电路 第9章复习
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o
+
R
ɺ IL
C
P L C= (tgφ1 − tgφ2 ) 2 ωU 10×103 (tg53.13 − tg25.84 ) = 557µ F = 2 314×220 P 10×103 未并电容时： 未并电容时： I = IL = = = 75.8A U cosϕ1 220×0.6 P 10×103 并联电容后： 并联电容后： I = = = 50.5A U cosϕ2 220×0.9
Z2 = R2 + jωL = 10 + j157 Ω
Z = Z1 + Z2 = 92.11− j289.13 + 10 + j157 = 102.11− j132.13 = 166.99∠ − 52.3 Ω
ɺ I1
+ ɺ U _
ɺ I2 R1
1 ɺ I3 − j ωC
R2
jωL ω
Z1
Z2
ɺ U 100∠0 ɺ I1 = = = 0.6∠52.3 A Z 166.99∠− 52.3
3. 无功功率 (reactive power) Q
Q = UI sinφ
def
Q = UI sinφ = I 2 Z sinϕ = XI 2
表示交换功率的最大值，单位：var (乏)。 表示交换功率的最大值，单位： 乏。 Q>0，表示网络吸收无功功率；Q<0，表示网络发出无功功率 ，表示网络吸收无功功率； ， Q 的大小反映网络与外电路交换功率的大小。是由储能元件 、 的大小反映网络与外电路交换功率的大小。是由储能元件L、 C的性质决定的 的性质决定的
并联电容也可以用功率三角形确定： 并联电容也可以用功率三角形确定： QC
ϕ1 ϕ2
P
Q
Q = QL − QC = P(tgφ1 − tgφ2 ) QC = ωCU2 QL ∴ C = P 2 (tgφ1 − tgφ2 ) ωU
从功率这个角度来看 :
并 联 电 容 后 ， 电 源 向 负 载 输 送 的 有 功 UIL cosϕ1=UI cosϕ2 不变 ， 但是电源向负载输送的无功 不变， UIsinϕ2<UILsinϕ1 减少了 ， 减少的这部分无功就由电 减少了， 产生”来补偿，使感性负载吸收的无功不变， 容“产生”来补偿，使感性负载吸收的无功不变，而 功率因数得到改善。 功率因数得到改善。
结论
1. 引入相量法，把求正弦稳态电路微分方程的特解 引入相量法， 问题转化为求解复数代数方程问题。 问题转化为求解复数代数方程问题。 引入电路的相量模型，不必列写时域微分方程， 2. 引入电路的相量模型，不必列写时域微分方程， 而直接列写相量形式的代数方程。 而直接列写相量形式的代数方程。 引入阻抗以后， 3. 引入阻抗以后，可将所有网络定理和方法都应用 于交流，直流（ 是一个特例。 于交流，直流（f =0)是一个特例。
S=
S
P +Q
2
2
ɺ UR _ +
ϕ
P
Q
Z
ϕ
R
X
U
ϕ
UR
UX
º + ɺ U _ º
R
+ ɺ UX _
X
功率三角形
阻抗三角形
电压三角形
6. 功率因数提高
S 负载 75kVA
P=UIcosϕ=Scosϕ ϕ cosϕ =1, P=S=75kW cosϕ =0.7, P=0.7S=52.5kW
额定) 设备容量 S (额定)向负载送多少 有功要由负载的阻抗角决定。 有功要由负载的阻抗角决定。 空载cosϕ =0.2~0.3 满载cosϕ =0.7~0.85
一般用户： 一般用户： 异步电机 日光灯 功率因数低带来的问题： 功率因数低带来的问题：
cosϕ =0.45~0.6
设备不能充分利用，电流到了额定值，但功率容量还有； (1) 设备不能充分利用，电流到了额定值，但功率容量还有； (2) 当 输 出 相 同 的 有 功 功 率 时 ， 线 路 上 电 流 大
视在功率S 4. 视在功率
S = UI
反映电气设备的容量。 反映电气设备的容量。
def
单位 : VA (伏安)
