北师大版八年级下数学 第六章平行四边形 单元检测(PDF 含答案解析)

第六章平行四边形
满分：100分，限时：60分钟
一、选择题
1.在平行四边形ABCD 中,∠B=60°,那么下列各式中,不能成立的是(
)
A.∠D=60°
B.∠A=120°
C.∠C+∠D=180°
D.∠C+∠A=180°2.如图6-5-1所示,△ABC 中,已知AB=8,∠C=90°,∠A=30°,DE 是中位线,则DE 的长为
()
图6-5-1
A.4
B.3
C.23
D.2
3.如图6-5-2所示,在平行四边形ABCD 中,AB=3cm,BC=5cm,对角线AC,BD 相交于点O,则OA 的取值范围是()
图6-5-2
A.2cm<OA<5cm
B.2cm<OA<8cm
C.1cm<OA<4cm
D.3cm<OA<8cm
4.下列条件中能判定四边形ABCD 是平行四边形的是(
)A.AB∥CD,AD=BC
B.∠A=∠B,∠C=∠D
C.AB=CD,AD=BC
D.AB=AD,CB=CD
5.如图6-5-3,在平行四边形ABCD 中,DE 是∠ADC 的平分线,点F 是AB 的中点,AB=6,AD=4,则AE∶EF∶BE 为()
图6-5-3
A.4∶1∶2
B.4∶1∶3
C.3∶1∶2
D.5∶1∶2
6.如图6-5-4,P 是平行四边形ABCD 内部任意一点,△ABP、△BCP、△CDP、△ADP 的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4,则一定成立的是()
图6-5-5
A.55°
B.35°
C.25°
D.30°
8.已知多边形中除去一个内角外的其他各内角与同该内角相邻的一个外角之和为600°,则该多边形的边数为()
A.5
B.6
C.5或6
D.不存在这样的多边形
9.如图6-5-6,▱ABCD中,O为对角线AC的中点,AC⊥AB,点E为AD的中点,OF⊥BC,∠D=53°,则∠FOE的度数是()
图6-5-6
A.37°
B.53°
C.127°
D.143°
10.如图6-5-7,在△ABC中,∠BAC=45°,AB=AC=8,P为AB边上一动点,以PA、PC为边作平行四边形PAQC,则对角线PQ长度的最小值为()
图6-5-7
A.6
B.8
C.22
D.42
二、填空题
11.如图6-5-8,∠2+∠3+∠4=320°,则∠1=.
图6-5-8
12.如图6-5-9,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC+BD=18,BC=6,则△AOD的周长
为.
图6-5-9
13.如图6-5-10,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,若△AOB的面积为6cm2,则▱ABCD的面积为.
图6-5-10
14.如图6-5-11,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=度.
图6-5-11
15.如图6-5-12,平行四边形ABCD中,BC=2AB,点M为AD的中点,则∠BMC=.
图6-5-12
16.如图6-5-13,平行四边形ABCD中,AE⊥BD,BE∶DE=3∶7,BD=20,AB=10,则AB与CD间的距离为.
图6-5-13
17.如图6-5-14,已知▱OABC的顶点A、C分别在直线x=1和x=4上,O
是坐标原点,则对角线OB长的最小值为.
图6-5-14
三、解答题
19.(10分)如图6-5-16,在平行四边形ABCD 中,AE、BF 分别平分∠DAB 和∠ABC,交CD 于点E,F,AE、BF 相交于点M.
(1)试证明:△BCF 为等腰三角形;
(2)若AB=5,DF=1,求EF
的长.
图6-5-16
18.如图6-5-15,直线AE∥BD,点C 在BD 上,若AE=5,BD=8,△ABD 的面积为16,则△ACE 的面积为
.
图6-5-15
20.(10分)如图6-5-17所示的模板,按规定:AB、CD的延长线相交成80°的角,因交点不在板上,不便测量,质检员测得∠A=122°,∠C=155°,如果你是质检员,如何知道模板是否合格?为什么?
图6-5-17
21.(12分)有下列命题:
①一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形.
②两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
③一组对边相等,一组对角相等的四边形是平行四边形.
④一组对边平行,一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形.
