高中数学第2章平面解析几何初步 直线与圆的位置关系同步练习湘教版选择性必修第一册

2.6 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.6.1 直线与圆的位置关系
A级必备知识基础练
1.(2022江苏盐城伍佑中学高二月考)点A为圆(x-1)2+y2=1上的动点，PA是圆的切线，|PA|=1，则点P的轨迹方程是()
A.(x-1)2+y2=4
B.(x-1)2+y2=2
C.x2+y2=2x
D.x2+y2=-2x
2.圆x2+y2=1与直线y=kx-3有公共点的充要条件是()
A.k≤-2或k≥2
B.k≤-2
C.k≥2
D.k≤-2或k>2
3.(2022山东高二学情联考)过点P(1，-2)的直线与圆C:(x+2)2+(y-1)2=5相切，则切线长为()
A. B.2
C.2
D.
4.(多选题)(2022重庆育才中学高二月考)已知圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0，则下列说法正确
的是()
A.圆M的圆心为(4，3)
B.圆M的半径为5
C.圆M被x轴截得的弦长为6
D.圆M被y轴截得的弦长为6
5.圆x2+y2-2x-8y+13=0截直线ax+y-1=0所得的弦长为2，则a=()
A.-
B.-
C. D.2
6.已知圆C与直线x-y=0及x-y=4都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程
为.
7.若点P(2，-1)为圆C:(x-1)2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为.
8.已知圆C:x2+y2-6x-8y+21=0，直线l过点A(1，0).
(1)求圆C的圆心坐标及半径;
(2)若直线l与圆C相切，求直线l的方程;
(3)当直线l的斜率存在且与圆C相切于点B时，求|AB|.
B级关键能力提升练
9.(2020全国Ⅰ，文6)已知圆x2+y2-6x=0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()
A.1
B.2
C.3
D.4
10.已知直线l:x-y+m=0与圆x2+y2=4交于A，B两点，O为坐标原点，且=0，则实数m为
()
A.2
B.2
C.±2
D.±2
11.(多选题)(2022云南罗平县高二检测)过点(2，2)，斜率为k的直线与圆x2+y2-4x=0的位置关系
可能是()
A.相离
B.相切
C.相交但不过圆心
D.相交且经过圆心
12.(多选题)(2022辽宁葫芦岛协作校高二联考)已知直线l:3x+4y=0，圆C:x2-4x+y2=m-5，则()
A.m的取值范围为(0，+∞)
B.当直线l与圆C相切时，m=
C.当1<m<2时，l与圆C相离
D.当直线l与圆C相交时，m的取值范围是
13.已知k∈R，若直线l:y=kx+1被圆x2-2x+y2-3=0所截，则截得的弦长最短为，此时
直线l的方程为.
14.如图，已知以点A(-1，2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切.过点B(-2，0)的动直线l与圆
A交于M，N两点.
(1)求圆A的方程;
(2)当|MN|=2时，求直线l的方程.
C级学科素养创新练
15.(2022黑龙江大庆中学高二月考)若圆x2+y2-2x-6y+1=0上恰有三点到直线y=kx的距离为2，则k的值为()
A.2
B.1
C.
D.
16.若直线l:y=ax-3与圆C:x2+y2=4相交，求a的取值范围.
参考答案
2.6直线与圆、圆与圆的位置关系
2.6.1直线与圆的位置关系
1.B∵PA是圆的切线，|PA|=1且圆的半径为r=1，
∴点P到圆心的距离恒为.
又圆心(1，0)，设P(x，y)，由两点间的距离公式得(x-1)2+y2=2，即点P的轨迹方程是(x-1)2+y2=2.故选B.
2.A若直线与圆有公共点，则圆心(0，0)到直线kx-y-3=0的距离d=≤1，即≥3，∴
k2+1≥9，即k2≥8，解得k≤-2或k≥2.∴圆x2+y2=1与直线y=kx-3有公共点的充要条件是
k≤-2或k≥2.故选A.
3.D由圆C:(x+2)2+(y-1)2=5，可得圆心C(-2，1)，半径r=，过点P(1，-2)的直线与圆
C:(x+2)2+(y-1)2=5相切，两条切线长相等，只取其中一条切线，设切点为M，则CM⊥PM，
由题得|PC|==3，|CM|=r=，
所以切线|PM|=.
故选D.
4.BD将x2+y2-8x+6y=0化为圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25，所以圆M的圆心坐标为(4，-3)，半径为5，故A错误，B正确;
圆心(4，-3)到x轴的距离为3，所以圆M被x轴截得的弦长为2=8，故C错误;
对选项D，圆心(4，-3)到y轴的距离为4，所以圆M被y轴截得的弦长为2=6，故D正确.
故选BD.
