中考数学总复习《三角形的极值问题》专项提升练习题及答案(北师大版)

中考数学总复习《三角形的极值问题》专项提升练习题及答案(北师大版)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________
一．选择题（共8小题）
1．如图，在等边△ABC中，点A、C分别在x轴、y轴上，AC＝4，当点A在x轴正半轴上运动时，点C 随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（）
A．4B．2+C．+2D．2+2
2．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（）
A．6B．8C．10D．4.8
3．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF分别交AB、AC边于点E、F，点K为EF上一动点，则BK+CK 的最小值是以下哪条线段的长度（）
A．EF B．AB C．AC D．BC
4．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则P A+PC的最小值是（）
A．3B．4C．5D．6
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M，P是直线MN上一动点，点H 为BC中点，若AB＝13，△ABC的周长是36．则PB+PH的最小值为（）
A．B．10C．12D．13
6．如图，∠AOB＝α，点P是∠AOB内的一定点，点M、N分别在OA、OB上移动，当△PMN的周长最小时，∠MPN的值为（）
A．90°+αB．90°C．180°﹣αD．180°﹣2α
7．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）
A．140°B．100°C．50°D．40°
8．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC 上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）
A．2B．2C．3D．
二．填空题（共4小题）
9．如图，AH是正三角形ABC中BC边上的高，在点A，C处各有一只电子乌龟P和Q同时起步以相同的速度分别沿AH，CA向前匀速爬动．确定当两只电子乌龟到B点距离之和PB+QB最小时，∠PBQ的度数为．
10．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB的垂直平分线DE交AB边于点D，交BC边于点E，在线段DE上有一动点P，连接AP、PC，则△APC的周长最小值为．
11．已知：在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°
M、N分别是CD和BC上的点．
求作：点M、N，使△AMN的周长最小．
作法：如图2
（1）延长AD，在AD的延长线上截取DA´＝DA；
（2）延长AB，在AB的延长线上截取BA″＝BA；
（3）连接A′A″，分别交CD、BC于点M、N．
则点M、N即为所求作的点．
请回答：这种作法的依据是．
12．如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD 和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．
三．解答题（共4小题）
13．如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连接BE，在BE的下方作等边△BEF，连接DF，当△BDF的周长最小时，求∠DBF的度数．
14．几何模型：
条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．
问题：在直线l上确定一点P，使P A+PB的值最小．
方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则P A+PB＝A′B的值最小（不必证明）．模型应用：
（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是；
（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P是OB上一动点，求P A+PC的最小值；
（3）如图3，∠AOB＝45°，P是∠AOB内一点，PO＝10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR 周长的最小值．
15．探究
问题1已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．若DE＝kDF，则k的值为．
拓展
问题2已知：如图2，三角形ABC中，CB＝CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC的内部，且∠MAC＝∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF．求证：DE ＝DF．
推广
问题3如图3，若将上面问题2中的条件“CB＝CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论．
16．如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分∠ACB与y轴交于D点，∠CAO ＝90°﹣∠BDO．