有功，无功，视在功率的关系： 有功，无功，视在功率的关系： 有功功率: 有功功率: P=UIcosϕ 无功功率: 无功功率: Q=UIsinϕ 视在功率: 视在功率: S=UI 单位： 单位：W 单位： 单位：var 单位： 单位：VA
阻抗的阻抗角。 阻抗的阻抗角。
cos ϕ ：功率因数。 功率因数。
cosϕ
1, 纯电阻 0， 纯电抗 ，
≤cos ≤1 一般地 , 有 0≤ ≤ ϕ≤ X<0, ϕ <0 , 容性
2 2
X>0, ϕ >0 , 感性
P = UI cosφ = I Z cosϕ = RI
平均功率实际上是电阻消耗的功率， 亦称为有功功率 。 平均功率实际上是电阻消耗的功率 ， 亦称为有功功率。 表示电路实际消耗的功率， 它不仅与电压电流有效值有关， 表示电路实际消耗的功率 ， 它不仅与电压电流有效值有关， 有关，这是交流和直流的很大区别, 而且与 cosϕ 有关 ， 这是交流和直流的很大区别 , 主要由 于电压、电流存在相位差。 于电压、电流存在相位差。
p(t) = UI[cosφ + cos(2ωt − φ)]
p
u i 有时为正, • p有时为正 有时为负； 有时为正 有时为负； 电路吸收功率： UIcosϕ • p>0, 电路吸收功率： • p<0，电路发出功率； ，电路发出功率；
O
ωt
UIcos(2ω t－ϕ )
第二种分解方法： 第二种分解方法： p(t ) = UI cosφ(1 + cos2ωt) +UI sinϕ sin2ωt UIcosϕ (1＋cos2ω t) UIcosϕ(1＋cos2ω t)为不可逆分量。 为不可逆分量。 为不可逆分量 UIsinϕ sin2ω t为可逆分量。 为可逆分量。 为可逆分量 O
已知： 例1: 已知：R1 = 1000Ω , R2 = 10Ω , L = 500mH , C = 10µF , 各支路电流。 U = 100V , ω = 314rad / s , 求:各支路电流。 R1 i2 i1 i3 + _ u L C R2
ɺ I1
+ ɺ U _
ɺ I2 R1
ɺ I3
−j
1 ωC
R2
jωL ω
Z1
Z2
解
画出电路的相量模型 R1(− j 1 ) 1000×(− j318.47) 318.47×103 ∠ − 90 ωC = Z1 = = 1000 − j318.47 1049.5∠−17.7 R1 − j 1 ωC = 303.45∠ − 72.3 = 92.11− j289.13 Ω
p(t ) = ui = 2U cosωt ⋅ 2I cos(ωt − φ)
第一种分解方法； 第一种分解方法； = UI[cosφ + cos(2ωt − φ)] = UI cosφ(1 + cos2ωt ) +UI sinϕ sin2ωt 第二种分解方法。 第二种分解方法。
第一种分解方法： 第一种分解方法：
−j1 ωC I = − j318.47 ×0.6∠52.3 = 0.181∠− 20 A ɺ = ɺ I2 1 1 1049.5∠−17.7 R1 − j ωC 1000 R1 ɺ = ɺ = I1 I3 ×0.6∠52.3 = 0.57∠70 A 1 1049.5∠−17.7 R1 − j ωC
9.6 复功率
1. 复功率
U I来计算功率，引入“ 功率” 功率” 为了用相量ɺ和ɺ来计算功率，引入“复
ɺ I
+ 定义： 定义： 负 载
ɺI * 单位 VA S = Uɺ
ɺ U
_
S = UI∠(Ψ −Ψ) = UI∠φ = S∠φ u i = UIcosφ + jUIsinφ = P + jQ
复功率也可表示为： 复功率也可表示为：
ɺɺ ɺ ɺ S = UI* = ZI ⋅ I * = ZI 2 = (R + jX)I 2 = RI 2 + jXI 2
ɺɺ ɺ ɺ or S = UI* = U(UY )* = U⋅ U* Y* = U2Y *
电阻电路与正弦电流电路的分析比较： 电阻电路与正弦电流电路的分析比较：
电阻电路: KCL : ∑i = 0 KVL : ∑u = 0 : 元件约束关系 u = Ri 或 i = Gu
