河北省保定2012届高三下学期第一次模拟考试--数学(理)

河北省保定
2012届高三下学期第一次模拟考试
数学试题（理科）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题，共60分）
注意事项：
1．答第I 卷前，考生务必将姓名、学号、学校、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上。

3．考试结束后，监考人员将本试卷和答题卡一并收回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题是5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求） 1．已知集合{|lg 0},{||1|1},A x x B x x A B =≤=+> 则=
A ．（—2，1）
B ．(,2][1,)-∞-+∞
C ．(0,1]
D ．(,2)(0,1]-∞-
2．已知i 是虚数单位，若1a i
i
++是实数，则实数a 等于
A ．—1
B ．1
C D 3．已知角α的终边上一点的坐标为(sin ,cos )66
π
π
，则正角α的最小值
A ．116
π
-
B ．
56π C ．
3
π D ．
6
π 4．已知等比数列3117{},4n a a a a =中有，数列{}n b 是等差数列，且7759,b a b b =+则等于
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
5．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A ．3 B ．—6 C ．—15 D ．10
6．下列所给的四个图象为某同学离开家的距离y 与所用时间t 的
函数关系
给出下列三个事件：
（1）该同学离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再去上
学；
（2）该同学骑着车一路以匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）该同学出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速，
其中事件（1）（2）（3）与所给图象分别吻合最好的 A ．④①② B ．③①② C ．②①④ D ．③②①
7．若||1,||2,,,a b c a b c a a b ===+⊥
且则向量与的夹角为
A ．0°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
8．已知01,0a a b >≠>且，则“log 0a b >”是“(1)(1)0a b -->”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 9．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ），则该棱锥的体积是（单位：m 3）
A ．4+
B ．4+
C ．
2
3
D ．
43
10．设函数()sin()cos()(0,||)2
f x x x π
ωϕωϕωϕ=+++><
的最小正周期为π，且
()()f x f x -=，则
A ．()(0,
)2f x π
在单调递增 B ．()(0,
)2f x π
在单调递减
C ．3()(,)44
f x ππ
在单调递减 D ．3()(,)44
f x ππ
在单调递增 11．设P 为直线3430x y ++=上的动点，过点P 作圆22:2210C x y x y +--+=的两条切线，
切点分别为A ，B ，则四边形PACB 的面积最小时∠APB= A ．60° B ．45° C ．30°
D ．120°
12．定义域为R 的函数1
()(1)1,()()2
f x f f x f x '=>
满足且的导函数，则满足2()1f x x <+的x 的集合为 A ．{|11}x x -<<
B ．{|1}x x <
C ．{|11}x x x <->或
D ．{|1}x x >
第II 卷（非选择题，共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把最简答案填在答题卡的相应位置上） 13．设α为△ABC 的内角，且tan α3
4
-
，则sin2α的值为 ． 14．设互不相同的直线l 、m 、n 和平面α、β、γ，给出下列三个命题： ①若l 与m 为异面直线，l α⊂，m ⊂β，则α∥β； ②若α∥β，l α⊂，m ⊂β，则l ∥m ； ③若,,,//,//.l m n l m n αββγγαγ=== 则 其中真命题的个数为 ．
15．已知实数m 是2，8的等比中项，则圆锥曲线2
2
1y x m
+=的离心率为 。

16．随机向区域2040y x y x ⎧≤≤⎪
≥⎨⎪≥⎩
内投一点，且该点落在区域内的每个位置是等可能的，则坐标原点与该
点连线的倾斜角不小于
4
π
的概率为 。

三、解答题（本大题共6小题，70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）
已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，S 3 =14，S 6=126． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12231
111
n n n T a a a a a a +=
+++
，试求n T 的表达式。

18．（本小题满分12分）
第七届全国农民运动会将于2012年在河南省南阳市举办，某代表队为了在比赛中取得好成绩，
已组织了多次比赛演练．某次演练中，该队共派出甲、乙、丙、丁、戊五位选手进行100米短跑比赛，这五位选手需通过抽签方式决定所占的跑道． （1）求甲、乙两位选手恰好分别占据1、2跑道的概率；
（2）若甲、乙两位选手之间间隔的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．
19．（本小题满分12分） 如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是矩形，PA=AB=1，直线PD 与底面ABCD
所成的角等于30°，PF=FB ，E ∈BC ，EF ∥平面PAC ． （1）试求
BE
EC
的值； （2）求二面角P-DE-A 的余弦值；
（3）求直线PC 与平面PDE 所成角的正弦值
20．（本小题满分12分）
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率为(1,22Q 且过点
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若过点M （2，0）的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，设P 点在直线10x y +-=上，且
满足OA OB tOP +=
（O 为坐标原点），求实数t 的最小值。

21．（本小题满分12分）
已知：函数2ln(1)()2,(0)1
(1)x a
f x x a x x +=
-->++
（1）若函数，()0f x x =在处取极值，求a 的值；
（2）如图，设直线1,2x y x =-=-将坐标平面分成I 、II 、III 、IV 四个区域（不含边界），若函
数()y f x =的图象恰好位于其中一个区域内，试判断其所在的区域并求其对应的a 的取值范
围；
（3）试比较20122011与20112012的大小，并说 明理由。

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写请题号。

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB=AC ，延长BC 到点D ，使得CD=AC ，连结AD 交⊙O 于点E ，连结BE 。

求证：（1）BE=DE ； （2）∠D=∠ACE 。

23．（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程
已知直线11cos :()sin ,
x t C t y t α
α=+⎧⎨=⎩为参数，圆C 2：ρ=1.（极坐标轴与x 轴非负半轴重合）
（1）当3
π
α=
时，求直线C 1被圆C 2所截得的弦长；
（2）过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，当α变化时，求A 点的轨迹的普通方程。

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设()1(|1||2|3)().f x n x m x m R =-+--∈ （1）当0m =时，求函数()f x 的定义域；
（2）当01x ≤≤时，是否存在m 使得()0f x ≤恒成立，若存在求出实数m 的取值范围，若不
存在，说明理由。

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