中考数学复习重难点专项突破训练专题17 二次函数中几何存在性的问题(重点突围)(教师版)

x
2
，顶点坐标为
2,
27 5
；
（3）解：∵点 B 5,0 ， C0,3，
∴ OB 5,OC 3 ，
∴ BC OB2 OC2 34 ，
当 PC BC 34 时，
若点 P 在 x 轴上，点 P 与点 B 关于 y 轴对称，
∴此时点 P 的坐标为 5, 0 ；
若点 P 在 y 轴上， OP PC OC 34 3 或 OP PC OC 34 3 ，
把点 A1, 0 ， B 5,0 ， C0,3代入得：
a b c 0
a
3 5
25a 5b c 3
c
0
，解得：
b c
12 5
3
，
∴抛物线的解析式为 y 3 x2 12 x 3 ； 55
（2）解：∵ y 3 x2 12 x 3 3 x 22 27 ，
55
5
5
∴抛物线的对称轴为直线
34 5, 0 或
34 5, 0
或
0,
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3
或
8 5
,
0
或
0,
8 3
．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，还涉及了求二次函数的解析式，等腰三角形的性质，勾股定
理，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023 秋·陕西商洛·九年级校考期末）如图，已知抛物线 y ax2 bx 4（ a 0 ）与 x 轴交于 A1, 0 ，B 2, 0
专题 17 二次函数中几何存在性的问题
【中考考向导航】
目录 【直击中考】 .......................................................................................................................................... 1
【考向一 二次函数中构成等腰三角形存在性问题】 ..........................................................................1 【考向二 二次函数中构成直角三角形存在性问题】 ..........................................................................8 【考向三 二次函数中构成三角形相似存在性问题】 ........................................................................ 16 【考向四 二次函数中构成矩形存在性问题】 .................................................................................. 23 【考向五 二次函数中构成菱形存在性问题】 .................................................................................. 33 【考向六 二次函数中构成正方形存在性问题】 ............................................................................... 42
∴此时点 P 的坐标为 0,3 ；
当 PB PC 时， 若点 P 在 x 轴上，连接 CP ，如图，
设点 P 的坐标为 m,0 ，则 OP m ，
∴ PB PC 5 m ， 在 RtCOP 中， OP2 OC2 PC2，
∴ m2 32 5 m2 ，
解得：
m
8 5
，
∴此时点
P
的坐标为
,
27
16
89
或
3
8
89
,
27
16
89
【分析】（1）将点 A1, 0 ， B 2, 0 代入解析式，待定系数法求解析式，进而令 x 0 ，得出点 C 的坐标；
∴此时点 P 的坐标为 0, 34 3 或 0, 34 3 ；
当 PB BC 34 时， 若点 P 在 x 轴上， OP BP OB 34 5或 OP BP OB 34 5，
∴此时点 P 的坐标为 34 5,0 或 34 5,0 ；
若点 P 在 y 轴上，点 P 与点 B 关于 x 轴对称，
8 5
,
0
；
若点 P 在 y 轴上，连接 BP ，如图，
设点 P 的坐标为 0, n ，则 OP n ，
∴ PB PC 3 n ， 在 Rt△ BOP 中， OP2 OB2 PB2 ，
∴ n2 52 3 n2 ，
解得：
n
8 3
，
∴此时点
P
的坐标为
0,
8 3
；
综上所述， 5,0 或 0, 34 3 或 0, 34 3 或
明理由；
【答案】(1)
y
3 5
x2
12 5
x
3
(2)直线
x
2
，
2,
27 5
(3) 5,0 或 0, 34 3 或 0, 34 3 或
34 5, 0 或
34 5, 0
或
0,
3
或
8 5
,
0
或
0,
8 3
【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）把抛物线解析式化为顶点式，即可求解； （3）分三种情况：当 PC BC 34 时，当 PB BC 34 时，当 PB PC 时，即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为 y ax2 bx c，
【直击中考】 【考向一 二次函数中构成等腰三角形存在性问题】
例题：（2022 秋·青海西宁·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 x 轴交于 A1, 0 ，B 5, 0
两点，与 y 轴交于点 C0,3．
(1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的对称轴及顶点坐标
(3)在坐标轴是否存在一点 P ．使得 PCB 是等腰三角形，若存在，请直接写出点 P 的坐标，若不存在，请说
两点，与 y 轴交于点 C ．
(1)求抛物线的解析式及点 C 的坐标； (2)若 F 为抛物线上一点，连接 BC ，是否存在以 BC 为底的等腰△BCF ？若存在，请求出点 F 的坐标；若不 存在，请说明理由．
【答案】(1) y 2x2 2x 4 ； C0,4
(2)存在，点
F
的坐标为
3
8
89