高中数学必修2直线与圆优质课件：直线与圆的位置关系(复习课)
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
和直线l2之间运动才可，此时相应的m∈1，23 3.
∴m的取值范围是1，2 3 3.
[类题通法] 要注意结合图象，得出正确的答案，不能想当然．要 注意直线之间倾斜程度的比较，像在此例题中，我们要 注意比较直线 l 的斜率 k＝－ 33与直线 AB 的斜率 k＝－ 1，如果注意到它们的关系了，就不易出错．
[对点训练]
2．已知直线 l：y＝－ 33x＋m 与圆 x2＋y2＝1 在第一象限内 有交点，求 m 的取值范围． 解：∵l：y＝－ 33x＋m，圆x2＋y2＝1， ∴l可变形为： 3 x＋3y－3m＝0，圆的圆心为(0,0)， 半径长r＝1. 当直线和该圆相切时，应满足d＝|－33＋m9|＝1，解得m＝
又OP⊥OQ，∴KOP·KOQ＝－1即x1x2＋y1y2＝0. ∴x1·x2＋12(3－x1)·12(3－x2)＝0， 整理得5x1x2－3(x1＋x2)＋9＝0， ∴5×4m－5 27－3×(－2)＋9＝0. 解得m＝3满足① ∴实数m的值为3.
[类题通法] 此题设出 P，Q 两点的坐标，但在求解过程中又不 能刻意地求出来，只将它作为一个转化过程中的桥梁， 这种“设而不求”的解题方法在解析几何中很常见，要注 意认真体会并掌握．
[类题通法] 过已知圆外一点求切线的方程一般有三种方法： (1)设切线斜率，用判别式法； (2)设切线斜率，用圆心到直线的距离等于半径长； (3)设切点(x0，y0)，用切线公式法．
[对点训练] 1．已知圆 C：(x－2)2＋(y－1)2＝1.求：
(1)过 A(3,4)的圆 C 的切线方程； (2)在两坐标轴上的截距相等的圆 C 的切线方程． 解：(1)当所求直线的斜率存在时，设过 A(3,4)的直线方程为 y －4＝k(x－3)，即 kx－y＋4－3k＝0， 由|2k－11＋＋4k－2 3k|＝1，得 k＝43. 所以切线方程为 y－4＝43(x－3)，即 4x－3y＝0. 当所求直线的斜率不存在时，直线方程为 x＝3，也符合题意． 故所求直线方程为 4x－3y＝0 或 x＝3.
2 ±
3
3，在平面直角坐标系中作出图象，
如下图所示，其中 l2：y＝－ 33x＋23 3，
l3：y＝－
33x－2
3 3.
∵直线 l 与圆在第一象限内有交点， ∴直线 l 应该在过点 B(1,0)的直线与切线 l2 之间才可以，而 当 B(1,0)在直线 l 上时， m＝ 33，∴m 的范围是 33，233.
由于l的斜率必存在，故可设直线l：y－7＝k(x＋6)，即kx －y＋6k＋7＝0.
由圆x2＋y2－8x＋6y＋21＝0的圆心(4，－3)到直线l的距离 等于半径，知
|4k＋3k＋2＋6k1＋7|＝10k|k2＋＋11|＝2，解得k＝－34或k＝－43， 故光线l所在直线的方程为3x＋4y－10＝0或4x＋3y＋3＝0.
[对点训练] 3．自原点 O 作圆(x－1)2＋y2＝1 的不重合两弦 OA，OB，
若|OA|·|OB|＝k(定值)，证明不论 A，B 两点位置怎样， 直线 AB 恒切于一个定圆，并求出定圆的方程．
解：设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则|OA|·|OB|＝ x21＋y21· x22＋y22 ＝ x21＋[1－x1－12]· x22＋[1－x2－12] ＝ 4x1x2＝k. ∴x1x2＝k42.
直线与圆的位置关系（复习课）
【常见题型】
与圆有关的切线问题
[例1] 自点P(－6,7)发出的光线l射到x轴上的点A 处，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－8x－ 6y＋21＝0相切于点Q.求光线l所在直线方程．
[解] 如图，作圆x2＋y2－8x－ 6y＋21＝0关于x轴的对称圆x2＋y2－8x ＋6y＋21＝0，由几何光学原理，知直 线l与圆x2＋y2－8x＋6y＋21＝0相切．
5．已知以点P为圆心的圆过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P于点C、D，且|CD|＝4 10. (1)求直线CD的方程； (2)求圆P的方程． 解：(1)∵kAB＝1，AB的中点坐标为(1,2)，∴直线CD 的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
(2)设圆心P(a，b)，则由P在CD上得a＋b－3＝0.① 又直径|CD|＝4 10，∴|PA|＝2 10， ∴(a＋1)2＋b2＝40.② 由①②解得a＝－3，b＝6或a＝5，b＝－2. ∴圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2 ＝40.
