做曲线运动的物体，其加速度方向一定是变化的
B •物体做圆周运动，所受的合力一定指向圆心
C •物体所受合力方向与运动方向相反，该物体一定做直线运动
D •物体运动的速率在增加，所受合力方向一定与运动方向相同
动到N
4、如下图所示，用汽车吊起重物，汽车以速度v 前进，当牵绳与竖直方向夹角为 厂时，重物上升速度为
（D ）
5、在同一水平直线上的两位置分别沿同方向抛岀小两小球
上和匸，其运动轨迹如图
所示，不计空气阻力.要使两球在空中相遇，则必须
（ C ）
A •甲先抛岀亠球
B •先抛岀広球 C
同时抛岀两球 D •使两球质量相
A 和
B 紧贴着内
因造
A. 球A 的线速度一定大于球 B 的线速度
B. 球A 的角速度一定大于球 B 的角速度
C. 球A 的向心加速度一定大于球 B 的向心加速度
D.
球A 对筒壁的压力一定大于球 B 对筒壁的压力
7、 如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动 .当圆筒的角速度增大以后仍未滑动，
下列说法正确的是（
D ）
A. 物体所受弹力增大，摩擦力也增大
B. 物体所受弹力增大，摩擦力减小
C. 物体所受弹力和摩擦力都减小
D. 物体所受弹力增大，摩擦力不变
8、 如图所示，长为 L 的细绳一端固定，另一端系一质量为 m 的小球.给小球一个合适的初速度，小球便可在水平
面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆，设细绳与竖直方向的夹角为 0.下列说法中正确的是（ BC ）
9、如图所示，a 、b 、c 三物体放在旋转水平圆台上 ，它们与圆台间的动摩擦因数均相同，已知
a 的质量
为2m b 和c 的质量均为 m a 、b 离轴距离为R ，c 离轴距离为2R 。

当圆台转动时，三物均没有打滑， 则：（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）（
ABC ）
A. 这时c 的向心加速度最大
B. 这时b 物体受的摩擦力最小
C. 若逐步增大圆台转速， c 比b 先滑动
D.
若逐步增大圆台转速， b 比a 先滑动
P 点时，开始受到一个恒力 F 的作用，则此后该质点的运动轨迹可
能是图中的 （ BCD ）
A . a
B . b
A.小球受重力、绳的拉力和向心力作用
B. 小球只受重力和绳的拉力作用
C. 0越大，小球运动的速度越大
D. 0越大，小球运动的周期越大
10、一质点以一定的速度通过
C. c
11、若河水的流速大小与水到河岸的距离有关，河中心水的流速最大，河岸边缘处水的流速最小。

现假设河的宽
度为120m,河中心水的流速大小为4m/s，船在静水中的速度大小为3m/s，要使船以最短时间渡河，则(BD )
A. 船渡河的最短时间是24s
B. 在行驶过程中，船头始终与河岸垂直
C. 船在河水中航行的轨迹是一条直线
D. 船在河水中的最大速度为5m/s
13、平抛物体的初速度为V o，当水平方向分位移与竖直方向分位移相等时( ABD )
A.运动的时间•瞬时速率
C.水平分速度与竖直分速度大小相等
D.位移大小等于
14、如图所示，半径为R表面光滑的半圆柱体固定于水平地面，其圆心在O点。

