五年高考三年模拟2018届高三数学理新课标一轮复习课件：9.1 直线方程和两条直线的位置关系 精品

例2 (2015四川德阳二诊,2)已知直线l1:ax+2y+1=0,l2:(3-a)x-y+a=0,则“a=1”是“l1⊥l2”
的( )
A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解题导引 由垂直得两直线方程中系数关系 求a 结论 解析 若l1⊥l2,则a·(3-a)+2×(-1)=0, 解得a=1或a=2, 所以“a=1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件,故选B. 答案 B 2-1 已知两直线l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my-1=0.试确定m,n的值,使: (1)l1与l2相交于点P(m,-1); (2)l1∥l2; (3)l1⊥l2,且l1在y轴上的截距为-1.
A.
0,
6
C.
0,
6
B.
0,
3
D.
0,
3
解题导引 设直线的点斜式方程 根据圆心到直线 的距离小于或等于 半径列不等式 求出k的取值范围 结论 解析 易知直线的斜率存在,设直线方程为y+2=k(x+2 3), 即kx-y+2 3 k-2=0, 因为直线与圆有公共点,
所以 | 2 3k 2 | ≤2,解得0≤k≤ 3 ,
93 0
0,
得P1
11 7
,
26 7
.
两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离
| C1 C2 |
d=
A2 B2
【知识拓展】 符合特定条件的某些直线构成一个直线系,常见的直线系方程有如下几种: (1)过定点M(x0,y0)的直线系方程为k(y-y0)=x-x0. (2)和直线Ax+By+C=0平行的直线系方程为Ax+By+C'=0(C≠C'). (3)和直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程为Bx-Ay+C'=0. (4)经过两相交直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+ C2)=0(这个直线系不包括直线A2x+B2y+C2=0).
距离公式得 | m 7 | = | m 5 | ,解得m=-6,即x+y-6=0,根据点到直线的距离公式,得M到原点的距离的
2
2
最小值为 | 6 | =3 2 .
2
答案 A
3-1 已知直线l:x-y+4=0与圆C:(x-1)2+(y-1)2=2,则圆C上各点到l的距离的最小值为
.
答案 2
解析
如图,过圆心C作直线l:x-y+4=0的垂线,交圆C于A,垂足为D,则AD的长即为所求.
突破方法
方法1 直线的倾斜角与斜率
倾斜角
0
斜
取值
0
率
增减性
0,
π 2
(0,+∞)
递增
π 2
不存在
π 2
,
π
(-∞,0)
递增
求倾斜角α的取值范围的一般步骤: (1)求出tan α的取值范围; (2)利用三角函数的单调性,借助图象,确定倾斜角α的取值范围. 例1 (2015山东潍坊期末,5,5分)若过点P(-2 3 ,-2)的直线与圆x2+y2=4有公共点,则该直线的倾斜 角的取值范围是( )
易求得直线BB'的方程为x+3y-12=0, 设B'(a,b),则a+3b-12=0,①
又线段BB'的中点
a 2
,
b
2
4
在l上,故3a-b-6=0.②
由①②解得a=3,b=3,所以B'(3,3).
所以AB'所在直线的方程为2x+y-9=0.
由
2x 3x
y y
9 0, 1 0
可得P0(2,5).
坐标(x2,y2)(其中A≠0,x1≠x2). ②直线关于直线的对称 此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决,有两种情况:一是已知直线与对称轴相交; 二是已知直线与对称轴平行. 例4 已知A(3,1),B(-1,2),若∠ACB的平分线的方程为y=x+1,则直线AC的方程为 ( )
A.y=2x+4
A.3 2 B.2 2 C.3 3 解题导引 平行线间
D.4 2
距离公式 求M点的
轨迹方程 点到直线的
距离公式 结论
解析 依题意知AB的中点M的集合为与直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0距离都相等的直线,则M到原 点的距离的最小值为原点到该直线的距离,设点M所在直线的方程为x+y+m=0,根据平行线间的
(2)若方程组无解,则这两条直线 平行 ,此时这两条直线 无交点 ,反之,亦成立.
5.距离
点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离
|P1P2|=
(x1 x2 )2 (y1 y2 )2
点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离
| Ax0 By0 C | A2 B2
d=
B.y=x-3
C.x-2y-1=0
D.3x+y+1=0
解题导引
求点B关于∠ACB的平分线的对称点B'的坐标 求直线AC的斜率k
解析 设点B(-1,2)关于直线y=x+1的对称点为B'(x0,y0),
得到直线AC的方程
则有
y0 2 x0 1 y0 2
2
1,
x0 1 2
⇒
1
x0 y0
1, 0,
高考理数
§9.1 直线方程和两条直线的位置关系
知识清单
1.直线的倾斜角与斜率
名称 定义
求法
范围
倾斜角 当直线l与x轴相交时,x轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾 斜角. 当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾 斜角为 0°
解法一:构造三角形求角α;
0°≤α<180°
解法二:利用斜率求角α,即由k=tan α
两条直线平行 两条直线垂直
对于两条不重合的直线l1、l2,若其斜率分别为k1、k2,则有l1∥l2⇔ k1=k2
如果两条直线l1、l2的斜率分别为k1、k2,则有l1⊥l2⇔ k1·k2=-1
3.直线方程的几种形式
名称
条件
方程
点斜式 斜截式
斜率k与点(x0,y0) 斜率k与截距b
y-y0=k(x-x0) y=kx+b
即B'(1,0).