设直线 AB 的方程为 y＝mx＋b，代入已知圆的方程并整理，得 (1＋m2)x2＋2(mb－1)x＋b2＝0， 由韦达定理，得 x1x2＝1＋b2m2. ∴1＋b2m2＝k42.
∵原点 O 到直线 mx－y＋b＝0 的距离为 1|＋b| m2， ∴所求定圆的半径 r 满足 r2＝1＋b2m2＝k42(定值)． ∴直线 AB 恒切于定圆 x2＋y2＝k42.
即|b×0＋aa2＋×b02－ab|≤1，
即a2a＋2b2b2≥1，则a12＋b12≥1.
答案： D
3．如果实数x，y满足等式(x－2)2＋y2＝3，那么xy的最大
值是________．
解析：设
y x
＝k，则y＝kx，(x－2)2＋k2x2＝3，整理得
(1＋k2)x2－4x＋1＝0.
∵Δ＝16－4(1＋k2)≥0，
直线与圆的综合问题
[例3] 已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线x＋2y－3＝0
相交于P，Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．
[解]
由
x＋2y－3＝0 x2＋y2＋x－6y＋m＝0
消去y，得5x2＋10x＋
4m－27＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则
Δ＝100－204m－27＞0 ① x1＋x2＝－2 x1x2＝4m－27/5
已知直线l：y＝－
3 3
x＋m与圆x2＋y2＝1在第一象
限内有两个不同的交点，求m的取值范围．
[解] ∵l：y＝－ 33x＋m，圆x2＋y2＝1，
∴l可变形为： 3 x＋3y－3m＝0，圆的圆心为(0,0)，半径
长r＝1.
当直线和该圆相切时，应满
足d＝|－33＋m9|＝1，解得m＝±2
3
3 .
在平面直角坐标系中作出图象，如图所示，其中l2：y＝－
为 3.圆心到直线 3x＋y＝0的距离d＝ 3＝r，所以直线 与圆相切． 答案： A
2．若直线xa＋by＝1与圆x2＋y2＝1有公共点，则(
)
A．a2＋b2≤1
B．a2＋b2≥1
C.a12＋b12≤1
D.a12＋b12≥1
解析：圆的圆心(0,0)到直线bx＋ay－ab＝0的距离小
于或等于圆的半径1，
∴－ 3≤k≤ 3.
答案： 3
4．过点A(2,4)向圆x2＋y2＝4所引的切线方程为________． 解析：显然x＝2为所求切线之一．另设切线方程为y－4＝ k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0. 而 |4k－2＋2k1| ＝2，得k＝34，所以切线方程为3x－4y＋10＝0， 故所求切线为x＝2，或3x－4y＋10＝0. 答案：x＝2或3x－4y＋10＝0
(2)设在两坐标轴上的截距相等的直线方程为xa＋ay＝1 或 y＝ kx， 于是由圆心(2,1)到切线距离为 1，得|3－2a|＝1 或|21k＋－k12|＝1. 解得 a＝3± 2，k＝0 或 k＝43. 故所求切线方程为 x＋y＝3± 2或 y＝0 或 y＝43x.
与圆有关的参数问题
[例2]
【练习反馈】
1．直线 x＋ 3y＝0 绕原点按顺时针方向旋转 30˚ 所得直线
与圆 x2＋y2－4x＋1＝0 的位置关系是( )
A．直线与圆相切
B．直线与圆相交但不过圆心
C．直线与圆相离
D．直线过圆心
解析：直线按顺时针方向旋转30˚后，所得直线方程为 3 x＋y＝0，由圆的方程可知圆心坐标为(2,0)，半径长
3 3x
＋23 3，l3：y＝－
33x－2 3
3 .
过原点作直线l0：y＝－ 33x，m0：y＝－x.
∵直线l的斜率k＝－ 33，直线AB的斜率k＝－1， ∴只有当直线l在移动到过A(0,1)后才开始与圆在第一象
限内有两个交点，此时对应的直线l1：y＝－
3 3
x＋1，要使
直线与圆在第一象限内有两个不同交点，直线l只有在直线l1
和直线l2之间运动才可，此时相应的m∈1，23 3.