（1）求证：AC＝BC；
（2）在（1）中点C的坐标为（4，0），点E为AC上一点，且∠DEA＝∠DBO，如图2，求BC+EC的长；
（3）在（1）中，过D作DF⊥AC于F点，点H为FC上一动点，点G为OC上一动点，（如图3），当点H在FC上移动、点G在OC上移动时，始终满足∠GDH＝∠GDO+∠FDH，试判断FH、GH、OG 这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．如图，在等边△ABC中，点A、C分别在x轴、y轴上，AC＝4，当点A在x轴正半轴上运动时，点C 随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（）
A．4B．2+C．+2D．2+2
解：过点B作BM⊥AC于点M，连接OM，如图所示：
∵△ABC是等边三角形
∴M是AC的中点
∵AC＝4
∴BC＝4，MC＝2
根据勾股定理，得BM＝
根据题意，得∠AOC＝90°
∴OM＝＝2
∴OM+MB＝2+
∴点B到原点的最大距离是2+
故选：D．
2．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（）
A．6B．8C．10D．4.8
解：如图所示：
过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M
过点M作MN⊥BC于点N
∵BD平分∠ABC
∴ME＝MN
∴CM+MN＝CM+ME＝CE．
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，CE⊥AB
∴S△ABC＝AB•CE＝AC•BC
∴10CE＝6×8
∴CE＝4.8．
即CM+MN的最小值是4.8
故选：D．
3．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF分别交AB、AC边于点E、F，点K为EF上一动点，则BK+CK 的最小值是以下哪条线段的长度（）
A．EF B．AB C．AC D．BC
解：连接AK
∵EF是线段AB的垂直平分线
∴AK＝BK
∴BK+CK＝AK+CK
∴AK+CK的最小值＝BK+CK的最小值
∵AK+CK≥AC
∴当AK+CK＝AC时，AK+CK的值最小，即BK+CK的值最小
∴BK+CK的最小值是线段AC的长度
故选：C．
4．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则P A+PC的最小值是（）
A．3B．4C．5D．6
解：如图，EF是BC的垂直平分线
∴点C与点B关于直线EF对称
∴线段AB与直线EF的交点即为点P
∴P A+PC＝AB．
∵AB＝4
∴P A+PC的最小值是4．
故选：B．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M，P是直线MN上一动点，点H 为BC中点，若AB＝13，△ABC的周长是36．则PB+PH的最小值为（）
A．B．10C．12D．13
解：连接AP，AH
∵AB＝AC＝13，△ABC的周长为36
∴BC＝36﹣2×13＝10
∵H是BC中点
∴BH＝BC＝5
∵△ABC是等腰三角形，点H是BC中点
∴AH⊥BC
∴AH＝＝＝12
∵MN是线段AB的垂直平分线
∴点B关于直线MN的对称点为点A
∴AP＝BP
∴BP+PH＝AP+PH≥AH
∴AH的长为BP+PH的最小值
∴BP+PH的最小值为12．
故选：C．
6．如图，∠AOB＝α，点P是∠AOB内的一定点，点M、N分别在OA、OB上移动，当△PMN的周长最小时，∠MPN的值为（）
A．90°+αB．90°C．180°﹣αD．180°﹣2α
解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1、P2，交OA于M，交OB于N，则
OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O
根据轴对称的性质可得MP＝P1M，PN＝P2N
∴△PMN的周长的最小值＝P1P2
由轴对称的性质可得∠P1OP2＝2∠AOB＝2α
∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝180°﹣2α
∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝∠OP1P2+∠OP2P1＝180°﹣2α
故选：D．
7．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）
A．140°B．100°C．50°D．40°
解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则
OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O
根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，PN＝P2N，则
△PMN的周长的最小值＝P1P2
∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°
∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°
∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°
故选：B．
