七年级数学思维探究（18）整式的乘除（含答案）

牛顿（16421727-），英国数学家、物理学家、天文学家．牛顿对数学的最大贡献是创立了流数术（微积分），建立了二项式定理及“广义的算术”（代数学），他的名作《自然哲学数学原理》用数学与知识解释了哥白尼学说和天体运动的现象，阐明了运动三定理和万有引力定理，建立了求方程近似根的法则，后人以其突出的贡献，把他与阿基米德、高斯并称为历史上最伟大的数学家． 18．整式的乘除 解读课标
数有乘、除、乘方运算，代数式也有相应的运算．
整式的乘除法的各个运算之间存在着内在的联系，是可以相互转化的．多项式与多项式相乘可以通过转化变成单项式与多项式相乘，再通过转化变成单项式相乘，最后化为同底数幂的乘法进行运算；类似的，多项式除以多项式最后可化为同底数幂的除法进行运算．因此，幂的运算是整式乘除的基础． 问题解决
例1 （1）若n 为不等式2003006n >的解，则n 的最小正整数的值为_______． （2）已知21x x +=，那么432222005x x x x +--+=_______． 试一试 对于（1），从幂的乘方逆用入手；对于（2），就目前无法求出x 的值，恰当地运用条件，把
高次项用低次多项式表示，如21x x =-，()()322
1121x x x x x x x x x x =⋅=-=-=--=-等．
例2 把552，443，335，226这4个数从小到大排列，正确的是（ ）．
A ．554433222356<<<
B ．553322442563<<<
C ． 552233442653<<<
D ． 552244332635<<< 试一试 指数55，44，33，22的最大公约数为11，把不同指数的幂化成同指数的幂． 例3 设a 、b 、c 、d 都是正整数，并且54a b =，32c d =，19c a -=，求d b -的值．
试一试 设5420a b m ==，326c d b ==，这样a 、b 可用m 的式子表示，c 、d 可用n 式子表示，通过减少字母的个数降低问题的难度．
例4 设()5
543254321031x a x a x a x a x a x a -=+++++． 求：（1）543210a a a a a a -+-+-的值； （2）54321a a a a a ++++的值．
试一试 通过展开式去求出每一项系数，这样做计算繁难．事实上，上列等式在x 的允许值范围内取任意值代入计算，等式都成立，注意1±的幂的特征，用赋值法求解． 例5 已知多项式321x ax ++能被1x -整除，求a 的值． 解法一 用赋值法解
设()32
11x ax x A ++=-，其中A 为多项式． 令1x =代入上式，得3110a ++=，2a =-∴． 解法二 用待定系数法解
设()()
322
111x ax x x mx ++=---，即
()()32321111x ax x m x m x ++=-++-+，
对比得10m -=，()1a m =-+，1m =∴，2a =-． 对称之美
例6 观察下列等式：
1223113221⨯=⨯，1334114331⨯=⨯， 2335225332⨯=⨯，3447337443⨯=⨯， 6228668226⨯=⨯，……
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．
（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子成为“数字对称等式”： ①52⨯_______=______25⨯；②_______396693⨯=⨯_______．
（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a ，个位数字为b ，且29a b +≤≤，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a 、b ），并证明．
分析与解 观察规律，左边：两位数所乘的数是这个两位数的个位数字变为百位数字，十位数字变为个位数字，两个数字的和放在十位；右边：三位数与左边的三位数字百位与个位数字交换，两位数与左边的两位数十位与个位数字交换然后相乘，根据此规律填空并进行一般式的证明． （1）①275，572；②63，36．
（2）一般规律的式子为 ()()()()10100101001010a b b a b a a a b b b a ++++=++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 证明 ∵左边()()()()1011011111010a b b a a b b a =++=++， 右边()()()()1101110111010a b b a a b b a =++=++， ∴左边=右边． 数学冲浪 知识技能广场
1．满足()200
30013x ->的x 的最小正整数为_______．
2．如果210x x +-=，那么3223x x ++=________． 3．探索规律：
133=，个位数字是3；239=，个位数字是9；3327=，个位数字是7；4381=，个位数字是1；53243=，
个位数字是3；63729=，个位数字是9；…
那么73的个位数字是________，303的个位数字是________． 4．计算
（1）()23
2440.251⨯--=________；
（2）1998
200020002000
200073153735+⎛⎫
⨯= ⎪+⎝⎭
_________． 5．如果210x x +-=，那么代数式3227x x +-的值为（ ）． A ．6 B ．8 C ．6- D ．8-
6．已知3181n =，4127b =，619c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）． A ．a b c >> B ．a c b >> C ． a b c << D ．b c a >> 7．已知23a =，26b =，212c =，则a 、b 、c 的关系是（ ）． A ．2b a c <+ B ．2b a c =+ C ．2b a c >+ D ．a b c +>
8．化简()()
4322222n n n ++-得（ ）
A ．1128
n +- B ．12n +- C ．78 D ．7
4
9．已知()()22
67314233x xy y x y a x y b x y c --+++=-+++，试确定a 、b 、c 的值．
10．探索、研究
仪器箱按如图所示方式堆放（自下而上依次为第一层、第二层……），受堆放条件限制，堆放时应符合下列条件：每层堆放仪器箱的个数n a 与层数n 之间满足关系式232247n a n n =-+，116n <≤，n 为整数．
（1）例如：当2n =时，222322247187a =-⨯+=，则5a =_______，6a =_______．