∴m的取值范围是1，2 3 3.
[类题通法] 要注意结合图象，得出正确的答案，不能想当然．要 注意直线之间倾斜程度的比较，像在此例题中，我们要 注意比较直线 l 的斜率 k＝－ 33与直线 AB 的斜率 k＝－ 1，如果注意到它们的关系了，就不易出错．
[对点训练]
2．已知直线 l：y＝－ 33x＋m 与圆 x2＋y2＝1 在第一象限内 有交点，求 m 的取值范围． 解：∵l：y＝－ 33x＋m，圆x2＋y2＝1， ∴l可变形为： 3 x＋3y－3m＝0，圆的圆心为(0,0)， 半径长r＝1. 当直线和该圆相切时，应满足d＝|－33＋m9|＝1，解得m＝
又OP⊥OQ，∴KOP·KOQ＝－1即x1x2＋y1y2＝0. ∴x1·x2＋12(3－x1)·12(3－x2)＝0， 整理得5x1x2－3(x1＋x2)＋9＝0， ∴5×4m－5 27－3×(－2)＋9＝0. 解得m＝3满足① ∴实数m的值为3.
[类题通法] 此题设出 P，Q 两点的坐标，但在求解过程中又不 能刻意地求出来，只将它作为一个转化过程中的桥梁， 这种“设而不求”的解题方法在解析几何中很常见，要注 意认真体会并掌握．
[类题通法] 过已知圆外一点求切线的方程一般有三种方法： (1)设切线斜率，用判别式法； (2)设切线斜率，用圆心到直线的距离等于半径长； (3)设切点(x0，y0)，用切线公式法．
[对点训练] 1．已知圆 C：(x－2)2＋(y－1)2＝1.求：
(1)过 A(3,4)的圆 C 的切线方程； (2)在两坐标轴上的截距相等的圆 C 的切线方程． 解：(1)当所求直线的斜率存在时，设过 A(3,4)的直线方程为 y －4＝k(x－3)，即 kx－y＋4－3k＝0， 由|2k－11＋＋4k－2 3k|＝1，得 k＝43. 所以切线方程为 y－4＝43(x－3)，即 4x－3y＝0. 当所求直线的斜率不存在时，直线方程为 x＝3，也符合题意． 故所求直线方程为 4x－3y＝0 或 x＝3.
2 ±
3
3，在平面直角坐标系中作出图象，
如下图所示，其中 l2：y＝－ 33x＋23 3，
l3：y＝－
33x－2
3 3.
∵直线 l 与圆在第一象限内有交点， ∴直线 l 应该在过点 B(1,0)的直线与切线 l2 之间才可以，而 当 B(1,0)在直线 l 上时， m＝ 33，∴m 的范围是 33，233.
由于l的斜率必存在，故可设直线l：y－7＝k(x＋6)，即kx －y＋6k＋7＝0.
由圆x2＋y2－8x＋6y＋21＝0的圆心(4，－3)到直线l的距离 等于半径，知
|4k＋3k＋2＋6k1＋7|＝10k|k2＋＋11|＝2，解得k＝－34或k＝－43， 故光线l所在直线的方程为3x＋4y－10＝0或4x＋3y＋3＝0.
[对点训练] 3．自原点 O 作圆(x－1)2＋y2＝1 的不重合两弦 OA，OB，
若|OA|·|OB|＝k(定值)，证明不论 A，B 两点位置怎样， 直线 AB 恒切于一个定圆，并求出定圆的方程．
解：设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则|OA|·|OB|＝ x21＋y21· x22＋y22 ＝ x21＋[1－x1－12]· x22＋[1－x2－12] ＝ 4x1x2＝k. ∴x1x2＝k42.
直线与圆的位置关系（复习课）
【常见题型】
与圆有关的切线问题
[例1] 自点P(－6,7)发出的光线l射到x轴上的点A 处，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－8x－ 6y＋21＝0相切于点Q.求光线l所在直线方程．
[解] 如图，作圆x2＋y2－8x－ 6y＋21＝0关于x轴的对称圆x2＋y2－8x ＋6y＋21＝0，由几何光学原理，知直 线l与圆x2＋y2－8x＋6y＋21＝0相切．
5．已知以点P为圆心的圆过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P于点C、D，且|CD|＝4 10. (1)求直线CD的方程； (2)求圆P的方程． 解：(1)∵kAB＝1，AB的中点坐标为(1,2)，∴直线CD 的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
(2)设圆心P(a，b)，则由P在CD上得a＋b－3＝0.① 又直径|CD|＝4 10，∴|PA|＝2 10， ∴(a＋1)2＋b2＝40.② 由①②解得a＝－3，b＝6或a＝5，b＝－2. ∴圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2 ＝40.
