2022年中考数学总复习热点专题突破 专题四 化“斜”为“直”docx

专题四化“斜”为“直”
化“斜”为“直”,通常在解直角三角形时用这种方法较多,即通过作垂线或平行线把斜三角形转化为直角三角形,通过解直角三角形达到解斜三角形的目的.其实化“斜”为“直”的方法还可以广而推之,用它来解决其他的数学问题也很有效.
当然,化“斜”为“直”仍是转化思想的一种具体应用.因为我们平时储备的有关直角三角形的知识和方法较多,通过作垂线或平行线“构造”出直角三角形,把我们相对不熟悉的问题转化为熟知的问题,这样做必然利于解题.安徽中考中这类试题几乎每年都能遇到,如2017年第17题,2018年第19题,2020年第18题,2021年第17题等.
目录
类型1解直角三角形中化“斜”为“直”
类型2平面直角坐标系中化“斜”为“直”
类型3其他几何问题中化“斜”为“直”
类型1解直角三角形中化“斜”为“直”
典例1如图,小明从B处测得广告牌顶端A的仰角为45°,从C处测得广告牌底部D的仰角为30°.已知CE=10 m,BC=2 m,求广告牌的高度AD.(结果保留两位小数,参考数
据:≈1.414,≈1.732)
【答案】过点B作BF⊥AD,交AD的延长线于点F.
在Rt△ABF中,∠ABF=45°,BF=10,∴AF=10.
在Rt△DCE中,∠DCE=30°,CE=10,
∴DE=CE·tan 30°=,
∴AD=AF+EF－DE=10+2－≈6.23(m).
答:广告牌的高度AD约为6.23 m.
类型2平面直角坐标系中化“斜”为“直”
典例2如图,一次函数y=kx+4的图象与坐标轴相交于A(6,0),B两点,二次函数
y=ax2+bx的图象经过点A,且它的顶点C在一次函数y=kx+4的图象上.
(1)求二次函数的表达式;
(2)若D(m,n)是二次函数图象OC段的一个动点,连接OD,CD,设四边形ODCA的面积为S,求S关于m 的函数关系式,并求当m为何值时,S的值最大.
【答案】(1)把点(6,0)代入y=kx+4,解得k=－,
∴一次函数的表达式为y=－x+4.
∵二次函数的图象经过点A(6,0)和原点(0,0),∴二次函数的图象的顶点C的横坐标为3.
又∵点C在一次函数的图象上,∴点C的坐标为(3,2).
把点A(6,0),C(3,2)代入y=ax2+bx,得
∴二次函数的表达式为y=－x.
(2)过点D作DE⊥x轴,过点C作CF⊥x轴,垂足分别为E,F,可得OE=m,DE=n,EF=3－m,CF=2,AF=3, ∴S=S△ODE+S梯形CDEF+S△
=n－m+6.
ACF
∵点D(m,n)在二次函数y=－x的图象上,
∴n=－m,
∴S=－.
∵－时,S的值最大.
在平面直角坐标系中,通过作两个坐标轴的垂线(或平行线)把位置是“斜”的图形转化为位置“平直”的图形,在解题中可以实现事半功倍的效果.
类型3其他几何问题中化“斜”为“直”
典例3(2020·合肥庐阳区二模)如图,水渠两边AB∥CD,一条矩形竹排EFGH斜放在水渠中,∠AEF=45°,∠EGD=105°,竹排宽EF=2米,求水渠宽.
【答案】过点F作FP⊥AB于点P,延长PF交CD于点Q,则FQ⊥CD.
∵在Rt△FPE中,∠AEF=45°,EF=2,
∴PF=EF·sin 45°=.
∵AB∥CD,∴∠AEG=∠EGD=105°,
∴∠GEF=∠AEG－∠AEF=105°－45°=60°.
∵四边形EFGH为矩形,∴∠EGF=30°,
∴GF=EF·tan 60°=2.
∵∠CGF=180°－105°－30°=45°,
∴在Rt△FQG中,FQ=FG·sin 45°=,
∴PQ=PF+FQ =()米.
答:水渠宽为()米.
针对训练
1.如图,要在宽为22米的九洲大道AB两边安装路灯,路灯的灯臂CD长为2米,且与灯柱BC成120°角,路灯采用圆锥形灯罩,灯罩的中轴线DO与灯臂CD垂直,当灯罩的中轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳.此时,路灯的灯柱BC的高度应该设计为( D )
A.(11－2)米
B.(11－2)米
C.(11－2)米
D.(11－4)米
【解析】过点D作DE⊥AB,交AB于点E,过点C作CF⊥DE,交DE于点F.∵∠DCB=120°,CB⊥AB,OD ⊥CD,∴∠DOB=360°－∠DCB－∠CBO－∠ODC=360°－120°－90°－90°=60°,∠DCF=30°,∴CF=CD·cos
30°=2×
－4.
2.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边AD,CD上,AF,BE相交于点G.若AE=3ED,DF=CF,则的值是( C )
A.B.C.D.
【解析】过点F作FN∥AD,交AB于点N,交BE于点M.∵四边形ABCD是正方形,∴易得四边形ANFD 是矩形.∵AE=3ED,∴设ED=a,则AE=3a,AD=AB=CD=FN=4a,AN=DF=2a.∵AN=BN,MN∥AE,∴
BM=ME,MN=.
3.如图,在△ABC纸片中,∠C=90°,AC=3,BC=4,在△ABC纸片中剪取一个△DEF,使得∠
EDF=90°,DE=2DF,且D,E,F分别在AB,AC,BC边上,则AD的长为( A )
A.3
B.4
C.
D.