8．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC 上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）
A．2B．2C．3D．
解：设BE与AC交于点F（P′），连接BD
∵点B与D关于AC对称
∴P′D＝P′B
∴P′D+P′E＝P′B+P′E＝BE最小．
即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度；
∵正方形ABCD的面积为12
∴AB＝2．
又∵△ABE是等边三角形
∴BE＝AB＝2．
故所求最小值为2．
故选：A．
二．填空题（共4小题）
9．如图，AH是正三角形ABC中BC边上的高，在点A，C处各有一只电子乌龟P和Q同时起步以相同的速度分别沿AH，CA向前匀速爬动．确定当两只电子乌龟到B点距离之和PB+QB最小时，∠PBQ的度
数为30°．
解：过点C作CD⊥BC，取CD＝AB，连接BD
∵△ABC是等边三角形，AH是BC边上的高
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，∠BAH＝30°
∴∠ACD＝30°
∴∠BAH＝∠ACD
在△ABP和△CDQ中
∴△ABP≌△CDQ（SAS）
∴BP＝DQ，∠CQD＝∠APB
∴当B、Q、D共线时，PB+QB最小，连接BD交AC于Q ∴∠APB＝∠AQB
∴∠PBQ＝∠QAH＝30°
故答案为：30°．
10．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB的垂直平分线DE交AB边于点D，交BC边于点E，在线段DE上有一动点P，连接AP、PC，则△APC的周长最小值为14．
解：如图，连接BP
∵DE垂直平分AB
∴AP＝BP
∴AP+PC＝BP+PC
∴当点B，P，C在同一直线上时，AP+PC的最小值等于BC长
∴△APC的周长最小值为BC+AC＝8+6＝14
故答案为：14．
11．已知：在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°
M、N分别是CD和BC上的点．
求作：点M、N，使△AMN的周长最小．
作法：如图2
（1）延长AD，在AD的延长线上截取DA´＝DA；
（2）延长AB，在AB的延长线上截取BA″＝BA；
（3）连接A′A″，分别交CD、BC于点M、N．
则点M、N即为所求作的点．
请回答：这种作法的依据是①线段垂直平分线的定义（或线段垂直平分线的判定，或轴对称的性质即对称点的连线段被对称轴垂直平分）
②线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等（线段垂直平分线的性质）；
③两点之间线段最短．
解：根据线段垂直平分线的性质和两点之间线段最短作图；
故答案为：
①线段垂直平分线的定义（或线段垂直平分线的判定，或轴对称的性质即对称点的连线段被对称轴垂直
平分）
②线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等（线段垂直平分线的性质）；
③两点之间线段最短
12．如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD 和AB上的动点，则BM+MN的最小值是4．
解：如图，在AC上截取AE＝AN，连接BE．
∵∠BAC的平分线交BC于点D
∴∠EAM＝∠NAM
在△AME与△AMN中
∴△AME≌△AMN（SAS）
∴ME＝MN．
∴BM+MN＝BM+ME≥BE．
∵BM+MN有最小值．
当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC
又AB＝4，∠BAC＝45°，此时，△ABE为等腰直角三角形
∴BE＝4
即BE取最小值为4
∴BM+MN的最小值是4．
故答案为：4．
三．解答题（共4小题）
13．如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连接BE，在BE的下方作等边△BEF，连接DF，当△BDF的周长最小时，求∠DBF的度数．
解：如图，连接CF
∵△ABC、△BEF都是等边三角形
∴AB＝BC＝AC，BE＝EF＝BF，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝∠EBF＝∠BEF＝∠BFE＝60°
∴∠ABC﹣∠EBD＝∠EBF﹣∠EBD
∴∠ABE＝∠CBF
在△BAE和△BCF中
∴△BAE≌△BCF（SAS）
∴∠BCF＝∠BAD＝30°
如图，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，连接FG，则FD＝FG，CD＝CG
∴∠FDG＝∠FGD，∠CDG＝∠CGD
∴∠CDG+∠FDG＝∠CGD+∠FGD
∵∠CDF＝∠ADC＝90°
∴∠CGF＝90°
∴BG⊥CG
∴当B，F，G在同一直线上时，DF+BF的最小值等于线段BG长
且BG⊥CG时，△BDF的周长最小
由轴对称的性质，可得∠DCG＝2∠BCF＝60°，CD＝CG
∴△DCG是等边三角形
∴DG＝DC＝DB
∴∠DBF＝∠DGB＝∠CDG＝30°．
14．几何模型：
条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．
问题：在直线l上确定一点P，使P A+PB的值最小．
方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则P A+PB＝A′B的值最小（不必证明）．