(1)上述四个命题中,是真命题的是(填写序号);
(2)请选择一个真命题进行证明.(写出已知,求证,并完成证明)
已知:.
求证:.
证明:
22.(14分)已知:如图6-5-18,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在AC上,点G,H 在BD上,且AE=CF,BG=DH.
(1)若AC=6,BD=8,试求AD的取值范围;
(2)若AC=AD,∠CAD=50°,试求∠ABC的度数;
(3)求证:四边形EHFG是平行四边形.
图6-5-18
第六章平行四边形
满分：100分，限时：60分钟
一、选择题
1.在平行四边形ABCD中,∠B=60°,那么下列各式中,不能成立的是()
A.∠D=60°
B.∠A=120°
C.∠C+∠D=180°
D.∠C+∠A=180°
1.答案D∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠D=∠B=60°,故A正
确;∵AD∥BC,∴∠C+∠D=180°,故C正
确;∵AD∥BC,∴∠A+∠B=180°,∴∠A=180°-∠B=120°,故B正确;∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠C=∠A=120°,故D不正确,故选D.
2.如图6-5-1所示,△ABC中,已知AB=8,∠C=90°,∠A=30°,DE是中位线,则DE的长为()
图6-5-1
A.4
B.3
C.23
D.2
2.答案D∵∠C=90°,∠A=30°,∴BC=12AB=4,
∵DE是中位线,∴DE=12BC=2.
3.如图6-5-2所示,在平行四边形ABCD中,AB=3cm,BC=5cm,对角线AC,BD相交于点O,则OA 的取值范围是()
图6-5-2
A.2cm<OA<5cm
B.2cm<OA<8cm
C.1cm<OA<4cm
D.3cm<OA<8cm
3.答案C在△ABC中,BC-AB<AC<AB+BC,
∵AB=3cm,BC=5cm,∴2cm<AC<8cm,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=12AC,∴1cm<OA<4cm,
故选C.
4.下列条件中能判定四边形ABCD是平行四边形的是()
A.AB∥CD,AD=BC
B.∠A=∠B,∠C=∠D
C.AB=CD,AD=BC
D.AB=AD,CB=CD
4.答案C 两组对边分别相等的四边形是平行四边形,故选C.
5.如图6-5-3,在平行四边形ABCD 中,DE 是∠ADC 的平分线,点F 是AB 的中点,AB=6,AD=4,则AE∶EF∶BE 为()
图6-5-3
A.4∶1∶2
B.4∶1∶3
C.3∶1∶2
D.5∶1∶25.答案A ∵DE 平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE,
∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB∥CD,
∴∠AED=∠CDE,∴∠ADE=∠AED,
∴AE=AD=4,EB=AB-AE=2,
∵F 为AB 的中点,∴EF=AE-AF=1,
∴AE∶EF∶BE=4∶1∶2.
6.如图6-5-4,P 是平行四边形ABCD 内部任意一点,△ABP、△BCP、△CDP、△ADP 的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4,则一定成立的是()
图6-5-4
A.S 1+S 2>S 3+S 4
B.S 1+S 2=S 3+S 4
C.S 1+S 2<S 3+S 4
D.S 1+S 3=S 2+S 46.答案D 如图,过P 点作MN⊥AB 于M,交CD 于N,
∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∴PN⊥CD,S 1+S 3=12·AB·PM+12CD·PN
=12AB·(PM+PN)=12AB·MN
=12S ▱ABCD ,∴S 2+S 4=12S ▱ABCD ,∴S 1+S 3=S 2+S 4.
7.(2016山东济南长清期末)如图6-5-5所示,在▱ABCD 中,CE⊥AB,E 为垂足,如果∠A=125°,则∠BCE 的度数是()
图6-5-5
A.55°
B.35°
C.25°
D.30°
7.答案B在▱ABCD中,∠A=125°,AD∥BC,
∴∠B+∠A=180°,∴∠B=55°.
∵CE⊥AB,∴∠B+∠BCE=90°,∴∠BCE=35°.