可见，二者依据的电路定律是相似的。 可见，二者依据的电路定律是相似的。只要作出正弦 电流电路的相量模型， 电流电路的相量模型，便可将电阻电路的分析方法推广应 用于正弦稳态的相量分析中。 用于正弦稳态的相量分析中。
10×103 I= = 47.8A 220×0.95
显然功率因数提高后，线路上总电流减少， 显然功率因数提高后，线路上总电流减少，但继 续提高功率因数所需电容很大，增加成本， 续提高功率因数所需电容很大，增加成本，总电流减 小却不明显。因此一般将功率因数提高到0.9即可 即可。 小却不明显。因此一般将功率因数提高到 即可。
9.5 正弦稳态电路的功率
无源一端口网络吸收的功率( 关联) 无源一端口网络吸收的功率 u, i 关联 + u _ i 无 源
u(t ) = 2U cosωt i(t) = 2I cos(ωt − φ) φ为u和i的相位差 =Ψu −Ψi φ
1. 瞬时功率 (instantaneous power)
并联电容的确定： 并联电容的确定：
IC = IL sinϕ1 − I sinϕ2
P , 将I= U cosϕ2 P IL = U cosϕ1 代入得
ϕ1 ϕ2
ɺ I
ɺ IC
ɺ U
IC = ωCU2 = P (tgϕ1 − tgϕ2 ) U
ɺ IL
C = P 2 (tgϕ1 − tgϕ2 ) ωU
补偿容 量不同 欠 不要求(电容设备投资增加 经济效果不明显) 全——不要求 电容设备投资增加 经济效果不明显 不要求 电容设备投资增加,经济效果不明显 使功率因数又由高变低(性质不同 过——使功率因数又由高变低 性质不同 使功率因数又由高变低 性质不同)
正弦稳态电路的 电路的分析 第9章 正弦稳态电路的分析
重点： 重点： 阻抗和导纳； 1. 阻抗和导纳； 2. 正弦稳态电路的分析； 正弦稳态电路的分析； 正弦稳态电路的功率分析； 3. 正弦稳态电路的功率分析； 并联谐振的概念； 4. 串、并联谐振析
正弦电路相量分析 : • KCL : ∑I = 0 • KVL : ∑U = 0 • • 元件约束关系 U = Z I : • • 或 I =YU
I=P/(Ucosϕ)，线路损耗大。 线路损耗大。
解决办法：并联电容，提高功率因数 (改进自身设备)。 解决办法：并联电容， 改进自身设备)
分析
+
ɺ I
ɺ IC
R L
ɺ IL
C
ϕ1 ϕ2
ɺ I
ɺ IC
ɺ U
ɺ U _
ɺ IL
特点： 特点：
并联电容后，原负载的电压和电流不变， 并联电容后，原负载的电压和电流不变，吸收的有功 功率和无功功率不变， 负载的工作状态不变。 功率和无功功率不变，即：负载的工作状态不变。但 电路的功率因数提高了。 电路的功率因数提高了。
ɺ U _
若要使功率因数从0.9再提高到 若要使功率因数从 再提高到0.95 , 试问还应增加多少 再提高到 此时电路的总电流是多大？ 并联电容，此时电路的总电流是多大？
cosφ2 = 0.95 ⇒ φ2 = 18.19o 解 cosφ1 = 0.9 ⇒ φ1 = 25.84
o
P C= (tgφ1 − tgφ2 ) 2 ωU 10×103 (tg25.84 − tg18.19 ) = 103µ F = 2 314×220
ωt
UIsinϕ sin2ω t
2.平均功率 2.平均功率 (average power)P
1 T = 1 T [UI cosϕ +UI cos( t +ϕ)]dt ω P = ∫ pdt ∫0 T T 0
= UIcosφ
P 的单位：W（瓦） 的单位：W（
P = UI cosφ
ϕ =ψu-ψi：功率因数角。对无源网络，为其等效 功率因数角。对无源网络，
例 已知：f=50Hz, U=220V, P=10kW, cosϕ1=0.6，要使功率 已知： ，
因数提高到0.9 , 求并联电容C，并联前后电路的总电流 因数提高到 求并联电容 各为多大？ ɺ 各为多大？ ɺ IC I
解
cosφ1 = 0.6 ⇒ φ1 = 53.13o