5.A将x2+y2-2x-8y+13=0化为(x-1)2+(y-4)2=4，则该圆圆心为(1，4)，半径为2.又弦长为2，则圆心到直线距离为=1.
根据点到直线距离公式可知d==1，化简可得(a+3)2=a2+1.解得a=-，故选A.
6.(x-1)2+(y+1)2=2设圆心为点C(a，-a)，由点到直线的距离公式得，解得a=1，所以圆心为(1，-1)，且半径为，故圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.
7.x-y-3=0圆心坐标为点C(1，0)，由题可得，k PC==-1.
又|CP|⊥|AB|，因此k AB=1.
因为直线AB过点P，可知直线AB的方程为y+1=x-2，即x-y-3=0.
8.解将圆C的方程化成标准式方程得(x-3)2+(y-4)2=22.
(1)圆C的圆心坐标是(3，4)，半径为2.
(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程是x=1，满足题意;
当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程是y=k(x-1)，即kx-y-k=0.
由圆心(3，4)到直线l的距离等于圆C的半径，可得=2，解得k=，
故直线l的方程是3x-4y-3=0.
综上所述，直线l的方程是x=1或3x-4y-3=0.
(3)由(2)可得直线l的方程是3x-4y-3=0.
圆C的圆心是点C(3，4)，
则|AC|==2，
所以|AB|==4.
9.B圆的方程可化为(x-3)2+y2=9.
因为=2<3，
所以点(1，2)在圆内.
如图所示，设圆心O1(3，0)，A(1，2)，当弦BC与O1A垂直时弦最短，
因为|O1A|
=
=2，|O1B|
=3，
所以|AB|==1，
所以|BC|=2|AB|=2.
10.C由=0可知∠AOB=90°.由于圆半径为r=2，则圆心(0，0)到直线l的距离
d=，解得|m|=2，即m=±2，故选C.
11.BC由题得，圆的标准方程为(x-2)2+y2=4，则圆心为(2，0)，半径为2.
设过点(2，2)，斜率为k的直线为y=k(x-2)+2，即kx-y-2k+2=0，∴圆心到kx-y-2k+2=0的距离
d=≤2，∴当d=2时，直线与圆相切;
当d<2时，直线与圆相交但直线不过圆心.
故B，C正确，A，D错误.故选BC.
12.BC圆C的标准方程为(x-2)2+y2=m-1，则圆C的圆心为C(2，0)，半径r=，由
r=>0，得m>1，故A错误;
因为C(2，0)到直线l的距离为，所以当直线l与圆C相切时，r=，解得m=，故B正确; 当1<m<2时，0<r<1<，所以直线l与圆C相离，故C正确;
当直线l与圆C相交时，，解得m>，故D错误.故选BC.
13.2y=x+1圆x2-2x+y2-3=0的标准方程为(x-1)2+y2=22，所以圆心为O(1，0)，半径为r=2.直线l:y=kx+1过定点P(0，1).故|OP|=.
当l⊥OP时，截得的弦长最短，则最短弦长为2=2.
由题得，k OP=-1，所以k l=1，故直线l的方程为y=x+1.
14.解(1)设圆A的半径为r.
∵圆A与直线l1:x+2y+7=0相切，
∴r==2.
故圆A的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.
(2)①当直线l的斜率不存在时，可得直线l的方程为x=-2，易得|MN|=2，符合题意;
②当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y=k(x+2)，即kx-y+2k=0.
取MN的中点Q，连接AQ，则AQ⊥MN.
∵|MN|=2，∴|AQ|==1.
∴=1，解得k=.
∴直线l的方程为3x-4y+6=0.
综上，直线l的方程为x=-2或3x-4y+6=0.
15.C将方程x2+y2-2x-6y+1=0化为(x-1)2+(y-3)2=9，则圆心(1，3)，半径为3.
∵圆上恰有三点到直线y=kx的距离为2，∴圆心(1，3)到直线y=kx的距离为1，即=1，
解得k=.故选C.
16.解(方法1)圆C:x2+y2=4的圆心C(0，0)，r2=4.
直线l:y=ax-3可化为ax-y-3=0.
圆心C(0，0)到直线l:ax-y-3=0的距离d=.
由直线l与圆C相交可得r>d，则r2>d2，即4>，解得a>或a<-.
因此a 的取值范围是-∞，-∪，+∞.
(方法2)将y=ax-3代入x2+y2=4得到x2+(ax-3)2=4，
整理可得(1+a2)x2-6ax+5=0.
因为直线与圆相交，则Δ=(-6a)2-4×(1+a2)×5=36a2-20-20a2=16a2-20>0，即a2>，解得a>或
a<-，故a 的取值范围是-∞，-∪，+∞.
11。