2022年初中数学《平行线的性质》精品教案(公开课)

5.3.1 平行线的性质
教学目标
【知识与技能】
1.掌握平行线的性质定理.
2.综合运用平行线的判定及性质进行简单的证明或计算.
【过程与方法】
1.经历猜想、实践、探究不难得到平行线的性质定理.在此根底上，结合前节的知识，进行简单的证明或计算.
2.培养学生逆向思维的能力.
【情感态度】
培养学生逆向思维的能力.
教学重难点
【教学重点】
掌握平行线的性质定理，综合运用平行线的判定及性质进行简单的证明或计算.
【教学难点】
综合运用平行线的判定及性质进行简单的证明或计算.
课前准备
无
教学过程
一、情境导入，初步认识
问题利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行.反过来，如果两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢？
二、思考探究，获取新知
可将上述问题细化：
1.如图，直线a∥b,直线a,b被直线c所截.
〔1〕请填表：
〔2〕如果a与b不平行，∠1与∠2还有以上关系吗？
〔3〕通过〔1〕〔2〕的探究，你能得到什么结论？
2.如图，直线a∥b,那么∠3与∠2相等吗？为什么？∠3与∠4互补吗？
思考1.你能根据以上探究，归纳出平行线的三个性质定理吗？
2.平行线的性质定理与相应的判定定理是怎样的关系？
【归纳结论】1.平行线的性质：
性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等.
性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等.
性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补.
2.平行线的性质定理与相应的判定定理的局部和结论局部正好相反，它们是互逆关系.
三、运用新知，深化理解
1.如图，AB∥CD，AD∥BC，∠A与∠C有怎样的大小关系，为什么？
∥CD,直线EF分别交AB，CD于M，N，MP平分∠EMA，NQ平分∠MNC，那么MP∥NQ，为什么？
3.将两张矩形纸片如下列图摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一条边上，那么∠1+∠2=_____.
第3题图第4题图
4.如图，AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，那么∠BCD=_____.
5.(江西中考)一大门的栏杆如下列图，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，那么∠ABC+∠BCD=_____度.
【教学说明】题1、2可让学生独立思考完成.题3、4可让同学们分组讨论、交流，有困难时，教师给予提示指导，如何作辅助线.题5与生活实际联系，让学生拓展思维.
【答案】1.解：∠A=∠C，理由如下：
AB∥CD，∠A与∠D为同旁内角，
即∠A+∠D=180°；
AD∥BC，∠D与∠C为同旁内角，
即∠D+∠C=180°.
所以∠A+∠D=∠D+∠C，即∠A=∠C.
2.解：AB∥CD，∠EMA与∠MNC为同位角，即∠EMA=∠MNC.
MP平分∠EMA，NQ平分∠MNC，那么∠EMP=1
2
∠EMA，∠MNQ=
1
2
∠MNC.
所以∠EMP=∠MNQ，那么MP∥NQ.
°解析：如图，经点F作AB的平行线，那么∠1与∠3，∠2与∠4为内错角.
根据平行线的性质得∠1=∠3，∠2=∠4，所以∠1+∠2=∠3+∠4=∠EFH=90°.
°解析：如图，过点C作GH∥DE.
所以∠DCH+∠CDE=180°〔两直线平行，同旁内角互补〕.
因为∠CDE=140°〔〕，
所以∠DCH=180°-∠CDE=40°.
又因为AB∥DE〔〕，
所以AB∥GH〔如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行〕.
所以∠ABC=∠BCH〔两直线平行，内错角相等〕.
因为∠ABC=80°〔〕，
所以∠BCH=80°〔等量代换〕.
所以∠BCD=∠BCH-∠DCH=40°.
5.270 解析:如图，过B作BG∥CD，那么∠CBG+∠BCD=180°，∠ABG=90°，于是可得∠ABC+∠BCD=90°+180°=270°.
四、师生互动，课堂小结
平行线的性质：
1.两直线平行，同位角相等.
2.两直线平行，内错角相等.
3.两直线平行，同旁内角互补.
在有关图形的计算和推理中，常见一类“折线〞“拐角〞型问题，解决这类问题的方法是：经过拐点作平行线，沟通角和未知角的联系，从而化“未知〞为“可知〞，这种方法应熟练掌握，如“〞“〞“〞型要引起注意.
课后作业
1.布置作业：从教材“〞中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.
教学反思
这节课比较成功的地方是：①对教学的方式进行了一定的尝试，注重学生的分析能力，启发学生用不同方法解决问题.②尽量锻炼学生使用标准性的几何语言.缺乏的是师生之间的互
动配合和默契程度有待加强.