因为B'(1,0)在直线AC上, 所以直线AC的斜率为k= 1 0 = 1 ,
31 2
所以直线AC的方程为y-1= 1 (x-3),
2
即x-2y-1=0.故C正确. 答案 C 4-1 在直线l:3x-y-1=0上求一点P,使得: (1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大; (2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小. 解析 (1)设B关于l的对称点为B',AB'的延长线交l于P0,在l上另任取一点P,则|PA|-|PB|=|PA|-|PB'|< |AB'|=|P0A|-|P0B'|=|P0A|-|P0B|,则P0即为所求.
平面直角坐标系内的直 线都适用
4.两条直线的交点坐标
设两条直线的方程为l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则这两条直线的 交点坐标 就是方程组
A1x A2 x
B1 y C1 0, B2 y C2 0
的解.
(1)若方程组有唯一解,则这两条直线 相交 ,此解就是 交点坐标 ;
两点式
两点(x1,y1), (x2,y2)
x x1 x2 x1
=
距a与b
x
y
a
b
+ =1
一般式
Ax+By+C=0(A2+B2≠0)
适用范围 不含直线x=x0 不含垂直于x轴的直线 不含直线x=x1(x1≠x2)和 直线y=y1(y1≠y2)
不含垂直于坐标轴和过 原点的直线
(2)设C关于l的对称点为C',与(1)同理可得C'
3 5
,
24 5
.
连结AC'交l于P1,在l上另任取一点P,有|PA|+|PC|=|PA|+|PC'|>|AC'|=|P1C'|+|P1A|=|P1C|+|P1A|,故P1即
为所求.
又AC':19x+17y-93=0,
联立
19x 17 y 3x y 1
求α
斜率
一条直线的倾斜角α的 正切值 叫做这 解法一:由k=tan α(α≠90°)求k;
k∈R
条直线的斜率
解法二:由k=xy22
y1 x1
求k(其中(x1,y1),(x2
,y2)
分别是直线上两个不同点的坐标)
任何直线都有倾斜角,当倾斜角为90°时,斜率不存在. 2.两条直线的斜率与这两条直线平行、垂直的关系
k2 1
所以直线的倾斜角的取值范围是
0,
3
.
答案 B
方法2 两条直线的平行与垂直
1.判定两直线平行的方法 (1)判定两直线的斜率是否存在,若都存在,则化成斜截式,若k1=k2且b1≠b2,则两直线平行;若斜率 都不存在,还要判定两直线是否重合. (2)直接用以下方法,可避免对斜率是否存在进行讨论: 设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0, 则l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0. 2.判定两直线垂直的方法 (1)判定两直线的斜率是否存在,若存在,则化成斜截式,若k1·k2=-1,则两直线垂直;若一条直线的斜 率不存在,另一条直线的斜率为0,则两直线也垂直. (2)直接用以下方法,可避免对斜率是否存在进行讨论:设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0, 则l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.
解析 (1)由题意得 m2 8 n 0, ∴ m 1,
2m m 1 0, n 7.
(2)由m·m-8×2=0得m=±4. 由8×(-1)-n×m≠0得n≠∓2. 即当m=4,n≠-2或m=-4,n≠2时,l1∥l2. (3)当且仅当m·2+8·m=0,即m=0时,l1⊥l2.
又- n =-1,∴n=8,
①点关于直线的对称
若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,则线段P1P2的中点在对称轴l上,而且连结P1
P2的直线垂直于对称轴l,由方程组
A
x1
2
x2
B
y1
2
y2
C
0, 可得到点P1关于l对称的点P2的
A( y1 y2 ) B(x1 x2 ),
8
即m=0,n=8时,l1⊥l2且l1在y轴上的截距为-1.
方法3 距离问题
运用点到直线的距离公式时,需把直线方程化为一般式;运用两平行线间的距离公式时,需 先把两平行线方程中x,y的系数化为相同的形式.
例3 若动点A、B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小 值为 ( )
①若点M(x1,y1)与N(x,y)关于P(a,b)对称,则由中点坐标公式得
x y
2a 2b
x1, y1.
②若直线关于点对称,则在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两
点坐标,再由两点式求出直线方程,或者求出一个对称点,再利用l1∥l2,由点斜式得到所求直线方 程.
(2)轴对称
∵圆C:(x-1)2+(y-1)2=2的圆心为C(1,1),半径为 2 ,点C到直线l:x-y+4=0的距离为d= |11 4 | =2 2 ,
2
∴|AD|=|CD|-|AC|=2 2- 2= 2,故圆C上各点到l的距离的最小值为 2.
方法4 对称问题
对称包括中心对称和轴对称两种情形. 常见对称问题的求解方法: (1)中心对称