【解析】过点D分别作DP⊥AC于点P,作DQ⊥BC于点Q.易得△DPE∽△DQF,∴
=5,∴AD=3.
4.如图,在菱形ABCD中,P为对角线AC上一点.若AB=4,PA=5,PC=2,则PB的长为( D )
A. B. C. D.
【解析】连接BD,交AC于点O,易得BD垂直平分AC.∵AC=7,∴
AO=
.
5.如图,等腰Rt△DEF的斜边中点O与等腰Rt△ABC的斜边的中点重合,D,E两点分别在AB,BC上.若AB=4,AD=1,则△DEF的面积为5.
【解析】连接CF,易证△AOD≌△COF,∴∠FCO=∠A=45°,∴∠FCE=90°.∵∠DEB+∠FEC=90°,∠DEB+∠BDE=90°,∴∠BDE=∠FEC.又∵DE=EF,∴Rt△BDE≌Rt△CEF,∴BD=EC.∵AB=4,AD=1,
∴BD=3,BE=1,∴DE==5.
6.某地铁站口的垂直截面图如图所示.已知∠A=30°,∠ABC=75°,AB=BC=4米,求点C到地面AD的距离.(结果保留根号)
解:如图,过点B作BE⊥AD于点E,BF∥AD,过点C作CF⊥BF于点F.
在Rt△ABE中,∵∠A=30°,AB=4,
∴BE=2.
∵BF∥AD,∴∠ABF=∠A=30°,
∴∠CBF=∠ABC－∠ABF=75°－30°=45°,
∴在Rt△CBF中,CF=BC·sin 45°=2,
∴点C到地面AD的距离为(2+2)米.
7.(2021·合肥包河区三模)如图,AB是☉O的直径,C为☉O上一点,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点P,过点A作AD⊥PC的延长线于点D, AD与☉O交于点E.
(1)求证:AC平分∠DAP;
(2)若AB=10,sin ∠CAB=,求DE的长.
解:(1)连接OC.
∵PC为☉O的切线,∴OC⊥PC.
又∵AD⊥PC,∴OC∥AD,∴∠DAC=∠OCA.
∵∠OCA=∠OAC,∴∠DAC=∠OAC,
∴AC平分∠DAP.
(2)由(1)知∠DAC=∠CAB.
∵AB是☉O的直径,C为☉O上一点,∴∠ACB=90°.
∴∠ADC=∠ACB,
∴△ADC∽△ACB,∴.
在Rt△ABC中,∵AB=10,sin ∠CAB=,∴BC=4,
∴AC2=AB2－BC2=84,∴AD=,
∴CD2=AC2－AD2=.
连接CE,BE.
∵AB是☉O的直径,∴∠AEB=90°.
∵∠ADC=90°,∴BE∥CD,∴∠DCE=∠BEC.
∵∠BEC=∠DAC,∴∠DCE=∠DAC,
∴△CDE∽△ADC,∴,
∴DE=.
8.如图,一次函数y1=ax+b分别与x轴、y轴交于A(2,0),B(0,2)两点,与反比例函数y2=(x>0)的图象交于C,D两点,已知AB=2CD.
(1)求一次函数y1=ax+b和反比例函数y2=(x>0)的表达式;
(2)试比较y1,y2的大小.
解:(1)将A,B两点的坐标代入y1=ax+b,易得一次函数的表达式为y1=－x+2,则△AOB是等腰直角三角形,AB=2.
∵AB=2CD,∴CD=.
分别作CE⊥y轴于点E,DF⊥x轴于点F,CE,DF交于点G.
易得△CDG是等腰直角三角形,CG=DG=1,设点D的坐标为(t,－t+2),则点C的坐标为(t+1,－t+1).
∵点D,C均在反比例函数y2=(x>0)的图象上,
∴t(－t+2)=(t+1)(－t+1),解得t=,
∴点D的坐标为,
∴反比例函数y2=(x>0).
(2)∵点C的坐标为,
∴当时,y1>y2;
当x=时,y1=y2;
当0<x<时,y1<y2.
9.已知P为平行四边形ABCD内一点,分别连接PA,PB,PC,PD.
(1)如图1,若PA=AD,∠DAP=∠DCP=90°,求∠ABP的度数;
(2)如图2,设△PAB的面积,△PBC的面积,△PCD的面积,△PAD的面积分别为S1,S2,S3,S4,求证:S1+S3=S2+S4;
(3)如图3,若∠ABP=∠ADP,求证:∠PAB=∠PCB.
解:(1)延长CP交AB于点E.
∵四边形ABCD为平行四边形,∴∠BAD=∠BCD,
∴∠BAP=∠BCE,AD=BC=PA,∴△APE≌△CBE,
∴BE=EP,即∠ABP=45°.
(2)过点P作AB的平行线分别交AD,BC于点E,F,作BC的平行线分别交AB,CD于点M,N.易得四边形AMPE、四边形BMPF、四边形CNPF、四边形DNPE均为平行四边形,
∴△AMP≌△PEA,△BMP≌△PFB,△CPF≌△PCN,△DNP≌△PED.
∵S1=S△AMP+S△BMP,S3=S△DNP+S△PCN,
S2=S△PFB+S△CPF,S4=S△PEA+S△PED,
∴S1+S3=S2+S4.
(3)过点P作AB的平行线分别交AD,BC于点E,F.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC=∠ADC.
∵∠ABP=∠ADP,∴∠CBP=∠CDP=∠EPD.
∵∠PFB=∠PED,∴△PFB∽△DEP,∴.
∵DE=CF,FB=AE,∴.
又∵∠AEP=∠PFC,∴△AEP∽△PFC,
∴∠PCB=∠EPA=∠PAB,∴∠PAB=∠PCB.。