1．4二次函数与一元二次方程的联系
1．通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系，会用二次函数图象求一元二次方程的近似解；(重点)
2．通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形结合思想的应用．(难点)
一、情境导入
小唐画y＝x2－6x＋c的图象时，发现其顶点在x轴上，请你帮小唐确定字母c的值是多少？
二、合作探究
探究点一：二次函数与一元二次方程的联系
【类型一】二次函数图象与x轴交点情况的判断
以下函数的图象与x轴只有一个交点的是()
A．y＝x2＋2x－3 B．y＝x2＋2x＋3
C ．y ＝x 2－2x ＋3
D ．y ＝x 2－2x ＋1
解析：选项A 中b 2－4ac ＝22－4×1×(－3)＝16＞0，选项B 中b 2－4ac ＝22－4×1×3＝－8＜0，选项C 中b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，选项D 中b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×1＝0，所以选项D 的函数图象与x 轴只有一个交点．应选D.
变式训练：见《 》本课时练习“课后稳固提升〞第1题
【类型二】 利用函数图象与x 轴交点情况确定字母的取值范围
(2021·武汉模拟)二次函数y ＝kx 2－6x ＋3的图象与x 轴有交点，那么k 的取值范围
是( )
A ．k <3
B ．k <3且k ≠0
C ．k ≤3
D ．k ≤3且k ≠0
解析：∵二次函数y ＝kx 2－6x ＋3的图象与x 轴有交点，∴方程kx 2－6x ＋3＝0(k ≠0)有实数根，即Δ＝36－12k ≥0，k ≤3.由于是二次函数，故k ≠0，那么k 的取值范围是k ≤3且k ≠D.
方法总结：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当b 2－4ac ＞0时，图象与x 轴有两个交点；当b 2
－4ac ＝0时，图象与x 轴有一个交点；当b 2－4ac ＜0时，图象与x 轴没有交点．
变式训练：见《 》本课时练习“课堂达标训练〞第4题
【类型三】利用抛物线与x 轴交点坐标确定一元二次方程的解
(2021·苏州中考)假设二次函数y ＝x 2＋bx 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y
轴的直线，那么关于x 的方程x 2＋bx ＝5的解为( )
A.⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，x 2＝4
B.⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝5
C.⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝－5
D.⎩
⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，x 2＝5 解析：∵对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，∴－b
2
＝2，解得bx 2－4x ＝5，解
得x 1＝－1，x 2D.
方法总结：此题容易出错的地方是不知道二次函数的图象与一元二次方程的解的关系导致无法求解．
变式训练：见《 》本课时练习“课堂达标训练〞第1题 探究点二：用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
利用二次函数的图象求一元二次方程－x 2＋2x －3＝－8的实数根(精确到0.1)． 解析：对于y ＝－x 2＋2x －3，当函数值为－8时，对应点的横坐标即为一元二次方程－x 2＋2x －3＝－8的实数根，故可通过作出函数图象来求方程的实数根．
解：在平面直角坐标系内作出函数y ＝－x 2＋2x －3的图象，如图．由图象可知方程－x 2＋2x －3＝－8的根是抛物线y ＝－x 2＋2x －3与直线y ＝－8的交点的横坐标，左边的交点横坐标在－1与－2之间，另一个交点的横坐标在3与4之间．
(1)先求在－2和－1之间的根，利用计算器进行探索：
x
y
因此x (2)x
y
x ≈3.4是方程的另一个实数根．
方法总结：用二次函数的图象求一元二次方程满足精确度的实数根的方法：(1)作出函数的图象，并由图象确定方程解的个数；(2)由图象与y ＝h 的交点的位置确定交点横坐标的取值范围；(3)利用计算器求方程的实数根．
变式训练：见《 》本课时练习“课堂达标训练〞第8题 探究点三：二次函数与一元二次方程在运动轨迹中的应用
某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，球出手时距地面20
9
米，
与篮框中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮框距地面3米．
(1)建立如下列图的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？ (2)此时，假设对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，，那么他能否获得成功？
解析：这是一个有趣的、贴近学生日常生活的应用题，由条件可得到出手点、最高点(顶点)和篮框的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的关键就是判断代表篮框的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x ＝1时函数y 的值与最大摸高3.1米的大小．
解：(1)由条件可得到出手点、最高点和篮框的坐标分别为A (0，20
9
)，B (4，4)，C (7，3)，
其中B 是抛物线的顶点．
设二次函数关系式为y ＝a (x －h )2＋k ，将点A 、B 的坐标代入，可得y ＝－1
9
(x －4)2＋4.
将点C 的坐标代入上式，得左边＝3，右边＝－1
9
(7－4)2＋4＝3，左边＝右边，即点C
在抛物线上．所以此球一定能投中；
(2)将x ＝1代入函数关系式，得y ＝3.因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功． 变式训练：见《 》本课时练习“课后稳固提升〞第7题 三、板书设计
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，通过观察二次函数与x 轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，体会知识间的相互转化和相互联系.。