位于竖直面
内的曲线轨道AB的底端水平，与半圆柱相切于圆柱面顶点B。

质量为m的小滑块沿轨道滑至
点时的速度大小为，方向水平向右，滑块在水平地面上的落点为 C (图中未画岀)，不计空气阻力，则
12、如图所示，一个长直轻杆AB在墙角沿竖直墙和水平地面滑动，当AB杆和墙的夹角为0时，杆的A 端沿墙下滑的速度大小为V1，B端沿地面的速度大小为V2 .则V1. V2的关系是(C )
A. V1=V2
B. V1= V2COS 0
C. V1= V2tan 0
D. V1= V2Sin 0
(BC )
A.滑块将沿圆柱体表面始终做圆周运动滑至C点
B.滑块将从B点开始作平抛运动到达C点
42R C. OC之间的距离为
D. 0C之间的距离为R
15、如图所示，一玩滚轴溜冰的小孩(可视作质点)质量为m=30kg，他在左侧平台上滑行一段距离后平抛，恰
能无碰撞地沿圆弧切线从A点进入光滑竖直圆弧轨道，并沿轨道下滑，A、B为圆弧两端点，其连线水平•已知
圆弧半径为R=1.0m，对应圆心角为0 =106：平台与AB连线的高度差为h=0.8m .(计算中取g=10m/s2,sin53 0=0.8，
cos53°=0.6 )求：
(1)小孩平抛的初速度
(2)小孩运动到圆弧轨道最低点O时对轨道的压力
(1 )由于小孩无碰撞进入圆弧轨道，即小孩落到A点时速度方向沿A点切线方向，贝U tan ■———— = tan 53^ h = —
J—= 0.4&
叫班又由2得* g 而◎二囚二隠E联立以上各式得
% = 3 加s
(2 )设小孩到最低点的速度为，由机械能守恒，有
在最低点，据牛顿第二
%-翅宫=嗨空
定律，有代入数据解得FN=1290N由牛顿第三定律
可知，小孩对轨道的压力为1290N .
16、一半径为R的雨伞绕柄以角速度3匀速旋转，如图所示，伞边缘距地面高圆，求此圆半径r为多少？
解：雨滴飞出的速度大小为v= 3 R，①
雨滴做平抛运动。

在竖直方向上有
在水平方向上有h，甩岀的水滴在地面上形成一个
-gt2 h=2
S=vt ③
'2 2
由几何关系知，雨滴半径r= R s④
解以上几式得r=R • g
17、跳台滑雪是一种极为壮观的运动，它是在依山势建造的跳台上进行的运动。

运动员穿着专用滑雪板，不带雪
杖在助滑路上获得较大速度后从跳台水平飞岀，在空中飞行一段距离后着陆。

如图所示，设某运动员从倾角为0 =37°的坡顶A点以速度v o=2Om/s沿水平方向飞岀，到山坡上的B点着陆，山坡可以看成一个斜面。

(g=10m/s2, sin37 o=0.6，cos37o=0.8 )求:
(1)运动员在空中飞行的时间t ;
(2)AB间的距离s。

(1 )运动员由A到B做平抛运动
2
水平方向的位移为x=v0t 竖直方向的位移为y= j gt2
心2皿祖扩訂g
解得：z
(2)由题意可知-
解得：
将t=3s代入上式得s=75m
18、如图所示，电动玩具小车A从倾角『'的斜面底端以速度’''_J：沿斜面向上做匀速运动，同时在
斜面底端正上方匚工处，将小球B以初速度»水平抛岀，它们在斜面上恰好相碰( g取10m/s2)o求：
(1)一:的大小。

(2)从两物开始运动到相碰所用的时间t
⑴设经时间二两球相碰，则：
巴=M cos 日=lm/s
卩+ \爭丄=h
⑵在竖直方向上-
即--1■- - ' : (负解舍去)
19、在冬天，高为h=1.25m的平台上，覆盖了一层冰，一乘雪橇的滑雪爱好者，从距平台边缘s=24m处以一定的初速度向平台边缘滑去，如图所示，当他滑离平台即将着地时的瞬间，其
速度方向与水平地面的夹角为-二J宁，取重力加速度g=10m/s
(1)滑动者着地点到平台边缘的水平距离是多大；
(2)若平台上的冰面与雪撬间的动摩擦因数为 3 ：」止，则滑
雪者的初速度是多大?
(1) V0 = 5m/s X=V0t = 2.5m
(2) V 初=7m/s
20、如图所示，AB斜面，倾角为30 °，小球从A点以初速度v o水平抛岀，恰好落到B点，
求：
(1 )物体在空中飞行的时间；
(2 ) AB之间的距离；
(3 )从抛岀开始计时经过多少时间与斜面间的距离最大？
2J3V
° 4V 。

2 屈
3g ' 3g ' 3g
21、将一小球从倾角为 0 (图中未画岀)的斜面顶点以一定的初速度沿水平方向抛 岀，小球落在斜面上，如图所示.
(1)若小球抛岀初速度为 V 。

