【练习】相似三角形的复习与一元二次方程的练习及预习

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相似三角形的复习与一元二次方程的练习
及预习
（满分100分，90分钟）
相似三角形复习
根底知识
1.相似三角形的概念：对应角相等、对应边的比相等的三角形叫做相似三角形。

2.相似比：相似三角形对应边的比，叫做相似三角形的相似比。

3．相似三角形的判定
①平行于三角形一边的直线和其它两边相交,所构成的三角形与原三角形相似．
DE∥BC ∴△ABC∽△ADE
②如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．
A A＇
B C
AB/A’Ｂ’＝AC/A’C’＝BC/B’C’ ∴△ABC∽△A’B’C’
③如果两个三角形的两组对应边的比相等并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．
A A’
B C B’ C’
AB/A’Ｂ’＝AC/A’C’ ∠A＝∠A’ ∴△ABC∽△A’B’C’
④如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． A A
B C B’ C’
∠A＝∠A’ ∠B＝∠B’ ∴△ABC∽△A’B’C’
4.性质：相似三角形的对应角相等；相似三角形对应边的比相等。

5.基本图形：
练习题
1、（2008广东）（10分）如图5，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC＝AC,∠ACB
的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连结EF.
（1）求证：EF∥BC.
（2）若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积.
2、（2008年杭州市）（10分）如图：在等腰△ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E,连接BP交AC于点F.
(1)证明：∠CAE=∠CBF;
(2)证明：AE=BF;
(3)以线段AE，BF和AB为边构成一个新的三角形ABG（点E与点F重合于点G），记△ABC
和△ABG的面积分别为S△ABC和S△ABG,如果存在点P,能使得S△ABC=S△ABG,求∠C的取之范围。

