3 有限差分法基础

尺度的比值。上式变为： u j
1 un un j j
t
c
n un j u j 1
x
o
(FTBS 格式)
当 c 0 为迎风格式 （2）仍然采用线性插值，但取 A、C 两点进行插值
uD u A
uC u A x ct 2x cr n 1 1 n un u n u j 1 u n j j 1 u j 1 j 1 2 2 1 1 n n un u n j j 1 u j 1 un j 1 u j 1 2 c 0 t 2x
—Lax 格式
（3）仍然采用线性拟合，采用 B、C 点外插：
un un uC uB j 1 j n 1 n ct u n cr u n un uD uP uB ct u j u j j j 1 j x x


2
（4）若设未知量 u 在 P 的领域满足二次曲线分布，即： u x ao a1 x a2 x
uD uB
uC u A u u 2u 2 ct A C 2 B ct ，即： 2x 2x
4
1 un un j j
ct 1 ct ct uB u A 1 u A 2uB uC x 2 x x ct n 1 ct ct n n n u j un j 1 1 u j 1 2u j u j 1 x 2 x x cr n cr 2 n n u u j 1 j 1 2 u j 1 2u nj u nj 1 2
n un j u j 1
FTBS：
t
1 un un j j
O(t ) c
x
n un j 1 u j
O(x) 0
O(t , x)
FTFS：
t
1 un un j j
O(t ) c
x
： …….
2 2 u t u u t ... ； 2 t 2 j t j n j 2 2 u x u u x ... 2 x 2 j x j n j 2 2 u x u u x ... 2 x 2 j x j n j n n n n n n
1 u Const 。因此： u n uD uP ，而 u P 的值不一定在整网格点上，其可以通过 P 点相邻 j
的节点值： u A u j 1 ， uB u j ， uC u j 1 插值得到。
t
n+1 n
j-1
x-ct=const
D
t
A
P
ct
j
B
j+1
3
C
x
（1）线性插值，取 A、B 两点进行插值
n
n
n
n
c 1 0 1 0 1 2x c 0 0 1 1 x c 0 1 1 1 2x

1 un un j j
t
o(t ) c
n un j 1 u j 1
3） 、多项式拟合法
du u u dx dt t x dt dx du u u dx u u 若设c c 0 u Const dt dt t x dt t x dx 特征线：c ，即 x ct Const ，即直线 PD 的斜率为 1/ c ；而对应的特征关系为 dt u u ( x, t )
1
一）差分方程的构造方法
1 un un u j j n n 微分方程 1u n L u 离散为差分方程 j 1 o u j 1u j 1 ... t t
1） 、直接差分离散
若微分方程为单波方程：
1 un un j j
u u c 0 t x
t: u
n 1 j
x: u
n j 1
u
n j 1
2
n n n n n n 2 2 2 2 2 u t u u x u u x u n n n ... 0u j 1 u j x 2 ... 1 u j x x j 2 x 2 j x j 2 x 2 j t j 2 t j
不失一般性，局部坐标原点处于 B 点，则 A、B、C 三点的 x 坐标分别为： x ，0，
x
a0 uB u A u j 1 a0 xa1 x 2 a2 u uA uB u j a0 a1 C 2x u u a xa x 2 a j 1 0 1 2 C u u 2u a2 A C 2 B 2x
2 1 1 2 2u u t u u n ... u x 2 1 0 1 j 1 1 1 1 x 2 ... 2 2 t j 2 t j x j x j
有限差分法理论基础目录一差分方程的构造方法二差分格式的修正方程式modifiedequations三差分近似解层间放大因子amplificationfactor161差分方程的相容性consistency162差分方程的稳定性stability173差分方程的收敛性convergence194数值耗散dissipation和数值频散dispersion性质205差分方程的守恒性conservativeness206差分方程的单调性质monotonicity22五差分方程稳定性分析方法251修正的差分方程耗散项252离散扰动的稳定性分析263矩阵法谱分析法274von
t
O(t ) c
n un j 1 u j 1
2x
O(x 2 ) 0
O(t , x 2 )
给定初始条件， 即 ui , i 0 ~ N ， 及其边界条件 （波动方程一般设为周期性边界条件） ，
0
即可通过差分方程递推任意时刻的 u。
2） 、待定系数离散化方法
1 un un u j j n n 1 n 1u n un u j 1 o u j 1u j 1 j j t t t
2x
o(
x3 x 2 ) x
时间一阶精度、空间二阶精度。
1 un un u u 2u 3u j j n n 1u n a b 2 c 3 j 1 o u j 1u j 1 ...... t t x x x
若离散的精度越高，或右端项的阶数越高，则需要的点越多。
有限差分法理论基础
目录
一）差分方程的构造方法 ........................................................................................... 2 1）、直接差分离散 ................................................................................................. 2 2）、待定系数离散化方法 ..................................................................................... 2 3）、多项式拟合法 ................................................................................................. 3 4）、分裂差分算子的离散化方法 ......................................................................... 5 二）差分格式的修正方程式 （Modified Equations）.............................................. 6 三）差分近似解层间放大因子（Amplification Factor） .......................................... 9 四）差分方程的基本性质 ......................................................................................... 16 1）、差分方程的相容性（consistency） ............................................................ 16 2）、差分方程的稳定性(stability） ..................................................................... 17 3）、差分方程的收敛性（convergence） .......................................................... 19 4）、数值耗散(Dissipation)和数值频散(Dispersion)性质 ................................... 20 5）、差分方程的守恒性(conservativeness) ......................................................... 20 6）、差分方程的单调性质(monotonicity) ........................................................... 22 五）差分方程稳定性分析方法 ................................................................................. 25 1）、修正的差分方程耗散项 ............................................................................... 25 2）、离散扰动的稳定性分析 ............................................................................... 26 3）、矩阵法（谱分析法） ................................................................................... 27 4）、Von. Neumann 稳定性分析方法 .................................................................. 29 5）、Hirt 的稳定性分析方法 ................................................................................ 31
n un uB u A j u j 1 n 1 n uD uP u A x PB u j u j 1 x at x BA


记 Cr
ct ，称为库朗数。表征在一个时间步长（ t ）内，波传播的距离与特征网格 x
n 1 n n n n 1 cr u n j cr u j 1 u j cr (u j u j 1 ) ，也即：