模型应用：
（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是；
（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P是OB上一动点，求P A+PC的最小值；
（3）如图3，∠AOB＝45°，P是∠AOB内一点，PO＝10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR 周长的最小值．
解：（1）∵四边形ABCD是正方形
∴AC垂直平分BD
∴PB＝PD
由题意易得：PB+PE＝PD+PE＝DE
在△ADE中，根据勾股定理得，DE＝；
（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P
P A+PC的最小值即为A′C的长
∵∠AOC＝60°
∴∠A′OC＝120°
∵AO＝CO，AO＝A′O
∴∠OA'C＝∠OCA'＝30°
作OD⊥A′C于D，则∠A′OD＝60°
∵OA′＝OA＝2
∴A′D＝
∴；
（3）分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB于点Q、R，连接PR、PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN．
由轴对称性质可得，OM＝ON＝OP＝10，∠MOA＝∠POA，∠NOB＝∠POB
∴∠MON＝2∠AOB＝2×45°＝90°
在Rt△MON中，MN＝＝＝10．
即△PQR周长的最小值等于10．
15．探究
问题1已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．若DE＝kDF，则k的值为1．
拓展
问题2已知：如图2，三角形ABC中，CB＝CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC的内部，且∠MAC＝∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF．求证：DE ＝DF．
推广
问题3如图3，若将上面问题2中的条件“CB＝CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论．
解：（1）∵AE⊥BC，BF⊥AC
∴△AEB和△AFB都是直角三角形
∵D是AB的中点
∴DE和DF分别为Rt△AEB和Rt△AFB的斜边中线
∴DE＝AB，DF＝AB（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）
∴DE＝DF
∵DE＝kDF
∴k＝1；
（2）∵CB＝CA
∴∠CBA＝∠CAB
∵∠MAC＝∠MBE
∴∠CBA﹣∠MBC＝∠CAB﹣∠MAC
即∠ABM＝∠BAM
∴AM＝BM
∵ME⊥BC，MF⊥AC
∴∠MEB＝∠MF A＝90
又∵∠MBE＝∠MAF
∴△MEB≌△MF A（AAS）
∴BE＝AF
∵D是AB的中点，即BD＝AD
又∵∠DBE＝∠DAF
∴△DBE≌△DAF（SAS）
∴DE＝DF；
（3）DE＝DF
如图1，作AM的中点G，BM的中点H
∵点D是边AB的中点
∴DG∥BM，DG＝BM
同理可得：DH∥AM，DH＝AM
∵ME⊥BC于E，H是BM的中点
∴在Rt△BEM中，HE＝BM＝BH
∴∠HBE＝∠HEB
∠MHE＝∠HBE+∠HEB＝2∠MBC
又∵DG＝BM，HE＝BM
∴DG＝HE
同理可得：DH＝FG，∠MGF＝2∠MAC
∵DG∥BM，DH∥GM
∴四边形DHMG是平行四边形
∴∠DGM＝∠DHM
∵∠MGF＝2∠MAC，∠MHE＝2∠MBC
又∵∠MBC＝∠MAC
∴∠MGF＝∠MHE
∴∠DGM+∠MGF＝∠DHM+∠MHE
∴∠DGF＝∠DHE
在△DHE与△FGD中
∴△DHE≌△FGD（SAS）
∴DE＝DF．
16．如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分∠ACB与y轴交于D点，∠CAO ＝90°﹣∠BDO．
（1）求证：AC＝BC；
（2）在（1）中点C的坐标为（4，0），点E为AC上一点，且∠DEA＝∠DBO，如图2，求BC+EC的长；
（3）在（1）中，过D作DF⊥AC于F点，点H为FC上一动点，点G为OC上一动点，（如图3），当点H在FC上移动、点G在OC上移动时，始终满足∠GDH＝∠GDO+∠FDH，试判断FH、GH、OG
这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．
（1）证明：∵∠CAO＝90°﹣∠BDO
∴∠CAO＝∠CBD．
在△ACD和△BCD中
∴△ACD≌△BCD（AAS）．
∴AC＝BC．
（2）解：由（1）知∠CAD＝∠DEA＝∠DBO
∴BD＝AD＝DE，过D作DN⊥AC于N点，如右图所示：∵∠ACD＝∠BCD
∴DO＝DN
在Rt△BDO和Rt△EDN中
∴Rt△BDO≌Rt△EDN（HL）
∴BO＝EN．
在△DOC和△DNC中
∴△DOC≌△DNC（AAS）
可知：OC＝NC；
∴BC+EC＝BO+OC+NC﹣NE＝2OC＝8．
（3）GH＝FH+OG．
证明：由（1）知：DF＝DO
在x轴的负半轴上取OM＝FH，连接DM，如右图所示：在△DFH和△DOM中
∴△DFH≌△DOM（SAS）．
∴DH＝DM，∠1＝∠ODM．
∴∠GDH＝∠1+∠2＝∠ODM+∠2＝∠GDM．
在△HDG和△MDG中
∴△HDG≌△MDG（SAS）．
∴MG＝GH
∴GH＝OM+OG＝FH+OG．。