3、(2008 湖南怀化)（10分）如图10，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、
CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．
求证：（1）；
（2）
4、(2008 黑龙江)（10分）如图，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴，轴的正半轴上，
且满足．
（1）求点，点的坐标．
（2）若点从点出发，以每秒1个单位的速度沿射线运动，连结．设的面积为，点的运动时间为秒，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（3）在（2）的条件下，是否存在点，使以点为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．(2008年广东梅州市)（10）如图10所示，E 是正方形ABCD 的边AB 上的动点， EF ⊥DE 交BC 于点F ．
（1）求证： ADE ∽BEF ；
（2）设正方形的边长为4， AE=，BF=．当取什么值时， 有最大值?并求出这个最大值．
一元二次方程复习及预习
根底知识（注：加粗为预习内容）
1．一元二次方程的解法
(1)直接开平方法：根据平方根的意义，用此法可解出形如(a≥0)，(b≥0)类的一元二次方程．，则；，，．对有些一元二次方程，本身不是上述两种形式，但可以化为或的形式，也可以用此法解．
(2)因式分解法：当一元二次方程的一边为零，而另一边易分解成两个一次因式的积时，就可用此法来解．要清楚使乘积ab ＝0的条件是a ＝0或b ＝0，使方程x(x －3)＝0的条件是x ＝0或x －3＝0．x 的两个值都可以使方程成立，所以方程x(x －3)＝0有两个根，而不是一个根．
(3)配方法：任何一个形如的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一个二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来解的方程．如解时，可把方程化为，，即，从而得解．
注意：(1)“方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项系数是1． (2)解一元二次方程时，一般不用此法，掌握这种配方法是重点．
(4)公式法：一元二次方程(a≠0)的根是由方程的系数a 、b 、c 确定的．在的前提下，．用公式法解一元二次方程的一般步骤：
①先把方程化为一般形式，即(a≠0)的形式；
②正确地确定方程各项的系数a 、b 、c 的值(要注意它们的符号)； ③计算时，方程没有实数根，就不必解了(因负数开平方无意义)；
④将a 、b 、c 的值代入求根公式，求出方程的两个根．
说明：象直接开平方法、因式分解法只是适宜于特殊形式的方程，而公式法则是最普遍，最适用的方法．解题时要根据方程的特征灵活选用方法．
2．一元二次方程根的判别式
一元二次方程的根有三种情况：①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有实数根．而根的情况，由ac 4b 2
-的值来确定．因此ac 4b 2
-=∆叫做一元二次方程0c bx ax 2
=++的根的判别式．
△>0⇔方程有两个不相等的实数根． △＝0⇔方程有两个相等的实数根． △<0⇔方程没有实数根． 判别式的应用
(1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参数系数的性质确定根的范围； (3)解与根有关的证明题． 3．韦达定理及其应用
定理：如果方程0c bx ax 2
=++(a ≠0)的两个根是21x x ，，那么
a c
x x a b x x 2121=⋅-=+，．
应用：
(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；
(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知系数； (3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程； (4)已知两数和与积求两数． 4．一元二次方程的应用 (1)面积问题； (2)数字问题； (3)平均增长率问题． 步骤：
①分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系(包括隐含的)； ②设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数； ③找出相等关系，并用它列出方程； ④解方程求出题中未知数的值；
⑤检验所求的答数是否符合题意，并做答． 这里关键性的步骤是②和③．
注意：列一元二次方程应用题是一元一次方程解应用题的拓展，解题的方法是相同的，但因一元二次
方程有两解，要检验方程的解是否符合题意及实际问题的意义．
【经典例题精讲】 例1 解关于x 的方程0n )n m 2x 3(m x
22
=-+--．
分析：先将原方程加以整理，化成一元二次方程的一般形式，注意此方程为关于x 的方程，即x 为未知数，m ，n 为已知数．在确定0ac 4b 2
≥-的情况下，利用公式法求解．
解：把原方程左边展开，整理，得
0)n mn m 2(mx 3x 222=--+-．
∵a ＝1，b ＝－3m ，2
2
n mn m 2c --=，
∴
)n mn m 2(14)m 3(ac 4b 2222--⨯⨯--=- 0)n 2m (2≥+=．
∴
2
)n 2m (m 3x 2
++=
2)
n 2m (m 3+±=
．
∴
n m x n m 2x 21-=+=，．
注意：解字母系数的一元二次方程与解数字系数的一元二次方程一样，都要先把方程化为一般形式，确定a 、b 、c 和ac 4b 2
-的值，然后求解．但解字母系数方程时要注意：(1)哪个字母代表未知数，也就
是关于哪个未知数的方程；(2)不要把一元二次方程一般形式中的a 、b 、c 与方程中字母系数的a 、b 、c 相混淆；(3)在ac 4b 2
-开平方时，可能会出现两种情况，但根号前有正负号，已包括了这两种可能，因
此，
)n 2m ()n 2m (2
+±=+±． 例2 用配方法解方程x 73x 22
=+．
分析：解一元二次方程虽然一般不采用配方法来解，但配方法的方法本身重要，要记住． 解：x 73x 22
=+，
023x 27x 2=+-
，
234747x 27x 2
2
=+⎪⎭⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2， 162547x 2
=
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-， ∴