cosφ2 = 0.9 ⇒ φ2 = 25.84
+
R
ɺ IL
C
P L C= (tgφ1 − tgφ2 ) 2 ωU 10×103 (tg53.13 − tg25.84 ) = 557µ F = 2 314×220 P 10×103 未并电容时： 未并电容时： I = IL = = = 75.8A U cosϕ1 220×0.6 P 10×103 并联电容后： 并联电容后： I = = = 50.5A U cosϕ2 220×0.9
Z2 = R2 + jωL = 10 + j157 Ω
Z = Z1 + Z2 = 92.11− j289.13 + 10 + j157 = 102.11− j132.13 = 166.99∠ − 52.3 Ω
ɺ I1
+ ɺ U _
ɺ I2 R1
1 ɺ I3 − j ωC
R2
jωL ω
Z1
Z2
ɺ U 100∠0 ɺ I1 = = = 0.6∠52.3 A Z 166.99∠− 52.3
3. 无功功率 (reactive power) Q
Q = UI sinφ
def
Q = UI sinφ = I 2 Z sinϕ = XI 2
表示交换功率的最大值，单位：var (乏)。 表示交换功率的最大值，单位： 乏。 Q>0，表示网络吸收无功功率；Q<0，表示网络发出无功功率 ，表示网络吸收无功功率； ， Q 的大小反映网络与外电路交换功率的大小。是由储能元件 、 的大小反映网络与外电路交换功率的大小。是由储能元件L、 C的性质决定的 的性质决定的
并联电容也可以用功率三角形确定： 并联电容也可以用功率三角形确定： QC
ϕ1 ϕ2
P
Q
Q = QL − QC = P(tgφ1 − tgφ2 ) QC = ωCU2 QL ∴ C = P 2 (tgφ1 − tgφ2 ) ωU
从功率这个角度来看 :
并 联 电 容 后 ， 电 源 向 负 载 输 送 的 有 功 UIL cosϕ1=UI cosϕ2 不变 ， 但是电源向负载输送的无功 不变， UIsinϕ2<UILsinϕ1 减少了 ， 减少的这部分无功就由电 减少了， 产生”来补偿，使感性负载吸收的无功不变， 容“产生”来补偿，使感性负载吸收的无功不变，而 功率因数得到改善。 功率因数得到改善。
结论
1. 引入相量法，把求正弦稳态电路微分方程的特解 引入相量法， 问题转化为求解复数代数方程问题。 问题转化为求解复数代数方程问题。 引入电路的相量模型，不必列写时域微分方程， 2. 引入电路的相量模型，不必列写时域微分方程， 而直接列写相量形式的代数方程。 而直接列写相量形式的代数方程。 引入阻抗以后， 3. 引入阻抗以后，可将所有网络定理和方法都应用 于交流，直流（ 是一个特例。 于交流，直流（f =0)是一个特例。
S=
S
P +Q
2
2
ɺ UR _ +
ϕ
P
Q
Z
ϕ
R
X
U
ϕ
UR
UX
º + ɺ U _ º
R
+ ɺ UX _
X
功率三角形
阻抗三角形
电压三角形
6. 功率因数提高
S 负载 75kVA
P=UIcosϕ=Scosϕ ϕ cosϕ =1, P=S=75kW cosϕ =0.7, P=0.7S=52.5kW
额定) 设备容量 S (额定)向负载送多少 有功要由负载的阻抗角决定。 有功要由负载的阻抗角决定。 空载cosϕ =0.2~0.3 满载cosϕ =0.7~0.85
一般用户： 一般用户： 异步电机 日光灯 功率因数低带来的问题： 功率因数低带来的问题：
cosϕ =0.45~0.6
设备不能充分利用，电流到了额定值，但功率容量还有； (1) 设备不能充分利用，电流到了额定值，但功率容量还有； (2) 当 输 出 相 同 的 有 功 功 率 时 ， 线 路 上 电 流 大
视在功率S 4. 视在功率
S = UI
反映电气设备的容量。 反映电气设备的容量。
def
单位 : VA (伏安)