，求从抛岀到落到斜面所用时间;
(2 )求(1)中小球落在斜面上时速度
V i 的大小；
(3 )小球落在斜面上的速度
V i 方向与斜面成a 角.若增大平抛初速度,
在斜面上，试说明 a 如何变化，并证明你的结论.
(1) 2 V0 tan 0 / g
(2) V 1 V 0 4 tan 2
1
(3)
不变•只要证明落到斜面上时速度偏离水平方向夹角与
V0无关即可证明a 不变
22、如下图所示，为一小球做平抛运动的闪光照片的一部分。

图中背影方格的边长均为 那么：
(1) ___________________ 闪光频率是 Z ;
(2) ______________________________ 小球平抛的初速度大小是 /s ;
(3 )小球经过 B 点时的速度大小是 2.5 m/s
1 ------------
球仍落
23、如图所示，水平传送带的速度为 4.0m/s，它的右端与等高的光滑水平平台相接触
5cm，如果g 取10m/s2,
.一工件m (可看成质点)
"心，经过一段时间工件从光滑水平平台上滑岀，恰
轻轻放在传送带的左端，工件与传送带间的动摩擦因数
好落在小车左端，已知平台与小车的高度差h=0.8m，小车左端距平台右端的水平距离为s=1.2m，取g=10m/s2, 求：
(1 )工件水平抛岀的初速度是多少？
(2)传送带的长度L是多少？解：(1)小物块从平台右端水
平抛出后，做平抛运动。

水平方向: 竖直方向:
% - sj — - 3m f s
得：
(2)由于「二「第匚小于水平传送带的速度， 故可知小物块在传送带上一直做匀加速运动。

小物块在传送
带上所受摩擦力： -
由牛顿第二定律可知：
''J
L = —-— = 1 一 5tn
由运动学关系可知：「• 门
得： 「化
参考答案
13、ABD 14、BC
tan — = — = tan 53^
15、( 1)由于小孩无碰撞进入圆弧轨道， 即小孩落到A 点时速度方向沿 A 点切线方向，则 叫 为
为二丄 0° t = /— = 0.45
又由一 丁得
而I ： 一'…联立以上各式得'■ ■-
16.
解：雨滴飞岀的速度大小为 v= 3 R, ①
雨滴做平抛运动。

1、D
2、C 4、D 5、C 6、A 7、D 8、BC 9、ABC 10、BCD 11、BD 12、C
(2)设小孩到最低点的速度为，由机械能守恒，有
丨3 一严
二阳呂［血+氏(1一3乃史) 在最低点，据
V 3
牛顿第二定律，有
-代入数据解得
F N =1290N 由牛顿第三定律可知, 小孩对轨道的压力为 1290N .
2gt
在竖直方向上有h= 2②
在水平方向上有S=vt ③
2 2 由几何关系知，雨滴半径r= R s
,：__2 2h
J 一
解以上几式得r=R g 17、（1）运动员由A到B做平抛运动
水平方向的位移为x=v o t 竖直方向的位移为
解得：二
sin 37* = 2：
（2）由题意可知：’
解得：
将t= 3s代入上式得s=75m
18、⑴设经时间厂两球相碰，则
匕=* cos 日=lm/s
气工sin G + {■呂f *二应
⑵在竖直方向上二
即’I •一「一（负解舍去）
19、（1）V o = 5m/s X=V o t = 2.5m
（2） V 初=7m/s
2,3v o 4v o ... 3v o
2U 、 ------- ----- ------
3g ' 3g ' 3g
21、 解：（1） 2 v o tan 0 / g
（2） v i V o 、4ta n 2 1
（3） 不变•只要证明落到斜面上时速度偏离水平方向夹角与
V 0无关即可证明a 不变
22、 （ 1）10 （ 2）1.5 （ 3）2.5
23、 解：（1）小物块从平台右端水平抛岀后，做平抛运动。

（2）由于」''小于水平传送带的速度，故可知小物块在传送带上一直做匀加速运动。

小物块在传送带上
所受摩擦力：
""‘一
由牛顿第二定律可知:
』_ ） T
由运动学关系可知：' 一 得:
竖直方向
:。