初中竞赛数学第六届“华杯赛”初一组第二试决赛试题(含答案)

第六届“华杯赛”初一组第二试决赛试题
1． 代数式tvx tuy swx suz rwy ruz -++--中，r ，s ，t ，u ，v ，w ，x ，y ，z 可以分别取1或-1，
( i)证明该代数式的值都是偶数；（ii ）求该代数式所能取到的最大值．
2． 用1，2，…99，100共一百个数排成一个数列： 1a ，2a ， …，99a ， 100a
已知数列中第6个是606=a ，第94个是9894=a ，其他的i a 不知是什么数，如果相邻两个数1+>i i a a ，就将它们交换位置，如此操作直到左边的数都小于右边的数为止，请回答最少实行了多少次交换？最多实行了多少次交换？
3．将10到40之间的质数填入下图的圆圈中，使得三组由“→”所连的四个数的和相等，如果把和数相同的填法看成同一类填法，请说明一共有多少类填法？并画图填入你的填法．
4．某工厂生产一批玩具，形状为圆环，环上均匀分布安装12个小球，其中3个为红球，9个是白球，如右图所示．若两个环可以圆心对圆心，红球对红球，白球对白球叠放在一起，我们说它们属于同一规格．问该工厂生产的这类玩具一共可以有多少种不同的规格？
5．在1到20之间求8个质数（不一定不同），使它们的平方和比它们的乘积的4倍小36294．
第六届“华杯赛”初一组第二试决赛试题答案
1. 解：（i ）该代数式共有6项，每项取值都只能是奇数（1或-1），其和为偶数．
（ii ）该式≤6，若等于6，则第1、4、5项的值都是1，第2、3、6项的值都是-1，
六项之积是-1．但是，这六项之积是222222222z y x w v u t s r ，不可能是-1，因此最大值不能是6．
取1===t s r ，1-=u ，1==w v ，1-==y x ，z=1，该式的值为4，所以该式的最大值是4． 2．58；4825 解：数列中任一个数交换完成时，它一定与它的右边并且比它小的每一个数都交换一次． 数列最好的排列（交换次数最少）是：
1，2，3，4，5，60，6，7，…，58，59，61，…92，93，98，94，95，96，97，99，
100
60与6，7，…，58，59依次交换54次，98与94，95，96，97依次交换4次，共交
换58次．
数列最差的排列（交换次数最多）是：
100，99，97，96，95，60，94，…，…，8，7，98，6，5，4，3，2，1
100需要交换99次，99交换98次，98交换6次，97交换96次，96交换95次，95交换94次，94交换92次，93交换91交，…，61交换59次，60交换59次，59交换58，58交换57次，57交换56次，…，2交换1次；共交换 1+2+…+57+58+59+59+60+…+92+94+95+96+6+98+99 =（1+2+3+…+97+98+99）+59-93-97+6=4825（次） 答：最少交换的次数是58次，最多时是4825次． 3．
解：将10至40之间的8个质数从小到大排列成： 11 13 17 19 23 29 31 37 （*） 或者排列为：
11 13 17 19
31 23 37 29 （ * * ）
这8个质数的和是3的倍数，所以根据题目要求，填入图中最左和最右两个圆圈的两个质数之和也是3的倍数，从（*）去掉这两个质数后，余下的6个质数从小到大排列为：
654321a a a a a a <<<<<
则应当有 435261a a a a a a +=+=+ 当然，这些和的个位应该相等．
两个质数和的个位是偶数，我们分别按个位等于8，6，4，2，0来判断如何得到正确解答．
①当个位为8时，从（**）可以判断应该选出13和23填在图的左边和右边的圆圈，
余下
11 17 19 29 31 37
则有解答见下图．
②当个位为6时，从（**）我们可以判断8个质数中应该去掉11和31，余下
13 17 19 23 29 37
因为13+37=50，个位不是6，因此不能给出符合要求的填法．
③当个位为4时，从（* *）我们可以判断8个质数中应该去掉19和29，余下
11 13 17 31 37
因为11+37=48，个位不是4，不能给出符合要求的填法．
④当个位为2时，8个质数中应该去掉17和37，余下
1113 17 23 29 31
则有解答见下图
⑤当个位为0时，8个质数中应该去掉11，19，或31，29，或13，17，或23，27，
类似于②和③的讨论，对于这四种情况都不能给出符合要求的填法．
4．55
解：如右图，我们假定12个球都为白色，要将其中三
个涂成红色，通过旋转将A处的球保证为红色．看
有多少种涂法．由A开始顺时针方向标数，A处的球
标0，其他的球顺序标为1，2，…，10，11．三红球所
在位置标的数记为（0，i，j），0<i<j．是然，j可以取值
2，3，4，5，6，7，8，9，10，11．当j=2时，i只
能取值1，只有一种取法；当j=3时，i可以取值1，
2共2种；当j =4时， i 可以取值1，2，3共3种……；当j =11时，i 可以取值1，2，…，10共10种取法．因此，当保证位于A 处的球是红色时，共有：1+2+3++10=55种涂法．
5．2，2，2，2，2，2，11，13 解：设这8个质数是
1212+<====k k x x x x ≤…7x ≤8x ， 0≤k ≤7
令
2
8212822214x x k x x x S k +++=+++=+ ，
818212x x x x x P k k ⨯⨯⨯==+ ，
则36294)()(442821=++--=-+x x k P S P k （1）
可以判断：
（i ）k 不能为奇数，这是因为，k 为奇数时，（1）的左边是奇数，而右边是偶数； （ii ）k 不能是0，这是因为，奇数的平方除以8余1，S 是8的倍数，也是4的倍数，（1）的左边是4倍数，而右边不是；
所以k ≥2且k 为偶数．
2
82136294)(4x x k P k +++=-+ （2）
（2）的左边为8的倍数，36294除以8余6， 2
821x x k +++ 除以8余（8-k ）
，所以， 6+（8-k ），即k =6．我们有：
即 2
8
278736318256x x x x ++= （3） 由于7x ，8x 是1到20之间的质数，
183322=+≤28
27x x +≤722191922=+ 所以，36336≤87256x x ≤37040
141.9≤87x x ≤144.7 142≤87x x ≤144
若7x ≤7，则8x ≥20（2）与题意矛盾，所以，7x ≥11． 将117=x 代入（3），
2
8
8364392816x x +=≤3680019364392=+ 所以， 8x ≤13． 将117=x ， 138=x 代入（3），等式成立． 答：这8个质数是2，2，2，2，2，2，2，11，13。