有功，无功，视在功率的关系： 有功，无功，视在功率的关系： 有功功率: 有功功率: P=UIcosϕ 无功功率: 无功功率: Q=UIsinϕ 视在功率: 视在功率: S=UI 单位： 单位：W 单位： 单位：var 单位： 单位：VA
阻抗的阻抗角。 阻抗的阻抗角。
cos ϕ ：功率因数。 功率因数。
cosϕ
1, 纯电阻 0， 纯电抗 ，
≤cos ≤1 一般地 , 有 0≤ ≤ ϕ≤ X<0, ϕ <0 , 容性
2 2
X>0, ϕ >0 , 感性
P = UI cosφ = I Z cosϕ = RI
平均功率实际上是电阻消耗的功率， 亦称为有功功率 。 平均功率实际上是电阻消耗的功率 ， 亦称为有功功率。 表示电路实际消耗的功率， 它不仅与电压电流有效值有关， 表示电路实际消耗的功率 ， 它不仅与电压电流有效值有关， 有关，这是交流和直流的很大区别, 而且与 cosϕ 有关 ， 这是交流和直流的很大区别 , 主要由 于电压、电流存在相位差。 于电压、电流存在相位差。
p(t) = UI[cosφ + cos(2ωt − φ)]
p
u i 有时为正, • p有时为正 有时为负； 有时为正 有时为负； 电路吸收功率： UIcosϕ • p>0, 电路吸收功率： • p<0，电路发出功率； ，电路发出功率；
O
ωt
UIcos(2ω t－ϕ )
第二种分解方法： 第二种分解方法： p(t ) = UI cosφ(1 + cos2ωt) +UI sinϕ sin2ωt UIcosϕ (1＋cos2ω t) UIcosϕ(1＋cos2ω t)为不可逆分量。 为不可逆分量。 为不可逆分量 UIsinϕ sin2ω t为可逆分量。 为可逆分量。 为可逆分量 O
已知： 例1: 已知：R1 = 1000Ω , R2 = 10Ω , L = 500mH , C = 10µF , 各支路电流。 U = 100V , ω = 314rad / s , 求:各支路电流。 R1 i2 i1 i3 + _ u L C R2
ɺ I1
+ ɺ U _
ɺ I2 R1
ɺ I3
−j
1 ωC
R2
jωL ω
Z1
Z2
解
画出电路的相量模型 R1(− j 1 ) 1000×(− j318.47) 318.47×103 ∠ − 90 ωC = Z1 = = 1000 − j318.47 1049.5∠−17.7 R1 − j 1 ωC = 303.45∠ − 72.3 = 92.11− j289.13 Ω
p(t ) = ui = 2U cosωt ⋅ 2I cos(ωt − φ)
第一种分解方法； 第一种分解方法； = UI[cosφ + cos(2ωt − φ)] = UI cosφ(1 + cos2ωt ) +UI sinϕ sin2ωt 第二种分解方法。 第二种分解方法。
第一种分解方法： 第一种分解方法：
−j1 ωC I = − j318.47 ×0.6∠52.3 = 0.181∠− 20 A ɺ = ɺ I2 1 1 1049.5∠−17.7 R1 − j ωC 1000 R1 ɺ = ɺ = I1 I3 ×0.6∠52.3 = 0.57∠70 A 1 1049.5∠−17.7 R1 − j ωC
9.6 复功率
1. 复功率
U I来计算功率，引入“ 功率” 功率” 为了用相量ɺ和ɺ来计算功率，引入“复
ɺ I
+ 定义： 定义： 负 载
ɺI * 单位 VA S = Uɺ
ɺ U
_
S = UI∠(Ψ −Ψ) = UI∠φ = S∠φ u i = UIcosφ + jUIsinφ = P + jQ
复功率也可表示为： 复功率也可表示为：
ɺɺ ɺ ɺ S = UI* = ZI ⋅ I * = ZI 2 = (R + jX)I 2 = RI 2 + jXI 2
ɺɺ ɺ ɺ or S = UI* = U(UY )* = U⋅ U* Y* = U2Y *
电阻电路与正弦电流电路的分析比较： 电阻电路与正弦电流电路的分析比较：
电阻电路: KCL : ∑i = 0 KVL : ∑u = 0 : 元件约束关系 u = Ri 或 i = Gu