4547x ±=-
．
∴
21
x 3x 21=
=，．
注意：用配方法解一元二次方程，要把二次项系数化为1，方程左边只有二次项，一次项，右边为常数项，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边就配成了一个二项式的完全平方．
例3 已知方程06kx x 52
=-+的一个根是2，求另一根及k 的值．
分析：根据韦达定理
a c
x x a b x x 2121=
⋅-=+，易得另一根和k 的值．再是根据方程解的意义可
知x ＝2时方程成立，即把x ＝2代入原方程，先求出k 值，再求出方程的另一根．但方法不如第一种．
解：设另一根为2x ，则
56
x 25k x 222-
=⋅-=+，，
∴
53
x 2-
=，k ＝－7．
即方程的另一根为
53
-
，k 的值为－7．
注意：一元二次方程的两根之和为a b -
，两根之积为a
c ．
例4 利用根与系数的关系，求一元二次方程01x 3x 22
=-+两根的 (1)平方和；(2)倒数和．
分析：已知
21x x 23x x 2121-=⋅-=+，．要求(1)2
221x x +，(2)21x 1x 1+，
关键是把2
221x x +、21
x 1x 1+转化为含有2121x x x x ⋅+、的式子．
因为两数和的平方，等于两数的平方和加上这两数积的2倍，即
ab 2b a )b a (2
22++=+，所以ab 2)b a (b a 222-+=+，由此可求出(1)．同样，可用两数和与积表示两数的倒数和．
解：
(1)∵
21
x x 23x x 2121-
=⋅-=+，， ∴212
21222
1
x x 2)x x (x x -+=+
413
=
；
(2)211
221
x x x x x 1x 1+=+ ＝3．
注意：利用两根的和与积可求两根的平方和、倒数和，其关键是把平方和、倒数和变成两根的和与积，其变形的方法主要运用乘法公式．
例5 已知方程0m x 4x 22
=++的两根平方和是34，求m 的值．
分析：已知
34x x 2m x x 2x x 22212121=+=
⋅-=+，，，求
m 就要在上面三个式子中设法用
222
121x x x x ++和来表示21x x ，m 便可求出．
解：设方程的两根为21x x 、，则
2m
x x 2x x 2121=
⋅-=+，．
∵212
21222
1
x x 2)x x (x x -+=+，
∴
)x x ()x x (x x 2222122121+-+= ＝－30．
∵
2m
x x 21=
，
∴m ＝－30．
注意：解此题的关键是把式子
2221x x +变成含2121x x x x 、+的式子，从而求得m 的值． 例6 求一个一元二次方程，使它的两个根是2、10．
分析：因为任何一元二次方程都可化为(二次项系数为1)
0q px x 2
=++的形式．如设其根为21x x 、，根据根与系数的关系，得q x x p x x 2121=⋅-=+，．
将p 、q 的值代入方程0
q px x 2
=++中，即得所求方程0x x x )x x (x
21212
=⋅++-．
解：设所求的方程为
0q px x 2
=++． ∵2＋10＝－p ，2×10＝q ， ∴p ＝－12，q ＝20．
∴所求的方程为020x 12x 2
=+-． 注意：以
21x x 、为根的一元二次方程不止一个，但一般只写出比较简单的一个．
例7 已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数．
分析：把这两个数看作某个二次项系数为1的一元二次方程的两个根，则这个方程的一次项系数就应
该是－8，常数项应该是9，有了这个方程，再求出它的根，即是这两个数．
解：设这两个数为21x x 、，以这两个数为根的一元二次方程为0q px x 2=++．
∵
q x x p 8x x 2121=⋅-==+，，
∴方程为09x 8x 2
=+-． 解这个方程得74x 74x 21
-=+=，，
∴这两个数为7474-+和．
练习（根据前面的例题提示做题）
一 选择题（每小题3分，共24分）：
1．方程（m 2－1）x 2
＋mx －5＝0 是关于x 的一元二次方程，则m 满足的条件是…（ ） （A ）m ≠1 （B ）m ≠0 （C ）|m |≠1 （D ）m ＝±1 2．方程（3x ＋1）（x －1）＝（4x －1）（x －1）的解是………………………………………（ ） （A ）x 1＝1，x 2＝0 （B ）x 1＝1，x 2＝2 （C ）x 1＝2，x 2＝－1 （D ）无解
3．方程x x -=+65的解是……………………………………………………………（ ） （A ）x 1＝6，x 2＝－1 （B ）x ＝－6 （C ）x ＝－1 （D ）x 1＝2，x 2＝3
4．若关于x 的方程2x 2
－ax ＋a －2＝0有两个相等的实根，则a 的值是………………（ ） （A ）－4 （B ）4 （C ）4或－4 （D ）2 5．如果关于x 的方程x 2
－2x －
2
k
＝0没有实数根，那么k 的最大整数值是…………（ ）
（A ）－3 （B ）－2 （C ）－1 （D ）0
6．以
213+ 和 2
1
3- 为根的一个一元二次方程是………………………………（ ）
（A ）02132
=+-x x （B ）02
132=++x x （C ）0132
=+-x x （D ）02
132=-+x x
7．4x 2
－5在实数范围内作因式分解，结果正确的是……………………………………（ ） （A ）（2x ＋5）（2x －5） （B ）（4x ＋5）（4x －5） （C ）)5)(5(-+
x x （D ）)52)(52(-+x x
8．已知关于x 的方程x 2
－（a 2
－2a －15）x ＋a －1＝0的两个根互为相反数，则a 的值
是………………………………………………………………………………………（ ）
（A ）5 （B ）－3 （C ）5或－3 （D ）1 二 填空题（每空2分，共12分）：
1．方程x 2
－2＝0的解是x ＝ ；
2．若分式2
6
52-+-x x x 的值是零，则x ＝ ；
3．已知方程 3x 2
－ 5x －4
1
＝0的两个根是x 1
，x 2
，则x 1
＋x 2
＝
， x 1·x 2＝ ；
4．关于x 方程（k －1）x 2
－4x ＋5＝0有两个不相等的实数根，则k ；
5．一个正的两位数，个位数字比十位数大2，个位数字与十位数的积是24，则这个两位数是 ． 三 解下列方程或方程组（第１、２小题3分，第３小题8分，共14分）： 1．03232
=+-x x
（用公式法）
2．75
10101522=--+--x x x x （用换元法，设15
2--=x x y ）
３．.
5201222⎩⎨⎧=+=--+y x xy y x
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