8.已知多边形中除去一个内角外的其他各内角与同该内角相邻的一个外角之和为600°,则该多边形的边数为()
A.5
B.6
C.5或6
D.不存在这样的多边形
8.答案C设这个多边形边数为n,这个外角的度数为x,则与这个外角相邻的内角为(180°-x),由题意得x+(n-2)×180°-(180°-x)=600°,
解得x=570°-90°n.
∵0°<x<180°,n为大于或等于3的自然数,
∴n=5或n=6.
9.如图6-5-6,▱ABCD中,O为对角线AC的中点,AC⊥AB,点E为AD的中点,OF⊥BC,∠D=53°,则∠FOE的度数是()
图6-5-6
A.37°
B.53°
C.127°
D.143°
9.答案D∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠B=∠D=53°,AB∥CD.
又∵AB⊥AC,OF⊥BC,∴∠BAC=90°,∠B+∠ACB=90°.
∠COF+∠ACB=90°,∴∠COF=∠B=53°.
∵O为AC的中点,E为AD的中点,∴OE∥CD∥AB.
∴∠EOC=∠BAC=90°.
∴∠FOE=∠COF+∠COE=53°+90°=143°.
10.如图6-5-7,在△ABC中,∠BAC=45°,AB=AC=8,P为AB边上一动点,以PA、PC为边作平行四边形PAQC,则对角线PQ长度的最小值为()
图6-5-7
A.6
B.8
C.22
D.42
10.答案D∵四边形APCQ是平行四边形,
∴AO=CO,OP=OQ,
∴PQ最短时,PO最短,
∴过O作OP'⊥AB于P',
∵∠BAC=45°,
∴△AP'O是等腰直角三角形,
∵AO=12AC=4,
∴OP'=22,
∴PQ长度的最小值为2OP'=42.
二、填空题
11.如图6-5-8,∠2+∠3+∠4=320°,则∠1=.
图6-5-8
11.答案40°
解析∵∠1+∠2+∠3+∠4=360°,∠2+∠3+∠4=320°,∴∠1=40°.
12.如图6-5-9,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC+BD=18,BC=6,则△AOD的周长为.
图6-5-9
12.答案15
解析∵四边形ABCD 是平行四边形,∴OA=12AC,OD=12BD,AD=BC=6,
∴OA+OD=12(AC+BD)=9,
∴△AOD 的周长=OA+OD+AD=9+6=15.
13.如图6-5-10,▱ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,若△AOB 的面积为6cm 2
,则▱ABCD 的面积为.
图6-5-10
13.答案
24cm 2解析在▱ABCD 中,OA=OC,OB=OD,AB=CD,
∴△AOB≌△COD,∴S △COD =S △AOB =6cm 2.
又∵OA=OC,∴S △BOC =S △AOB =6cm 2
.
同理,S △AOD =6cm 2,
∴S ▱ABCD =4×6=24cm 2.
14.如图6-5-11,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=度.
图6-5-11
14.答案
360
解析∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=3×180°-180°=360°.15.如图6-5-12,平行四边形ABCD 中,BC=2AB,点M 为AD 的中点,则∠BMC=.
图6-5-12
15.答案
90°解析如图,
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD BC,AB CD,
∴∠ABC+∠BCD=180°,
∵M是AD的中点,∴AM=DM=12AD,又∵BC=2AB,
∴AB=AM,DM=DC,∴∠1=∠2,∠3=∠4,
又∵AD∥BC,∴∠2=∠5=∠1,∠3=∠6=∠4,∴∠5+∠6=90°,∴∠BMC=90°.
16.如图6-5-13,平行四边形ABCD中,AE⊥BD,BE∶DE=3∶7,BD=20,AB=10,则AB与CD间的距离为.
图6-5-13
16.答案16
解析∵BE∶DE=3∶7,BD=20,
∴BE=6,DE=14,
∵AE⊥BD,AB=10,∴AE= 2-B 2=8,
易证△ABD≌△CDB(SSS),
∴S▱ABCD=2S△ABD=2×12×8×20=160,
设AB与CD间的距离为h,
则S▱ABCD=AB·h=160,∴h=16,故答案为16.
17.如图6-5-14,已知▱OABC的顶点A、C分别在直线x=1和x=4上,O
是坐标原点,则对角线OB长的最小值为.