可见，二者依据的电路定律是相似的。 可见，二者依据的电路定律是相似的。只要作出正弦 电流电路的相量模型， 电流电路的相量模型，便可将电阻电路的分析方法推广应 用于正弦稳态的相量分析中。 用于正弦稳态的相量分析中。
10×103 I= = 47.8A 220×0.95
显然功率因数提高后，线路上总电流减少， 显然功率因数提高后，线路上总电流减少，但继 续提高功率因数所需电容很大，增加成本， 续提高功率因数所需电容很大，增加成本，总电流减 小却不明显。因此一般将功率因数提高到0.9即可 即可。 小却不明显。因此一般将功率因数提高到 即可。
9.5 正弦稳态电路的功率
无源一端口网络吸收的功率( 关联) 无源一端口网络吸收的功率 u, i 关联 + u _ i 无 源
u(t ) = 2U cosωt i(t) = 2I cos(ωt − φ) φ为u和i的相位差 =Ψu −Ψi φ
1. 瞬时功率 (instantaneous power)
并联电容的确定： 并联电容的确定：
IC = IL sinϕ1 − I sinϕ2
P , 将I= U cosϕ2 P IL = U cosϕ1 代入得
ϕ1 ϕ2
ɺ I
ɺ IC
ɺ U
IC = ωCU2 = P (tgϕ1 − tgϕ2 ) U
ɺ IL
C = P 2 (tgϕ1 − tgϕ2 ) ωU
补偿容 量不同 欠 不要求(电容设备投资增加 经济效果不明显) 全——不要求 电容设备投资增加 经济效果不明显 不要求 电容设备投资增加,经济效果不明显 使功率因数又由高变低(性质不同 过——使功率因数又由高变低 性质不同 使功率因数又由高变低 性质不同)
正弦稳态电路的 电路的分析 第9章 正弦稳态电路的分析
重点： 重点： 阻抗和导纳； 1. 阻抗和导纳； 2. 正弦稳态电路的分析； 正弦稳态电路的分析； 正弦稳态电路的功率分析； 3. 正弦稳态电路的功率分析； 并联谐振的概念； 4. 串、并联谐振析
正弦电路相量分析 : • KCL : ∑I = 0 • KVL : ∑U = 0 • • 元件约束关系 U = Z I : • • 或 I =YU
I=P/(Ucosϕ)，线路损耗大。 线路损耗大。
解决办法：并联电容，提高功率因数 (改进自身设备)。 解决办法：并联电容， 改进自身设备)
分析
+
ɺ I
ɺ IC
R L
ɺ IL
C
ϕ1 ϕ2
ɺ I
ɺ IC
ɺ U
ɺ U _
ɺ IL
特点： 特点：
并联电容后，原负载的电压和电流不变， 并联电容后，原负载的电压和电流不变，吸收的有功 功率和无功功率不变， 负载的工作状态不变。 功率和无功功率不变，即：负载的工作状态不变。但 电路的功率因数提高了。 电路的功率因数提高了。
ɺ U _
若要使功率因数从0.9再提高到 若要使功率因数从 再提高到0.95 , 试问还应增加多少 再提高到 此时电路的总电流是多大？ 并联电容，此时电路的总电流是多大？
cosφ2 = 0.95 ⇒ φ2 = 18.19o 解 cosφ1 = 0.9 ⇒ φ1 = 25.84
o
P C= (tgφ1 − tgφ2 ) 2 ωU 10×103 (tg25.84 − tg18.19 ) = 103µ F = 2 314×220
ωt
UIsinϕ sin2ω t
2.平均功率 2.平均功率 (average power)P
1 T = 1 T [UI cosϕ +UI cos( t +ϕ)]dt ω P = ∫ pdt ∫0 T T 0
= UIcosφ
P 的单位：W（瓦） 的单位：W（
P = UI cosφ
ϕ =ψu-ψi：功率因数角。对无源网络，为其等效 功率因数角。对无源网络，
例 已知：f=50Hz, U=220V, P=10kW, cosϕ1=0.6，要使功率 已知： ，
因数提高到0.9 , 求并联电容C，并联前后电路的总电流 因数提高到 求并联电容 各为多大？ ɺ 各为多大？ ɺ IC I
解
cosφ1 = 0.6 ⇒ φ1 = 53.13o
cosφ2 = 0.9 ⇒ φ2 = 25.84