高中数学 第一章 空间几何体 探究与发现 祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积课件1 新人教A版必修2
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祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积
1
2
祖暅,字景烁，祖冲之之子， 范阳郡蓟县人（今河北省涞源县 人），南北朝时代的伟大科学家。 祖暅在数学上有突出贡献，他在 实践的基础上，于5世纪末提出 了体积的计算原理。祖暅原理： “幂势既同，则积不容异”。
“势”即是高，“幂”即是面积。
3
祖暅原ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ “幂势既同，则积不容异”
3
21
课堂小结 总结一下你在本节课中 获得的知识和学习心得
祖暅原理 柱、锥、球的体积公式
22
布置作业
例：三棱锥P-ABC三条侧棱两两互相垂直，且 PA=1,PB=2,PC=3,求它外接球的体积。 2、三棱锥P-ABC中侧棱PA长为3且垂直于底面ABC， 底面是边长为2的正三角形，求这个三棱锥外接球 的体积。
结论 半径为R的球 的体积公式是
V球
4 3
R3
19
例: 一个正四面体的所有棱长都是 2 厘米，四个 顶点都在同一球面上，求此球的体积。
20
课堂练习 某几何体的三视图如图，求该几何体的体积。 (图中所给数字单位为厘米)
解：V 22 4 1 22 2 3
3
16 8 3
3
所以该几何体的体积是 16 8 3
底面积为S，高为h，那么它的体积应等于 一个底面积为S，高为h的三棱锥的体积。 即
V锥体
1 3
sh
14
例：三个直角三角形如图放置，它们围绕固 定直线旋转一周形成几何体，求出该几何体 的体积（图中的长度单位是厘米）。
15
先研究半球的体积 思考：
如何找到一个与半球等体积的“替代品”呢？
16
17
18
23
课后探究
利用祖暅原理探究台体的体积公式。 球、柱、台、锥体体积之间的关系。
24
25
夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行 于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截 面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
4
祖暅原理
祖冲之父子是 我们中华民族的
骄傲和自豪
祖暅原理的提出要比其他国家的 数学家早一千多年。在欧洲直到17世 纪，才有意大利数学家卡瓦列里提出 上述结论。
5
祖暅原理 “幂势既同，则积不容异”
6
设有底面积都等于S，高都等于h 的任意一个棱柱、一个圆柱和一个长 方体，使它们的下底面在同一平面内。 你能得到什么结论？
7
8
由祖暅原理可得： V柱体=Sh 其中S 是柱体的底面积， h是柱体的高。
9
例: 如图，是某几何体的三视图。由祖暅原理知：“幂势既 同，则积不容异”。已知某不规则几何体与如图所示的几何 体满足“幂势同”，求该不规则几何体的体积。(图中所给长 度均为厘米) 解：
V V正方体 -V半个圆柱
23 - 1 12 2
2
8-
所以某不规则几何体的体积是 以8-π立方厘米
10
设有底面积都等于S，高都等于h的两个锥体 （如图：一个棱锥和一个圆锥），使它们的下底 面在同一平面内。你能得到什么结论？
11
如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥？
12
13
结论：对于一个任意的锥体，设它的
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祖暅,字景烁，祖冲之之子， 范阳郡蓟县人（今河北省涞源县 人），南北朝时代的伟大科学家。 祖暅在数学上有突出贡献，他在 实践的基础上，于5世纪末提出 了体积的计算原理。祖暅原理： “幂势既同，则积不容异”。
“势”即是高，“幂”即是面积。
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祖暅原ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ “幂势既同，则积不容异”
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课堂小结 总结一下你在本节课中 获得的知识和学习心得
祖暅原理 柱、锥、球的体积公式
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布置作业
例：三棱锥P-ABC三条侧棱两两互相垂直，且 PA=1,PB=2,PC=3,求它外接球的体积。 2、三棱锥P-ABC中侧棱PA长为3且垂直于底面ABC， 底面是边长为2的正三角形，求这个三棱锥外接球 的体积。
结论 半径为R的球 的体积公式是
V球
4 3
R3
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例: 一个正四面体的所有棱长都是 2 厘米，四个 顶点都在同一球面上，求此球的体积。
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课堂练习 某几何体的三视图如图，求该几何体的体积。 (图中所给数字单位为厘米)
解：V 22 4 1 22 2 3
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16 8 3
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所以该几何体的体积是 16 8 3
底面积为S，高为h，那么它的体积应等于 一个底面积为S，高为h的三棱锥的体积。 即
V锥体
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sh
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例：三个直角三角形如图放置，它们围绕固 定直线旋转一周形成几何体，求出该几何体 的体积（图中的长度单位是厘米）。
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先研究半球的体积 思考：
如何找到一个与半球等体积的“替代品”呢？
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课后探究
利用祖暅原理探究台体的体积公式。 球、柱、台、锥体体积之间的关系。
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夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行 于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截 面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
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祖暅原理
祖冲之父子是 我们中华民族的
骄傲和自豪
祖暅原理的提出要比其他国家的 数学家早一千多年。在欧洲直到17世 纪，才有意大利数学家卡瓦列里提出 上述结论。
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祖暅原理 “幂势既同，则积不容异”
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设有底面积都等于S，高都等于h 的任意一个棱柱、一个圆柱和一个长 方体，使它们的下底面在同一平面内。 你能得到什么结论？
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由祖暅原理可得： V柱体=Sh 其中S 是柱体的底面积， h是柱体的高。
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例: 如图，是某几何体的三视图。由祖暅原理知：“幂势既 同，则积不容异”。已知某不规则几何体与如图所示的几何 体满足“幂势同”，求该不规则几何体的体积。(图中所给长 度均为厘米) 解：
V V正方体 -V半个圆柱
23 - 1 12 2
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所以某不规则几何体的体积是 以8-π立方厘米
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设有底面积都等于S，高都等于h的两个锥体 （如图：一个棱锥和一个圆锥），使它们的下底 面在同一平面内。你能得到什么结论？
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如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥？
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结论：对于一个任意的锥体，设它的