图6-5-14
17.答案5
解析当B在x轴上时,对角线OB的长最小.如图所示,设直线x=1与x轴交于点D,直线x=4与x轴交于点E,根据题意得∠ADO=∠CEB=90°,OD=1,OE=4,
∵四边形ABCO是平行四边形,
∴OA∥BC,OA=BC,
∴∠AOD=∠CBE,
在△AOD和△CBE中,
∵∠AOD=∠CBE,∠ADO=∠CEB,OA=BC,
∴△AOD≌△CBE(AAS),
∴OD=BE=1,
∴OB=OE+BE=5.
故答案为5.
18.如图6-5-15,直线AE∥BD,点C在BD上,若AE=5,BD=8,△ABD的面积为16,则△ACE的面积为.
图6-5-15
18.答案10
解析如图,过点A作AF⊥BD于点F,
∵△ABD的面积为16,BD=8,
∴12BD·AF=12×8×AF=16,
解得AF=4,
∵AE∥BD,
∴AF⊥AE,
∴S
=12·AE·AF=12×5×4=10.
△ACE
三、解答题
19.(10分)如图6-5-16,在平行四边形ABCD中,AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC,交CD于点E,F,AE、BF相交于点M.
(1)试证明:△BCF为等腰三角形;
(2)若AB=5,DF=1,求EF的长.
图6-5-16
19.解析(1)证明:在▱ABCD中,AB∥CD,
∴∠ABF=∠CFB,
∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠CBF,
∴∠CBF=∠CFB,
∴CF=CB,
∴△BCF是等腰三角形.
(2)∵在平行四边形ABCD中,CD∥AB,
∴∠DEA=∠EAB,
又AE平分∠DAB,
∴∠DAE=∠EAB,
∴∠DEA=∠DAE,
∴DE=AD,
同理可得,CF=BC,
又∵AD=BC,
∴DE=CF,
∴DE-EF=CF-EF,
即DF=CE=1,
∴EF=3.
20.(10分)如图6-5-17所示的模板,按规定:AB、CD的延长线相交成80°的角,因交点不在板上,不便测量,质检员测得∠A=122°,∠C=155°,如果你是质检员,如何知道模板是否合格?为什么?
图6-5-17
20.解析模板不合格.
理由:∵∠A+∠E+∠F+∠C=122°+90°+90°+155°=457°,
五边形的内角和=(5-2)×180°=540°,
540°-457°=83°≠80°,∴模板不合格.
21.(12分)有下列命题:
①一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形.
②两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
③一组对边相等,一组对角相等的四边形是平行四边形.
④一组对边平行,一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形.
(1)上述四个命题中,是真命题的是(填写序号);
(2)请选择一个真命题进行证明.(写出已知,求证,并完成证明)
已知:.
求证:.
证明:
21.解析(1)①②④(选对一个得1分,若选入③,则本小题得0分).
(2)以命题①为例给出一种证明.
已知:如图,AD∥BC,∠B=∠D.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:如图,连接AC.
∵AD∥BC,
∴∠1=∠2,
又∵∠B=∠D,AC=CA,
∴△ADC≌△CBA(AAS),∴AD=CB,
∴四边形ABCD是平行四边形.
22.(14分)已知:如图6-5-18,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在AC上,点G,H 在BD上,且AE=CF,BG=DH.
(1)若AC=6,BD=8,试求AD的取值范围;
(2)若AC=AD,∠CAD=50°,试求∠ABC的度数;
(3)求证:四边形EHFG是平行四边形.
图6-5-18
22.解析(1)在▱ABCD中,OA=OC,OB=OD.
∴OA=12AC=3,OD=12BD=4.
在△AOD中,4-3<AD<4+3,∴1<AD<7.
(2)∵AC=AD,∴∠ACD=∠ADC.
又∵∠CAD=50°,∴∠ADC=180°-50°2=65°.
在▱ABCD中,∠ABC=∠ADC=65°.
(3)证明:在▱ABCD中,OA=OC,OB=OD,
∵AE=CF,∴OA-AE=OC-CF,即OE=OF.
∵BG=DH,∴OB-BG=OD-DH,即OG=OH.
∴四边形EHFG是平行四边形.。