（2）第n 层比第()1n +层多堆放多少个仪器箱？（用含n 的代数式表示）
（3）如果不考虑仪器箱承受的压力，请根据题设条件判断仪器箱最多可以堆放几层？并说明理由 （4）设每个仪器箱重54N （牛顿），每个仪器箱能承受的最大压力为160N ，并且堆放时每个仪器箱承受的压力是均匀的．
①若仪器箱仅堆放第一、二两层，求第一层中每个仪器箱承受的平均压力． ②在确保仪器箱不被损坏的情况下，仪器箱最多可以堆放几层？为什么？
思维方法天地
11．如果5555555555
55555
4444666666233322
n ++++++++⨯=+++，那么n =________． 12．已知()5
54322x ax bx cx dx ex f +=+++++，则164b d f ++=________．
13．（1）1615与1333的大小关系是1615_______1333（填“>”、“<”或“=”）．
（2）200020013131++与200120023131++的大小关系是200020013131++________2001200231
31
++（填“<”、“>”或“=”）．
14．已知252000x =，802000y =，则11
x y
+等于（ ）．
A ．2
B ．1
C ．12
D ．3
2
15．满足()
2
211n n n +--=的整数n 有（ ）个．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 16．若()6
2121110121110102x x a x a x a x a x a --=+++++，则12108642a a a a a a +++++=（ ）
． A ．32- B ．0 C ．32 D ．64
17．是否存在整数a 、b 、c 满足910162?8915a
b
c
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
若存在，求出a 、b 、c 的值；若不存在，说
明理由．
18．设a 、b 、c 、d 都是非零自然数，且54a b =，32c d =，17a c -=，求d b -的值． 应用探究乐园
19．已知x ，y ，z 是整数，且x y z >>，222 4.625x y z ++=，求xyz 的值． 20．纪念活动中的数学题
1976年，在美国举行了建国200周年纪念活动．在某中学的黑板报《一日一题》栏中有一道有趣的题目：2001776的最后两位数字是什么？
黑板报前面围着一大群学生，大家议论纷纷，小马克看了看题目，伸出了舌头：“哟！
1776的200次方，1776年．美国第一任总统华盛顿宣布建立美利坚合众国，确实值得纪念．但是要把1776连乘200次，才能找出最后的末尾两位数字，恐怕不知要算到何时；也不知要用掉多少草稿纸哩．” 请读者研究一下1776这个数的特点，不用小马克的呆办法，而立即把答案说出来？
18．整式的乘除 问题解决 例1 （1）()
()100
100
236n >，2216n >，n 的最小值为15；
（2）2004 例2 D ()11
555112232==，()11
444113381==，()11
3331155125==，()11
222116636==．
例3 4a m =，5b m =，2c n =，3d n =，由19c a -=得2419n m -=，即()()
22
19n m n m +-=，因19是质数，2n m +、2n m -是自然数，且22n m n m +>-，得2
2
191n m n m ⎧+=⎪
⎨-=⎪⎩
，解得10n =，3m =，所以35103757d b -=-=．
例4 （1）当1x =-时，得()5
5432103111024a a a a a a -+-+-+=⨯--=-⎡⎤⎣⎦．故原式1024=． （2）由()5
31x -展开并比较系数的符号，得50a >，40a <，30a >，20a <，10a >，00a <，则原式54321010241023a a a a a a =-+-+=+=（显然01a =-）． 数学冲浪
1．7 ()2
313x -> 2．4 3．7；9 4．（1）5- （2）
9
49
5．C 6．A 7．B 2236a c ⋅=，()2
2222636b b ===，得2b a c =+．
8．C 9．4a =，4b =，1c = 10．（1）112；91．
（2）()()()22
1322471321247312n n a a n n n n n +⎡⎤-=-+-+-++=-⎣⎦
，即第n 层比第()1n +层多堆放()312n -个仪器箱．
（3）()
()2
2
32256247256169n a n n n =-++-=--，由条件得，当13n ≤时，0n a ≥，故仪器箱最多
可以堆放12层．
（4）①46.75N ②仪器箱最多可以堆放5层． 11． 12 12．512 令2x =±代入 13．（1）< 16166415162<=，13136564333222>=>． （2）> 提示：设20003x =．
14．B 25=2000xy y ①，802000xy x =②，①×②，得()25802000xy
x y
+⨯=，得xy x y =+．
15．D 由20n +=且210n n --≠，得2n =-；由211n n --=，得1n =-，2n =；由211n n --=-且2n +是偶数，得0n =． 16．A
17．原式可化为3422100235235a b c a b c b c -++---⋅⋅=⨯⨯，得 3412200a b c a b c b c -++=⎧⎪--=⎨⎪-=⎩，解得322a b c =⎧⎪
=⎨⎪=⎩． 18．269 参见例3得3m =，8n =，353583269d b n m -=-=-=． 19．方程两边同乘以8，得33322237x y z +++++=．
因为x y z >>，要使上式左边为奇数，只有321z +=，即3z =-． 则332236x y +++=，即11229x y +++=．
要使上式左边为奇数，只有121y +=，即1y =-． 从而有128x +=，即2x =．
故有2x =，1y =-，3z =-．则6xyz =． 20．“76”是一个很特殊的数，任何两个自然数，只要它们的最后两位数字是76，那么其乘积的最后两位数字也必是“76”．
我们还是来作一个一般的证明吧：
设两个数分别为10076a +与10076b +，这里a 、b 是任意自然数，则 ()()1007610076a b ++
10000760076005776ab a b =+++ ()10010076765776ab a b =++++．
由于a 、b 是任意自然数，显然最后两位数字一定是76． 所以2001776这个数的最后两位数毫无疑问的也是76．。