设直线 AB 的方程为 y＝mx＋b，代入已知圆的方程并整理，得 (1＋m2)x2＋2(mb－1)x＋b2＝0， 由韦达定理，得 x1x2＝1＋b2m2. ∴1＋b2m2＝k42.
∵原点 O 到直线 mx－y＋b＝0 的距离为 1|＋b| m2， ∴所求定圆的半径 r 满足 r2＝1＋b2m2＝k42(定值)． ∴直线 AB 恒切于定圆 x2＋y2＝k42.
即|b×0＋aa2＋×b02－ab|≤1，
即a2a＋2b2b2≥1，则a12＋b12≥1.
答案： D
3．如果实数x，y满足等式(x－2)2＋y2＝3，那么xy的最大
值是________．
解析：设
y x
＝k，则y＝kx，(x－2)2＋k2x2＝3，整理得
(1＋k2)x2－4x＋1＝0.
∵Δ＝16－4(1＋k2)≥0，
直线与圆的综合问题
[例3] 已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线x＋2y－3＝0
相交于P，Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．
[解]
由
x＋2y－3＝0 x2＋y2＋x－6y＋m＝0
消去y，得5x2＋10x＋
4m－27＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则
Δ＝100－204m－27＞0 ① x1＋x2＝－2 x1x2＝4m－27/5
已知直线l：y＝－
3 3
x＋m与圆x2＋y2＝1在第一象
限内有两个不同的交点，求m的取值范围．
[解] ∵l：y＝－ 33x＋m，圆x2＋y2＝1，
∴l可变形为： 3 x＋3y－3m＝0，圆的圆心为(0,0)，半径
长r＝1.
当直线和该圆相切时，应满
足d＝|－33＋m9|＝1，解得m＝±2
3
3 .
在平面直角坐标系中作出图象，如图所示，其中l2：y＝－
为 3.圆心到直线 3x＋y＝0的距离d＝ 3＝r，所以直线 与圆相切． 答案： A
2．若直线xa＋by＝1与圆x2＋y2＝1有公共点，则(
)
A．a2＋b2≤1
B．a2＋b2≥1
C.a12＋b12≤1
D.a12＋b12≥1
解析：圆的圆心(0,0)到直线bx＋ay－ab＝0的距离小
于或等于圆的半径1，
∴－ 3≤k≤ 3.
答案： 3
4．过点A(2,4)向圆x2＋y2＝4所引的切线方程为________． 解析：显然x＝2为所求切线之一．另设切线方程为y－4＝ k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0. 而 |4k－2＋2k1| ＝2，得k＝34，所以切线方程为3x－4y＋10＝0， 故所求切线为x＝2，或3x－4y＋10＝0. 答案：x＝2或3x－4y＋10＝0
(2)设在两坐标轴上的截距相等的直线方程为xa＋ay＝1 或 y＝ kx， 于是由圆心(2,1)到切线距离为 1，得|3－2a|＝1 或|21k＋－k12|＝1. 解得 a＝3± 2，k＝0 或 k＝43. 故所求切线方程为 x＋y＝3± 2或 y＝0 或 y＝43x.
与圆有关的参数问题
[例2]
【练习反馈】
1．直线 x＋ 3y＝0 绕原点按顺时针方向旋转 30˚ 所得直线
与圆 x2＋y2－4x＋1＝0 的位置关系是( )
A．直线与圆相切
B．直线与圆相交但不过圆心
C．直线与圆相离
D．直线过圆心
解析：直线按顺时针方向旋转30˚后，所得直线方程为 3 x＋y＝0，由圆的方程可知圆心坐标为(2,0)，半径长
3 3x
＋23 3，l3：y＝－
33x－2 3
3 .
过原点作直线l0：y＝－ 33x，m0：y＝－x.
∵直线l的斜率k＝－ 33，直线AB的斜率k＝－1， ∴只有当直线l在移动到过A(0,1)后才开始与圆在第一象
限内有两个交点，此时对应的直线l1：y＝－
3 3
x＋1，要使
直线与圆在第一象限内有两个不同交点，直线l只有在直线l1